2019年高考数学专题10向量的最值问题检测

一、基础过关题

1.（2018天津高考）如图，在平面四边形ABCD中，，，，

若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A. B. C. D. 3

【答案】A

【解析】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，

以DC所在的直线为y轴，

，

，，

设，，，，

，

当时，取得最小值为．

故选：A ．

如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．

2．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满

足·≤0，·≥0，则·的最小值为

________．【答案】 3

3．设＝21，＝(0,1)，O 为坐标原点，动点

P (x ，y )满足0≤·≤1,0≤·≤1，则z ＝y －x 的

最小值是________．

【答案】－1 【解析】由题得0≤y ≤1，y ≤1，所以可行域如图所示，

所以当直线y －x ＝z 经过点A (1,0)时，z min ＝－1.

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为

a ，

b ，

c ，且(2a ＋c )··＋c ·＝0.

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝2，试求·的最小值．

【答案】 (1) B ＝32π

；

(2) ·的最小值为－ 2.

5．(2016·青岛诊断考试

)已知向量a ＝(k sin 3x ，cos 23x )，b ＝(cos 3x ，－k )，实数k 为大于零的常数，函数

f (x )＝a ·ｂ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为22－1.

(1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若2π

最小值．

【答案】(1) k ＝1；

(2) ·的最小值为20(1－)

【解析】(1)由题意，知f (x )＝a ·ｂ＝(k sin 3x ，cos 23x )·(cos 3x ，－k )

＝k sin 3x cos 3x －k cos 23x ＝21k sin 32x －k ·3＝2k (sin 32x －cos 32x )－2

k ＝22k (22sin 32x －22cos 32x )－2k ＝22k sin(32x －4π)－2k .

因为x ∈R ，所以f(x)的最大值为22－1k ＝22－1，则k ＝1.

二、能力提高题

1.（2018高考浙江卷）已知，，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A. B. C. 2 D.

【答案】A

【解析】解：由，得，

，

如图，不妨设，

把等式

变形，可得得，即，设，则的终点在以

为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O 的两条射线上，画出图形，数形结合得答案．

本题考查平面向量的数量积运算，

考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难

题．2.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为21，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

【答案】

65π【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，

且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为21，

故以向量α，β为两边的三角形的面积为41，

故β的终点在如图所示的线段AB 上(α∥，且圆心O 到AB 的距离为21)，

因此夹角θ的取值范围为65π.

3．(2015·福建改编)已知⊥，||＝t 1，||＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于________．

【答案】 13

【解析】建立如图所示坐标系，

4.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M

上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则·的最小值是________．

【答案】 6

【解析】圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，

圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．

如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，

5.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点

A (8,0)，

B (n ，t )，

C (k sin θ， t )(0≤θ≤2π)．

(1)若⊥a ，且||＝||，求向量；

(2)若向量与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求·．

【答案】(1) ＝(24,8)或＝(－8，－8)．

(2) ·＝32.

【解析】(1)由题设知＝(n －8，t )，

∵⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.

又∵||＝||，

∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2

，得t ＝±8.

当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，

∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．

(2)由题设知＝(k sin θ－8，t )，

∵与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，

t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－k 4)2＋k 32.