采样过程与信号重构

0 t
采样过程
理想采样过程的时域描述 当 T ，且T 远小于系统连续部分惯性时间常数时，可将采 样开关视为理想的， 0。则理想采样过程的时域描述为：
f (t )
* k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (kT ) (t kT )
k

f ( t ) ( t kT )
数控系统的功能为：在数字计算机控制下，每隔一个 采样周期 T，对连续偏差信号e(t)进行采样，经由模拟输入 通道转换成数字量送入计算机中，计算机（数字控制器） 根据控制规律进行运算，求得控制量输出，由模拟输出通 道转换成连续量去控制被控对象（或过程） ，使系统的动 态、稳态特性达到预期的指标。
开 始
f (t )
F ( j )
t
T (t )
m m

s
k
(t kT )

T ( j ) s
T (t )
0 T
T ( j )
n
( j jn

)
t
s
s
s

1 F * ( j ) T
n
F ( j jn
n
采样信号
P ( j )
* 1
n
[ ( j j
2

1
j 2n ) ( j j 1 j 2n )] , 1 0.2
P ( j )
* 2
n
[ ( j j
j 2n ) ( j j 2 j 2n )] , 2 1.8


最后需要指出的是，连续控制系统与数控系统各有优 缺点，应用时采用何种控制方式需考虑价格比、使用环境、 可靠性、体积等多种实际情况。
1.2 数字控制对计算机（系统）的要求
实时控制
在一个采样周期 T 内必须完成如下操作： 1. 数据采集：采样，A/D转换，数据输入的时间△t1 ； 2. 程序运行求出控制量的时间△t2 ； 3. 控制量的输出和存储时间△t3 。 则为了实现实时控制，必须有
n 1
P1* ( j )
n 1 n0 n1 n 2
P2* ( j )
n0 n1 n2
2.2 1.8 0.2
s 2 m 不发生混频现象
0
0.2 1.8 2.2

3.8 2.2 1.8 0.2
s 2 m
发生混频现象
生 产 过 程
模拟输入通道
模拟输出通道
数 控 计 算 机
键盘、显示器 打印机等 外部设备
图3 直接数字（DDC）控制系统示意图
1.1.2 数控系统的优点

程序控制：易于修改，改变控制规律不需修改硬件，通 过修改控制子程序就可以满足不同的控制要求。因此相 对于连续控制系统更具有灵活性。
精度高：模拟控制器的精度由硬件决定，同一批次的元 器件可能具有不同的性能，例如电阻、电容的标称值和 实际测量值会有不同，达到高精度很不容易，元器件的 价格随精度不同变化很大；而数字控制器的精度与计算 机的控制算法和字长有关，在系统设计时就已经决定了。 稳定性好：数控计算机只有 “0”、 “1” 状态，抗干 扰能力强，不象电阻、电容等受外界环境影响较大。
1 T 2 s 2f s T fs
当t 0时 ( t ) , 当t 0时 ( t ) 0, ( t )dt 1
理想单位脉冲 函数
f ( kT t )
由图2可得
f * (t )
k
f (kT t ),
在信号不混叠情况下，也即s >
s / 2 s / 2
m m
F * ( j )

对应g ( t ) L1 [G ( j )]
sin s t / 2 st / 2
f * ( t )通过g ( t )滤波后的频 谱为
1 T
3 s 2 1 s 2 0 1 2 s 3 2 s
1 2f1 0.2 2 2f 2 1.8
P2 ( j )
P1 ( j )
0.2
0
0.2


1.8
0
s
1.8


1 1 f s 1，T 1， s 2f s 2， F * ( j ) fs T
n
F ( j jn ) F ( j j 2n )
1
时域分析
0.5
P1 ( t ) P2 ( t )
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
时域上的两信号及其采样点
t
频域分析
原信号
P1 ( j ) [ ( j j 1 ) ( j j 1 )] P2 ( j ) [ ( j j 2 ) ( j j 2 )]
[e(kT)] r(t) e(t) e*(t) A/D
数字 控制器
[u(kT)] u*(t)
保持 器
u(t)
对象 y(t) 或过程
数控系统信号转换示意图
1.4.1 采样过程——连续信号f(t)通过采样开关后， 转变为脉冲序列f*(t)的过程。
时域描述
采样周期T (单位s) 闭合时间 (s) 采样角频率 s ( rad / s ) 采样频率 f s (Hz )
P1 ( kT ) cos(2f 1 kT ) cos 0.2k P2 ( kT ) cos(2f 2 kT ) cos 1.8k cos 1.8k cos(2k 0.2k ) cos(0.2k ) cos 0.2k P1 ( kT ) P2 ( kT )各 点 的 采 样 值 相 同

s / 2 TF * ( j ), F * ( j )G ( j ) s / 2 0,
f ( t ) T ( t )
加权函数 式中
T (t )
k
(t kT )

为理想采样开关产生的脉冲序 列。理想采样开关相当于一个 理想脉冲发生器。
理想采样过程
———这个过程相当于模拟信号 f(t) 被T(t)调制。
1.4.2 采样过程的频域描述
——求f*(t) 的Fourier变换F*(j)，也即f*(t) 的频谱。
对于周期信号f(t)，当满足狄里赫利Dirichlet条件时，f(t)
可以用一个Fourier级数来表示，其频谱F(j)是离散的。
Fourier级 数 的 复 系 数表 达 式 为 f ( t ) ： 1 式 中 ：d k T d k e jk 0 t

k

T 2 T 2
n
F ( j jn

)
1 [ F ( j j s ) F ( j ) F ( j j s ) F ( j j 2 s )] T
) t( * f
F * ( j )
t
3 s 2
1 s 2
0
1 2 s
3 2 s

( 2) s 2 m
2.监督控制系统
优点： 根据工况变化换，改变给定值， 以实现最优控制
3.直接数字控制
优点： 一台计算机可以取代多个模拟调节器 只要改变程序(或调用不同程序)就可 实现各种复杂的控制规律等
4.集散控制
特点： 分散性：功能分散、地理位置分散 集中性：集中监视和操作 通讯
5.分级控制
1.4 数控系统信号的采样与重构
第1章 绪言
本课程讲授线性定常数字控制系统分析与 综合的一些基本方法，其理论基础为线性 离散时间系统理论。
连续系统 离散系统
微分方程
拉式变换
差分方程
Z变换
传递函数
脉冲传递函数
1.1.1 系统组成与功能（软件与硬件）
1 硬件部分
产生脉冲序列 作采样信号
A-Analogue D-digital
u(t)

分析：
采样过程中存在时域信息损失，T越小，采样信号越接近
连续信号。
F*(j)可分为主频谱（n=0）和高频（n≠0）两部分，比原
信号频谱F( j )派生周期为 s 倍数的无限个高频频谱分量。
当 s >
2 m 时，在F*( j )频谱中高低频不发生混频现象； 否则出现混频现象。
例 已知两信号
T ( t i 1 t i 2 t i 3 )
i 1
n
式中n代表n输入n输出多通道系统。
此外，还要求
综合控制能力
高可靠性
可维护性
环境适应性 微型化
1.3 计算机控制系统的分类
1.数据采集系统
优点： 一台计算机可代替大量常规显示 和记录仪表 对大量数据集中进行综合加工处 理，得到更精确的结果。
f ( t )e jk 0 t dt ,
0为 基 准 角 频 率
对应的Fourier变换为F ( j ) 2
k
d

k
( j jk 0 )
理想采样过程频域分析
假设：信号f(t)的 频谱F(j)为有限 带宽，最高频率 为m
f (t )
F ( j )
t
T (t )
主程序：初始化设置
N 采样? Y 控 制 子 程 序 数据采集 控制算法 控制量的输出和存储 图2 数字控制系统软件流程
由于数控计算机的离散时间性质，故采样是数字控制系统
的基本特征。数字（计算机）控制系统又称为采样数据系 统。
在工业生产中，为了强调计算机直接控制生产过程这一特
征，也称直接数字（DDC）控制系统。
对象 或过程
实时时钟
r(t) e(t) 采样
开关
e*(t)
A/D
u*(t)
数字 控制器
y(t)
D/A
保持器
[e(kT)]
模拟输入通道
[u(kT)]
模拟输出通道
离散状态
连续状态
连续信号离散信号
离散信号连续信号
图1 单位反馈数字控制系统硬件框图
2 软件部分 （在计算机上实现控制规律）

主程序：系统初始化设置； 控制子程序：实现数据采集、控制算法、控制量的输出 和存储。
0
0.2 1.8 2.2 3.8

1.4.3 采样定理
f (t ) f * (t ) f (t )
g (t )
F ( j ) F * ( j )
F ( j )
G( j )
F ( j )
2m时，采用如下低通滤波器可无失真 地再现原信号。
T , 理想低通滤波器 ( j ) G 0,



软件复用：硬件不能复用，子程序却可以，所以具有可 重复性。而且计算机系统和软件都可以更新换代。 分时控制：可同时控制多系统、多通道。而模拟控制器 只能完成单通道控制。

模 拟 输 入
多 路 开 关
A/D
数字 计算机
D/A
反 多 路 开 关
模 拟 输 出
控制 图4 多路模拟输入/输出通道示意图

)
) t( * f
此时，高低 频率之间发 生了混频现 象。

1 [ F ( j j s ) F ( j ) F ( j j s ) F ( j j 2 s )] T
F * ( j )
t
3 1 1 3 s s 0 s s 2 2 2 2
k
m m

s
(t kT )

T ( j ) s
T (t )
0 T
T ( j )
n
( j jn

)
t
s
s
s

(1) s 2 m
此时，高低频率 之间不发生混频 (混叠)现象。
1 F * ( j ) T
数控系统的缺点、局限性

实时性：数控系统由计算机运行速度、A/D与D/A采样速 度、控制算法等多种因素决定其采样频率上限。 信号的处理：离散系统的采样频率下限受到采样定理的 限制，在输入信号频率不满足采样定理时得到的采样信 号会产生频率混迭现象。 数控系统一般需要进行连续信号与数字信号之间的转换， 因此系统性能受到 A/D与 D/A性能的影响，包括实时性、 精度等。
P1 ( t ) cos 1t cos 2f1t p2 ( t ) cos 2 t cos 2f 2 t f1 0.1Hz f 2 0.9 Hz
当采样频率同为s 1Hz时，分析 1 ( t )，P2 ( t )及其采样信号 1* ( t )，P2* ( t )的频谱。 f P P