高中数学 离散型随机变量

1. 随机变量的概念： 如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是 随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量.
2. 随机变量的表示： 随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.
问题2：随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点：随机变量和函数都是一种映射； 区 别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数 映为实数； 联 系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变 量的取值范围相当与函数的值域；
或1，3，4或2，3，4； X=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5
或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5.
（2）Y可取0，1，…,n Y=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…n
4. 某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若
干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.
商厦有优惠规定：一次购买小于或等于50只的不优 惠.大于50只的，超出的部分按原价格的7折优惠.已 知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的
2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第
二枚骰子掷出的点数的差为X，试问: (1)“X>4”表示的 试验结果是什么?(2)P (X>4)=? 1
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答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种
结果之一，由已知得-5≤X≤5 ，也就是说“ X＞4”就是
“X ＝5”．所以“X＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．
3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量 所取的值表示的随机试验的结果。 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3， 4，5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大 号码数X； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.
解：(1) X可取3，4，5。 X=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； X=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4
1) X的取值为多少?它的値域为多少?
2) ｛X=0｝, ｛X=4｝, ｛X<3｝各表示什么?
3) “抽出3件以上次品”如何表示?
解: 1) X的取值: 0,1,2,3,4
X的値域: ｛ 0,1,2,3,4 ｝. 2)｛X=0｝表示: “抽出0件次品”
｛X=4｝表示: “抽出4件次品” ｛X<3｝表示: “抽出3件以下次品” 3) “抽出3件以上次品” : ｛X>3｝
3. 所以随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.
注意 注:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，
但也可以用数量来表达.如投掷一枚硬币，X=0表示正 面向上，X=1表示反面向上.
（2）若X是随机变量,Y＝aX＋b，a,b是常数，则η
也是随机变量.
附:随机变量X 或Y 的特点：(1)可以用数表示；(2)
若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？ Y可取 0件, 1件, 2件, 3件, 4件, 共5种结果 说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化； (2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.
问 题1：
1）抛掷一个骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6 来表示. 那么掷一枚硬币的结果是否也可用数字表示呢?
4. 随机变量的分类： 1)离散型随机变量：
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样 的随机变量叫做离散型随机变量．
2)连续型随机变量:
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机 变量叫做连续型随机变量.
练习二 1.①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为X； ③一天之内的温度为X； ④某市一年内的下雨次数X. 以上问题中的X是离散型随机变量的是（ B）
——可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.
2）还可以用其他的数字表示这两个试验结果吗?
3）任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 可以,只要建立一个从试验结果到实数的对应关系,就
可以使每一个试验结果都用一个确定的数字表示.
也即，试验的结果可以用一个变量表示.
4)在这个对应关系下,变量的值和试验结果有什么关系？ ——该变量的值随着试验结果的变化而变化.
试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不 可能确定取何值.
练习一
练习二
练 习一
将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ D） A、两次出现的点数之和 B、两次掷出的最大点数 C、第一次减去第二次的点数差 D、抛掷的次数
例1. 在含有10件次品的100件产品中,任取4件,可能含 有的次品件数X
思考:你能举出一个随机试验的例子吗?并说明该随机试 验的所有可能结果.
例题
例1 某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.
若用X 表示命中的环数，X有哪些取值？ X可取0环, 1环, 2环, ···, 10环, 共11种结果 例2 某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的 100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
引入
高一,我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在 一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.
随机试验是指满足下列三个条件的试验: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但 在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
A、①②③④ C、①③④
B、①②④ D、②③④
2. 在掷骰子试验中,若只关心掷出的点数是否为偶数, 应该如何定义随机变量?
解:
0 , 掷出奇数点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机变量Y=
1 , 掷出偶数点
Y=0 = 掷出奇数点 , Y=1 = 掷出偶数点
备注：在实际应用中应该选择有实际意义,尽量简单的 随机变量来表示随机试验的结果.
只数X 是一个随机变量，那么他所付款Y是否也为一 个随机变量呢? X, Y 有什么关系呢？
Y 506 (X 50) 60.7 4.2X 90
X 50,80, X N
注:随机变量即是随机试验的试验结果 和实数之间的一种对应关系.
思维训练:
1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五 个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个 小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是_9_ _ 个； “X=4”表 示“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽．1号、第 二次抽3号，或者第一次、第二次都抽2号．
小结 1. 随机变量是随机事件的结果的数量化． 随机变量X的取值对应于随机试验的某一随机事件。 随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个 对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客 观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数 概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概 念中，随机变量X的自变量是试验结果。
2. 随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。 3. 若X是随机变量，则Y=aX+b（其中a, b是常数）
也是随机变量 ．