第一章第二节 仿射坐标系

证明： 可表性：设e1 , e2 , e3量起始于共同点O 作OA , OA , OA , OM 分别表示 e , e , e , m 1 2 3 1 2 3 OP // e1 , PN // e2 , NM // e3 , A M 3 e3 m 存在实数x , y , z，使得 e o 2 e A2 OP xe1 , PN ye2 , NM ze3 1A N
向量OA xe1 ye2 OA的坐标 ( x, y )
e1

y e2 e 2 A O x e1
2.2
向量的坐标
空间仿射坐标系: [O; e1 , e2 , e3 ]
向量OA xe1 ye2 ze3 OA的坐标 ( x, y, z )
坐标向量： e1的坐标(1,0,0)， e2的坐标(0， 1,0)， e3的坐标(0,0，。 1)
坐标法：将几何性质转化为点或向量的坐 标满足的代数关系(方程)，证明几何性质。。
作业：P25 5，6，7，8
( A, B, P ) , AP ＝ AB 证明： 设 ＝ 1 ＋ ,0) 于是点 P 在 [ A; AB, AC ] 中的坐标为( 1 1 AC 由 (C , A, R), AR ＝ 1 ＋ 1 )； R 的坐标为 (0, C 1 R 由 ( B, C , Q), Q 1 P AQ AB AC 1 1 B A 1 , ). Q 的坐标为 ( 1 1
由e1 , e2 , e3不共面，得 x x1 y y1 z z1 0 x x1，y y1，z z1
定义1.3空间中一个O点和三个不共面向量
e1 , e2 , e3 , 一起构成空间中的一个仿射标架， 记作[O; e1 , e2 , e3 ]，称O为它的原点,称e1 , e2 , e3 为坐标向量。 空间中任意一点A，将向量OA 对
P
1
OP 从而
惟一性：设
xe1 , PN ye2 , NM ze3 m OM M A3 m ＝OP PN NM e3 ＝xe1 ye2 ze3 o e2 A2 e1
P
A1
N
m＝xe1 ye2 ze3 x1e1 y1e2 z1e3 (x x1 )e1 ( y y1 )e2 ( z z1 )e3 0
i 1 i 1 i 1
推论：设点 A , B 的坐标分别是 (a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 )，则向量 AB的坐标是 (b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 )。 z
证明：如图所示 e 3 OB ( 1) OA AB OB OA e1 O e2 (b1e1 b2e2 b3e3 ) ( 1)( e3() {( aa1 )e e1 a ( a )ea3 a )e } 2e 2
可推广至n 个向量代数和的情形。
(a1e1 a2e2 a3e3 )
( a1 )e1 ( a2 )e2 ( a3 )e3 .
( a1 , a2 , a3 )
更一般地：一组向量： 1 , 2 , , n i ( xi , yi , zi ) 一组实数： 1 , 2 , , n 线性组合： n n n 11 2 2 n n ( i xi , i yi , i zi )

三阶行列式 /(1 )
0 1/(1 )
1 1
0 1/(1 )
/(1 ) 1
1 0 (1 )(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )(1 )(1 )

0 1 1 1
1
证明：不妨设 0 (否则结论成立)。 必要性：因为 // ，所以存在 ，使得 于是 yi xi ( i 1,2,3)。 从而 x1 x2 x2 x3 x1 x3 0 y2 y3 y1 y3 y1 y2
充分性：由于 0 ，可以设 x1 0 从而
z
yoz 面
zox 面
Ⅱ
xoy 面 x
Ⅶ
o
Ⅴ
yⅠ
Ⅵ
e3 e 2 o 右手系： e 1x
Ⅷ
z
y
e3 e 1 o 左手系： e2 y
z
x
每一卦限中点的坐标的特点？ 坐标面上、坐标轴上点的坐标的特点？
坐标
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
x y
+ +
－ － + +
+
－ － + + － －
z
e3 e1 o e 2
x
A
y
定理1.2 向量的加减法、向量与数的 乘法运算的坐标表达式：
(a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 ),
(a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3e3 )
(a1 bx )e1 (a2 b2 )e2 (a3 b3 )e3 ; {a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 }
－ － +
z
+
+
+
+
－ － － －
类似地，有平面仿射坐标系。
定义1.3* 如果e1 , e2 , e3两两垂直，且皆为单 位向量，则 [O; e1 , e2 , e3 ]称为一个直角标架 或直角坐标系。
z
zox 面
yoz 面
xoy 面 x
o
y
平面仿射坐标系： [O; e1 , e2 ]
例2. 设点 M 是点组 A1 , A2 , , An 的重心， Ai 的坐标是( xi , yi , zi ), i 1, 2, , n, 求M 的坐标。 解：由习题1.1 题7 (3) 重心的定义，有
nOM OA1 OA2 OAn 1 OM OA1 OA2 OAn n 由定理1.2，知M 的坐标为 作业： 1 n 1 n 1 n P25 n x i , n yi , n z i 5，6， i 1 i 1 i 1
1 1 2 2
A
y
B
{(b1 a1 )e1 (b2 a2 )e2 (b3 a3 )e3 }
故向量 AB的坐标是 (b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 )。
x
3
3
( A, B, C ) . 例1. 设 A , B , C 共线， 又设 A ,B 的坐标分别为 (a1 , a2 , a3 ),(b1 , b2 , b3 ) 求点 C 的坐标。 解： 由( A, B, C ) ，得 1 1 OC OC(a a3 e3 ) OB (b1e1 b2e2 b3e3 ) OA 1e1 a2e2 1 1 1 1 a3 b3 a1 b1 a2 b2 e1 e2 e3 1 1 1 由定理1.2 知 C 的坐标为： a1 b1 a2 b2 a3 b3 1 , 1 , 1
x1 y1 x1 y1 x2 y2 x3 y3 0
设y1 x1
0
x1 y2 x2 y1 0 x22 y1 x1 y2 x2 x x 11 x1 y3 x3 y1 0 x33 y1 x1 y3 x3 x x 11
于是＝ , 即 // 。
a1 b1 c1
a2 1 b2 1 0 c2 1
a1 c1 b1 c1
a 2 c2 b2 c2
0
CA // CB
A, B , C 共线
P23例8 例5. 用向量法证明Menelaus定理。 P16题23 设 A, B, C 是三个不共线的点，
点P, Q, R 依次在直线 AB , BC , CA 上，记 ( A, B, P ), ( B, C , Q), (C , A, R) 证明：P, Q, R 三点共线的充分必要条件为 1 C 分析：只要在平面仿射 R 坐标系 [ A; AB, AC ] 中 Q P 求出P, Q, R 三点坐标， B 再利用例4 结论。 A
e1 , e2 , e3的分解系数构成的有序数组称为 点A 关于仿射标架[O; e1 , e2 , e3 ]的仿射坐标。
点M的坐标 ( x, y, z )

向量OA xe1 ye2 ze3
简记为OA ( x , y , z )
空间仿射坐标系的三张坐标平面将 空间区域分为八个卦限。
Ⅲ Ⅳ
例4. 设 [O; e1 , e2 ]是平面 上的一个仿射1 , a2 ),(b1 , b2 ),(c1 , c2 ) ，则 a1 a2 1 A, B , C 共线 b1 b2 1 0 c1 c2 1 证明：由行列式的性质，得 a1 a2 1 a1 c1 a2 c2 b1 b2 1 b1 c1 b2 c2 c1 c2 1
由前例知，P, Q , R 共线 1 0 定理得证。 1
几何中的点、向量如何用数来描述？ 如何通过数的运算实现向量的线性运算？ 几何性质的证明能否通过数的运算实现？
总结：引入仿射标架；
点、向量在仿射坐标下与一组数一一 对应；数的运算可实现向量的向量的线性运 算；数的运算可定量定性地证明几何性质。
§2 仿射坐标系
1. 仿射坐标系的定义 2. 向量的坐标 3. 几何应用举例
几何中的点、向量如何用数来描述？ 如何通过数的运算实现向量的线性运算？ 几何性质的证明能否通过数的运算实现？
2.1 仿射坐标系的定义 定理 1.1 (2) 空间中任意给定三个不 定理1.1 (2) 若三向量 , , 不共面，则 , 任何向量 分解，且分解式惟一。 共面的向量 e1 , e, , e 可对 2 3，则任意一个向量 m可以表示成e1 , e2 , e3的线性组合。
c2 c3 c c 2 3 c
3
c1c c3c 1 3
1 c2 c1 cc 2
例3. 设在仿射坐标系中向量＝( x1 , x2 , x3 ) ＝( y1 , y2 , y3 )，则 x1 x2 x2 x3 x1 x3 // 0 y2 y3 y1 y3 y1 y2
2.3 几何应用举例


a b ad bc 二阶行列式： c d a1 a2 a3 a1b2c3 a2b3c1 三阶行列式：b b b a3b1c2 a3b2c1 1 2 3 c1 c2 c3 a b c a b c
2 1 3
1 3 2
a1 a2 b a3 b b b b b2 2 3 b 1 3b 11 1 ＋ 2 1b 3 b 1 b b 2 3 a 1 3 ( 1) 1 a 2 ( 1) a ( 1) b1 b2 1 b3 a1 2a2 a3 3 c1 c2