材料物理1现代电子理论
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(14)
实际计算是利用能量变分原理，使系统能量达到最低（有一定
精度要求）。由此求出体系的真正电荷密度n(r) ,进而计算体系
的所有其它基态性质。如，能带结构，晶格参数，体模量等等。
材料物理1现代电子理论
能量泛函公式
系统的基态能量泛函
（15）
中，普适函数F[n]可以把其包含的经典Coulomb能部分写出：
University of California, San Diego. Research Associate（1963-1966）、 Associate Professor（1968-1974）、Professor（1975 －）. University of California, Irvine（1966-1967）. Assistant Professor. Reader. University of London（Queen Mary College）（1967-1968）. Research Physicist. IBM Research Center, Yorktown Heigts（1974-1975）. Dean. Division of Natural Sciences（1985-1989）. Director. Institute of Pure and Applied Physical Sciences（1991-1995）. Chairman. Department of Physics, UCSD（1995-1998）
材料物理1现代电子理论
College of Technology, Portsmouth, England（1955-1957）B. Sc., University of London（Imperial College）, England （ 1957-1960 ） Ph. D., University of Cambridge, England（1960-1963）
（16）
（17）
其中G[n]包括三部分： （18）
Ts[n]=密度为n(r) 的非相互作用电子体系的动能。 Exc[n]=密度为n(r) 的相互作用电子体系的交换关联能。 Eself-energy[n]=单个粒子的自能。应当扣除自能修正，下面 暂时忽略这一修正。
材料物理1现代电子理论
局域密度近似(LDA)
电子密度算符 电子密度分布n(r)是
(1) Hartree单位 (2)
外部势 (3）
(4)
(5) 的期待值：
（即
） (6)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理的证明
HK定理的证明：外部势v(r)是n(r)的唯一泛函。即由n(r)唯一决 定。换句话说，如果有另一个v’(r)，则不可能产生同样的n(r).
➢ DFT的优点 ➢ Hohenberg-Kohn定理 ➢ 能量泛函公式 ➢ 局域密度近似（LDA） ➢ Kohn-Sham方程
➢ 总能Etot表达式
➢ DFT的意义
材料物理1现代电子理论
概述
DFT即Density Functional Theory
一种用电子密度分布n( r)作为基本变量，研究多粒子
材料物理1现代电子理论
沃尔特·库恩指出,知道分布在空间任意 一点上的平均电子数已经足够了,没有必 要考虑每一个单电子的运动行为。这一 思想带来了一种十分简便的计算方法— —密度泛函理论。方法上的简化使大分 子系统的研究成为可能,酶反应机制的理 论计算就是其中典型的实例,而这种理论 计算的成功凝聚着无数理论工作者30余 年的心血。如今,密度泛函方法已经成为 量子化学中应用最广泛的计算方法。
2。DFT中的氢分子。 由密度分布表示。
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-3
3。大分子（例如DNA）; N个原子。
Schrodinger: ψ(r1,r2,r3,…rN)，3N维空间。
DFT: n(r)，
3维空间。
在有机化学、生物技术、合 金物理、表面科学、磁性等 领域DFT最为重要。
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
“泛函”这个名词是由法国数学家阿达 马 （ Hadamard ， 1865-1963 ） 在 1897年研究变分问题时引进的。“泛函” 也称泛函数，它是对实（复）值函数概念 的拓广或发展，通俗地说，泛函就是以函 数为变元的函数，其基本思想是把函数 （或曲线等）看作空间的元素或点，而函 数的集合构成了空间，“泛函分析”是研 究无限维线性空间的拓扑性质及其“泛函” 与“算子”的一般性质的一个现代数学分 支，它是无限维分析学的一个重要组成部 分。
(23)
材料物理1现代电子理论
(24)
Kohn-Sham方程
于是能量泛函为
求
，可得：
(25) (26)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理－I
1. 定理1：对于一个共同的外部势v(r), 相互作用的多粒子系统的 所有基态性质都由（非简併）基态的电子密度分布n(r)唯一地决 定。或: 对于非简併基态，粒子密度分布n(r)是系统的基本变量。
2. 考虑一个多粒子系（电子体系、粒子数任意），在外部势和相 互作用Coulomb势作用下，Hamiltonian为
反证法：设有另一个v’(r) ，其基态Ψ’也会产生相同的n(r).
∵ v(r)≠v’(r) ，∴ Ψ≠Ψ’（除非v’(r)-v (r)=const）.
∵ Ψ 与 Ψ’满足不同的Schrödinger 方程：
(7)
HΨ=EΨ
(8)
H’Ψ’ = E’Ψ’
• 利用基态能量最小原理，有
(9)
材料物理1现代电子理论
(21)
材料物理1现代电子理论
Kohn-Sham方程
利用LDA式(19), 能量泛函写为：
(22)
上式考虑另一个电子密度n’(r)。然后求E[n’]对n’的变分 δE[n’] /δn’为最小。相当于改变n’(r) 使E[n’] E[n]。 先求Ts[n’]: 为写出Ts[n’]，考虑v’(r) 为一个试验的单电子势。可由v’(r) 满足的单粒子方程，解出n’(r) 。
化学反应位能面
以后他将这一π电子理论扩展为所有价电子 的理论称为CNDO。开始时，波普尔并不相信 非经验的从头计算法能够和半经验方法竞争， 后来他自己改变了这种状况。
材料物理1现代电子理论
哈特里-福克方法，虽然引入了基函数 和高斯型基函数，离实用仍有很大距 离，瓶颈在于如H-F表达式那样的至少 是六维的多中心积分，这种积分在计 算中可达106至109 个。波普尔发明了 一种方法，可使计算工作量减少一到 两个数量级。他构造了一系列质量逐 步改进的基函数，并进行了大量的计 算加以检验，这是一个决定性的成就， 由于这种改进才使哈特里-福克方法可 以应用于实际的化学问题。
材料物理1现代电子理论
局域密度近似（LDA）
LDA: 对于缓变的n(r) 或/和高电子密度情况，可采用如下近似：
(19)
是交换关联能的r, 有不同的n(r) .相应的有
不同的
。
一种计算
的近似公式为（在Hartree单位下）：
(20) rs是自由电子气的电子”半径”。
HK定理已经建立了密度泛函理论 （DFT）的框架，但在实际执行上 遇到了严重困难。主要是相互作
用 电 子 体 系 的 交 换 关 联 能 Exc[n]
无法精确得到。为了使DFT理论能 够付诸实施，Kohn-Sham提出了局 域 密 度 近 似 (Local Density Approximation, LDA)。本次只直 接引用以便建立Kohn-Sham方程。
材料物理1现代电子理论
虽然上述方法只计及电子交换，而忽 略了电子间的相关，但对能量计算来 说，误差已不足1%。为了达到化学准 确性的要求，以更好地预测键能、活 化能、反应焓等，他又进一步研究电 子相关，采用微扰理论达到四阶，还 进行波函数的集团展开，进行了更精 确的计算。由于上述成就，波普尔在 1998 年荣获Nobel 化学奖。
体系基态性质的新理论。 W. Kohn 荣获1998年Nobel 化学奖
DFT- LDA- KS
自从20世纪60年代（1964）密度泛函理论（DFT）建立 并 在 局 域 密 度 近 似 （ LDA ） 下 导 出 著 名 的 Kohn － Sham (沈呂九)(KS)方程以来，DFT一直是凝聚态物理领域计 算电子结构及其特性最有力的工具。
3. 另一个重要优点是降低维数（Kohn的演讲）
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-1
密度泛函理论－ 物质电子结构的新理论
1。氢原子
1）Bohr: 电子＝粒子 2）Schrodinger:
电子＝波 ψ(r) . 3）DFT: 电子是电子云的 密度分布。 n（r）.
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-2
材料物理-1-现代电子理 论
2020/11/20
材料物理1现代电子理论
早在1950 年代，波普尔 (Pople J A)就对半经验 量子化学方法作出重要 贡 献 ， 他 是 PariserParr-Pople 方 法 (PPP) 的 创 始 人 之 一 ， PPP 可 用来研究不饱和有机分 子的电子结构。
材料物理1现代电子理论
近几年来，DFT同分子动力学方法相结 合，有许多新发展； 在材料设计、合成、模拟计算和评价 诸多方面有明显的进展； 已成为计算凝聚态物理、计算材料科 学和计算量子化学的重要基础和核心 技术； 在工业技术领域的应用开始令人关注。
材料物理1现代电子理论
DFT的优点
➢ 它提供了第一性原理或从头算的计算 框架。在这个框架下可以发展各式各 样的能带计算方法。
Hohenberg-Kohn定理的证明
即
(10)
同时，把带撇的与不带撇的交换得
或者
(11)
可见(10)与(11)相互矛盾。表明v’(r) 不可能产生同样的n(r) . 所以v(r) 是n(r) 的唯一泛函。由于v(r) 决定整个H, 即系统的 基态能量是n(r) 的唯一泛函。
同理，T和U也是n(r) 的唯一泛函。可定义：
材料物理1现代电子理论
为了进一步得到分子的结构，人 们不仅要计算一定构型的能量， 为了求得平衡的构型，还要知道 能量的一阶乃至二阶导数，波普 尔在早期Pulay P 工作的基础上， 开发了有效计算这些导数的方法。
材料物理1现代电子理论
这种方法不仅能研究平衡态，还 可以沿着反应的途径，确定能垒， 以及过渡态的结构。波普尔在 1970 年将这些进展开发成为一 个应用软件GUASSIAN，并不断做 出改进，1990 年代又将密度泛 函方法引入。这一软件已为化学 界广泛采用。
➢ 在凝聚态物理中，如： 材料电子结构和几何结构， 固体和液态金属中的相变等。
材料物理1现代电子理论
1. DFT适应于大量不同类型的应用： (1)电子基态能量与原子（核）位置之间的关系可以用 来确定分子或晶体的结构； (2)当原子不处在它的平衡位置时，DFT可以给出作用 在原子(核)位置上的力。
2. 因此，DFT可以解决原子分子物理中的许多问题，如 (1)电离势的计算， (2)振动谱研究， (3)化学反应问题， (4)生物分子的结构， (5)催化活性位置的特性等等。
(12)
式(12)是一个普适函数，适于任何粒子系和任何外部势。于 是整个系统的基态能量泛函可写为：
(13)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理－II
定理2：如果n(r) 是体系正确的密度分布，则E[n(r)]是最低的能 量，即体系的基态能量。
证明：设有另一个n’(r) ,粒子数与n(r) 相同为N. 则
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
用密度泛函 理论计算在 钯催化剂上 合成醋酸乙 烯酯，上部 是结构变化， 下部是能量 变化
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出 了巨大的贡献。量子化学理论和计算的丰 硕成果被认为正在引起整个化学的革命。 量子化学家几十年的辛勤耕耘得到了充分 的肯定。这标志着古老的化学已发展成为 理论和实验紧密结合的科学。沃尔特·库 恩的密度泛函理论构成了简化以数学处理 原子间成键问题的理论基础,是目前许多 计算得以实现的先决条件。传统的分子性 质计算基于每个单电子运动的描写,使得 计算本身在数学上非常复杂。
实际计算是利用能量变分原理，使系统能量达到最低（有一定
精度要求）。由此求出体系的真正电荷密度n(r) ,进而计算体系
的所有其它基态性质。如，能带结构，晶格参数，体模量等等。
材料物理1现代电子理论
能量泛函公式
系统的基态能量泛函
（15）
中，普适函数F[n]可以把其包含的经典Coulomb能部分写出：
University of California, San Diego. Research Associate（1963-1966）、 Associate Professor（1968-1974）、Professor（1975 －）. University of California, Irvine（1966-1967）. Assistant Professor. Reader. University of London（Queen Mary College）（1967-1968）. Research Physicist. IBM Research Center, Yorktown Heigts（1974-1975）. Dean. Division of Natural Sciences（1985-1989）. Director. Institute of Pure and Applied Physical Sciences（1991-1995）. Chairman. Department of Physics, UCSD（1995-1998）
材料物理1现代电子理论
College of Technology, Portsmouth, England（1955-1957）B. Sc., University of London（Imperial College）, England （ 1957-1960 ） Ph. D., University of Cambridge, England（1960-1963）
（16）
（17）
其中G[n]包括三部分： （18）
Ts[n]=密度为n(r) 的非相互作用电子体系的动能。 Exc[n]=密度为n(r) 的相互作用电子体系的交换关联能。 Eself-energy[n]=单个粒子的自能。应当扣除自能修正，下面 暂时忽略这一修正。
材料物理1现代电子理论
局域密度近似(LDA)
电子密度算符 电子密度分布n(r)是
(1) Hartree单位 (2)
外部势 (3）
(4)
(5) 的期待值：
（即
） (6)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理的证明
HK定理的证明：外部势v(r)是n(r)的唯一泛函。即由n(r)唯一决 定。换句话说，如果有另一个v’(r)，则不可能产生同样的n(r).
➢ DFT的优点 ➢ Hohenberg-Kohn定理 ➢ 能量泛函公式 ➢ 局域密度近似（LDA） ➢ Kohn-Sham方程
➢ 总能Etot表达式
➢ DFT的意义
材料物理1现代电子理论
概述
DFT即Density Functional Theory
一种用电子密度分布n( r)作为基本变量，研究多粒子
材料物理1现代电子理论
沃尔特·库恩指出,知道分布在空间任意 一点上的平均电子数已经足够了,没有必 要考虑每一个单电子的运动行为。这一 思想带来了一种十分简便的计算方法— —密度泛函理论。方法上的简化使大分 子系统的研究成为可能,酶反应机制的理 论计算就是其中典型的实例,而这种理论 计算的成功凝聚着无数理论工作者30余 年的心血。如今,密度泛函方法已经成为 量子化学中应用最广泛的计算方法。
2。DFT中的氢分子。 由密度分布表示。
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-3
3。大分子（例如DNA）; N个原子。
Schrodinger: ψ(r1,r2,r3,…rN)，3N维空间。
DFT: n(r)，
3维空间。
在有机化学、生物技术、合 金物理、表面科学、磁性等 领域DFT最为重要。
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
“泛函”这个名词是由法国数学家阿达 马 （ Hadamard ， 1865-1963 ） 在 1897年研究变分问题时引进的。“泛函” 也称泛函数，它是对实（复）值函数概念 的拓广或发展，通俗地说，泛函就是以函 数为变元的函数，其基本思想是把函数 （或曲线等）看作空间的元素或点，而函 数的集合构成了空间，“泛函分析”是研 究无限维线性空间的拓扑性质及其“泛函” 与“算子”的一般性质的一个现代数学分 支，它是无限维分析学的一个重要组成部 分。
(23)
材料物理1现代电子理论
(24)
Kohn-Sham方程
于是能量泛函为
求
，可得：
(25) (26)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理－I
1. 定理1：对于一个共同的外部势v(r), 相互作用的多粒子系统的 所有基态性质都由（非简併）基态的电子密度分布n(r)唯一地决 定。或: 对于非简併基态，粒子密度分布n(r)是系统的基本变量。
2. 考虑一个多粒子系（电子体系、粒子数任意），在外部势和相 互作用Coulomb势作用下，Hamiltonian为
反证法：设有另一个v’(r) ，其基态Ψ’也会产生相同的n(r).
∵ v(r)≠v’(r) ，∴ Ψ≠Ψ’（除非v’(r)-v (r)=const）.
∵ Ψ 与 Ψ’满足不同的Schrödinger 方程：
(7)
HΨ=EΨ
(8)
H’Ψ’ = E’Ψ’
• 利用基态能量最小原理，有
(9)
材料物理1现代电子理论
(21)
材料物理1现代电子理论
Kohn-Sham方程
利用LDA式(19), 能量泛函写为：
(22)
上式考虑另一个电子密度n’(r)。然后求E[n’]对n’的变分 δE[n’] /δn’为最小。相当于改变n’(r) 使E[n’] E[n]。 先求Ts[n’]: 为写出Ts[n’]，考虑v’(r) 为一个试验的单电子势。可由v’(r) 满足的单粒子方程，解出n’(r) 。
化学反应位能面
以后他将这一π电子理论扩展为所有价电子 的理论称为CNDO。开始时，波普尔并不相信 非经验的从头计算法能够和半经验方法竞争， 后来他自己改变了这种状况。
材料物理1现代电子理论
哈特里-福克方法，虽然引入了基函数 和高斯型基函数，离实用仍有很大距 离，瓶颈在于如H-F表达式那样的至少 是六维的多中心积分，这种积分在计 算中可达106至109 个。波普尔发明了 一种方法，可使计算工作量减少一到 两个数量级。他构造了一系列质量逐 步改进的基函数，并进行了大量的计 算加以检验，这是一个决定性的成就， 由于这种改进才使哈特里-福克方法可 以应用于实际的化学问题。
材料物理1现代电子理论
局域密度近似（LDA）
LDA: 对于缓变的n(r) 或/和高电子密度情况，可采用如下近似：
(19)
是交换关联能的r, 有不同的n(r) .相应的有
不同的
。
一种计算
的近似公式为（在Hartree单位下）：
(20) rs是自由电子气的电子”半径”。
HK定理已经建立了密度泛函理论 （DFT）的框架，但在实际执行上 遇到了严重困难。主要是相互作
用 电 子 体 系 的 交 换 关 联 能 Exc[n]
无法精确得到。为了使DFT理论能 够付诸实施，Kohn-Sham提出了局 域 密 度 近 似 (Local Density Approximation, LDA)。本次只直 接引用以便建立Kohn-Sham方程。
材料物理1现代电子理论
虽然上述方法只计及电子交换，而忽 略了电子间的相关，但对能量计算来 说，误差已不足1%。为了达到化学准 确性的要求，以更好地预测键能、活 化能、反应焓等，他又进一步研究电 子相关，采用微扰理论达到四阶，还 进行波函数的集团展开，进行了更精 确的计算。由于上述成就，波普尔在 1998 年荣获Nobel 化学奖。
体系基态性质的新理论。 W. Kohn 荣获1998年Nobel 化学奖
DFT- LDA- KS
自从20世纪60年代（1964）密度泛函理论（DFT）建立 并 在 局 域 密 度 近 似 （ LDA ） 下 导 出 著 名 的 Kohn － Sham (沈呂九)(KS)方程以来，DFT一直是凝聚态物理领域计 算电子结构及其特性最有力的工具。
3. 另一个重要优点是降低维数（Kohn的演讲）
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-1
密度泛函理论－ 物质电子结构的新理论
1。氢原子
1）Bohr: 电子＝粒子 2）Schrodinger:
电子＝波 ψ(r) . 3）DFT: 电子是电子云的 密度分布。 n（r）.
材料物理1现代电子理论
W. Kohn-2
材料物理-1-现代电子理 论
2020/11/20
材料物理1现代电子理论
早在1950 年代，波普尔 (Pople J A)就对半经验 量子化学方法作出重要 贡 献 ， 他 是 PariserParr-Pople 方 法 (PPP) 的 创 始 人 之 一 ， PPP 可 用来研究不饱和有机分 子的电子结构。
材料物理1现代电子理论
近几年来，DFT同分子动力学方法相结 合，有许多新发展； 在材料设计、合成、模拟计算和评价 诸多方面有明显的进展； 已成为计算凝聚态物理、计算材料科 学和计算量子化学的重要基础和核心 技术； 在工业技术领域的应用开始令人关注。
材料物理1现代电子理论
DFT的优点
➢ 它提供了第一性原理或从头算的计算 框架。在这个框架下可以发展各式各 样的能带计算方法。
Hohenberg-Kohn定理的证明
即
(10)
同时，把带撇的与不带撇的交换得
或者
(11)
可见(10)与(11)相互矛盾。表明v’(r) 不可能产生同样的n(r) . 所以v(r) 是n(r) 的唯一泛函。由于v(r) 决定整个H, 即系统的 基态能量是n(r) 的唯一泛函。
同理，T和U也是n(r) 的唯一泛函。可定义：
材料物理1现代电子理论
为了进一步得到分子的结构，人 们不仅要计算一定构型的能量， 为了求得平衡的构型，还要知道 能量的一阶乃至二阶导数，波普 尔在早期Pulay P 工作的基础上， 开发了有效计算这些导数的方法。
材料物理1现代电子理论
这种方法不仅能研究平衡态，还 可以沿着反应的途径，确定能垒， 以及过渡态的结构。波普尔在 1970 年将这些进展开发成为一 个应用软件GUASSIAN，并不断做 出改进，1990 年代又将密度泛 函方法引入。这一软件已为化学 界广泛采用。
➢ 在凝聚态物理中，如： 材料电子结构和几何结构， 固体和液态金属中的相变等。
材料物理1现代电子理论
1. DFT适应于大量不同类型的应用： (1)电子基态能量与原子（核）位置之间的关系可以用 来确定分子或晶体的结构； (2)当原子不处在它的平衡位置时，DFT可以给出作用 在原子(核)位置上的力。
2. 因此，DFT可以解决原子分子物理中的许多问题，如 (1)电离势的计算， (2)振动谱研究， (3)化学反应问题， (4)生物分子的结构， (5)催化活性位置的特性等等。
(12)
式(12)是一个普适函数，适于任何粒子系和任何外部势。于 是整个系统的基态能量泛函可写为：
(13)
材料物理1现代电子理论
Hohenberg-Kohn定理－II
定理2：如果n(r) 是体系正确的密度分布，则E[n(r)]是最低的能 量，即体系的基态能量。
证明：设有另一个n’(r) ,粒子数与n(r) 相同为N. 则
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
用密度泛函 理论计算在 钯催化剂上 合成醋酸乙 烯酯，上部 是结构变化， 下部是能量 变化
材料物理1现代电子理论
材料物理1现代电子理论
沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出 了巨大的贡献。量子化学理论和计算的丰 硕成果被认为正在引起整个化学的革命。 量子化学家几十年的辛勤耕耘得到了充分 的肯定。这标志着古老的化学已发展成为 理论和实验紧密结合的科学。沃尔特·库 恩的密度泛函理论构成了简化以数学处理 原子间成键问题的理论基础,是目前许多 计算得以实现的先决条件。传统的分子性 质计算基于每个单电子运动的描写,使得 计算本身在数学上非常复杂。