地下水非线性流动模拟
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水文地质工程地质
% & & &年第 %期
地下水非线性流动模拟
代群力 ’ 加拿大 () 大学土木与环境工程系 / * + , .
摘 要 !本 文 探 讨 了 非 线 性 地 下 水 流 动 的 规 律 0 对比了两种常用的公式模型0 及指数型公式0 并通过实验证 1 . 2 3 3 ) 45 .
% ’ g p / I * ’ d wfg p / ~f i ’ 9 / 在我们的实 验中 0 利用指数型公式所获得的参数
万方数据
收稿日期 !" # # # $ " % $ % &
为& 考 虑 图 "所 示 的 流 域 0 假 设 w" ; " 0 c& ; 9 0 i 4‘ , j 长度 x 为 > 边界 元模 型大部 分 c> & & & 40 w%c % 40 40
为非线性部分 ! 非线性流动的边界模拟形式如下 D 0 62 b 0 V 2c _ 0 V 2GH b V 2c ‘ 0 V 2 a a0 0 , R 2
其中 b 为权函授 # 0 62 方程式左边的非线性部分可以通过对整个流域的 积分求出 # 利用修改的达西边界元进行非线性流动模 下转第 d 0 d页 2
上接第 6 & ’页 ( 拟的部骤如下 % 首先让 非线性部 分 Q& 为4 剖分边界并将 & ’ ( " R( 流 域 进行剖分 & 三角 或矩形单 元 ( 利用达西流边界元 " 模型求出边界及内部结点的水头值 ! 利用上述初值计算方程式右端项 & 通过对整个 & + ( 流 域 的 积分 ( 并 将所 获 得 的 值 放 入 右 端 矩 阵 中 " 利用 " 达西流边界元模型重新计算边界及内部结点的水头 值! 重复第 二步直 至 收 敛 到 某 一 允 许 误 差 范 围 内 & , ( 的水头值 ! 实验及边界元模拟结果 " 沿边界 所 用结 点 为 ’ 3 4 " 内部单元 3 容忍误差为 4 4 " S 4 4 4 ’ ! 实验结果及边界元 非线性模 拟结果 的 对 比 从 中 可 以 看 出 非 线 性 模 线性) 拟结果与实验结果的匹配要大于线性流模拟 ! 对 于非 线 性 流 动 的 边 界 元 模 拟 " 相似于有限元同 样需要对内部结点求出水头 T 及其微分 " 因而增加了 复杂性并降低了效率 ! 当用达西流边界元来模拟非线 性流动时为克服此一缺陷 这里建议如下方法 % " 万方数据 对 于 二维剖面流 动 的 微 分 控 制 方 程 式 & 其自 ’ ’ ( "
!E $ N ’ < ? @ A B C D A *F 3 ) ,G H G 5 .F 3 5* * I ) * 5 H .J I KJ L . M * + KH F 5 .) ,+ ) , 2 M , , 5 + O K-2 44* I PM , 5 +J . 4M I H , 1 . 2 3 3 ) 45 .H * + / 0 5 Q G * 5 * F ) H I H . 52 4G H . 5 +J K3 ) 2 3F 3 51 . 2 3 3 ) 45 . 4+ 5 I , 3 K, , M G 5 . ) . H * +4. 5. 5 I ) H R I 5 H , S 5 . ) J ) 5 +R PM . I H R . H F . P N $ , F M + P T* I ) * 5 H .J I K 4+ 5 I ) * LM , ) * LU H . 2 PJ I K1 ) * ) F 55 I 5 45 * FH * +R M * + H . P5 I 5 45 * F45 F 3 +) ,+ ) , 2 M , , 5 +H * +H N 2 * S 5 * ) 5 * F 45 F 3 +M , ) * LV W X) ,G . S ) + 5 + !J 7R 7* $ YZ [\ ] B ^ @ ) * F 55 I 5 45 * F M * + H . P5 I 5 45 * F * I ) * 5 H .J I K
这种情况在实际情况中比较少见 0 因此在实用中 & ; 9 / 0 这取决于方便及精度要求 6 两种模型都可以利用 0
o 一维非线性流动的解析解
对 于矩 形 流 域 中 一 维 非 线 性 非 承 压 稳 定 流 动 0 利 用指数型公式 0 并设其流量为 p 其控制微分方程为 ! 0 q p q ’ ks t / c c& q r q r ’ = /
对于大孔隙及高梯 度 下 的 地 下 水 流 0 其雷诺数很 此时必须考虑到惯性力 大’ > & _9 & & 0 0 " # # " / 0 U L M I H , 的影 响 0 地下水 流与梯 度 之 间 的 关 系 不 再 遵 从 达 西 定 律6 这就是所谓的非达西域或非线性流动 0 这种情况经 常出现在抽 ‘ 注水井附近 a 石坝及砂砾河床 6 由 于非 线 性 水 流 的 复 杂 性 0 至今没有一个统一的 公 式 来更好地描述这种 流 动 0 其中两个常用的公式模 型是 1 及指数型公式 0 其形式为 ! . 2 3 3 ) 45 . 1 . 2 3 3 ) 45 . bc d ef g e h% 指数型 bc i e hj 或 式中 ! ll 水力梯度 7 b kll 渗透速度 7 数6 与 指数 型公式 相比 0 公 式 具有 较 好 的 1 . 2 3 3 ) 45 . 理论基础 6例如 m 从 TH 方程 ’ " # 9 > / $ M * H + H S ) 5 . m F n 5 . , 推出该公式 0 并注意到第一项代表着粘性流动 0 第二项 代 表 着惯性项 6U 在" # # "年 做 过 一系 列 实 验 0 M L I H , 研究透过各种粗颗粒中地下水非线性流动后认为 公式优于指 数型 0 而且 更可 靠 6 我们 的 实 1 . 2 3 3 ) 45 . 验室研究结果也证明了上述结论 6 然而对于初始阶段 两种模型与实验数据都吻合的很好 6 指数型偏离实验 数 据发生在高水力 梯度下 ’ 在我们的实验中梯度大于 kc i b hj ’ % / ’ " /
实了 1 公式具有更广的适用性 6深入探讨了利用达西流有限元及边界元模型进行非线性地下水流动模拟的方 . 2 3 3 ) 45 . 法及步骤并提出了一种简便的边界元模拟方法 6 关键词 !有限元 7 边界元 7 非线性流 中图分类号 !8 9 : " ; % 文献标识码 !< 文章编号 !" & & & $ = 9 9 > ’ % & & & / & % $ & & > & $ % ; >
q tj kc i s’ / q r 边 界 条 件 如 图 "所 示 0 其 a uV v U为 定 水 头 边 界a 值分别为 w"a w%6uU 为隔水边界 7 V v为自由水面 6 对’ 式进行积分有 ! = / xc
0 0 0 ll 与 不 同 渗 透 介 质 及 流 体 有 关 的 常 d g i j
在上述模拟 过程 中 ! 每一步对于每一个单元都要 计算沿 6S 并最终通过迭代 "方向上的等价水力梯度 ! 计算过程比较繁琐 # 来求解 ! 对于线性问题 ! 与有限元模拟相比 ! 边界元模拟在 效 率及精 确度方 面都 优 于 有 限 元 ! 特别是对于自由面 问 题! 边界元 可以直 接获 得自由 面 的 值 0 边界值2 而无 需求流域内的流动问题 # 然而对于非达西 0 非线性 2 流 动! 当利用 边界元 方法 时 就 需 要 了 解 流 域 内 部 的 流 动 问题 ! 此 时需要对 一些内 部 结 点 进 行 积 分 来 求 出 非 线 性 流动 对边界值 的贡献 0 自由 面 边 界 2 这将会部分抵 ! 消边界元的效率 # 虽然如此 ! 与有限元相比边界元仍优 于有限元 ! 因为在同样的精度下 ! 边界元所用的内部结 点要少得多 # 对 于二 维 非 线 性 无 源 汇 的 稳 定 流 动 ! 其微分控制 方程为 D T U T U V W J G/ 0 @ 2 T 6 T " Q K 或 NG IP UJ M UG PN PU 其中 N 当 GX Z GX Z Y X V或 N Y X U 与 6S "方向相应 ! 利用指数型公式时 ! 从式 0 我们可以得到 0 式D @ 2 , / 2 T 5 T 5 Q H, P 0 , / 2 W KJ N KG / T V T W 对于二维流 ! 方程 0 可以重新排为 D [/ S [/ ! , / 2 N N V W
Q H, N P V
图7 8 ; 7 9 : 基 本上 两 种 结 果 是 一 致 的 ! 利用指数公式获得的 水头要稍高于利用 $ 公式 # % & ’ ( ( ) *+ &
< 二维非线性流的有限元及边界元模拟
许多研究者利用修改过的达西流有限元来模拟非 线 性 流动 0 例如 ! 等2 ! , @ A B C , @ @ , ! # 在 这 些 有限 =& > ( ? 即根据 元 程 序 中将非线 性流问 题 转 换 成 非 均 质 问 题 ! 公式 ! 由水力 梯度 获得等 价 的 水力 传 导 系 $ % & ’ ( ( ) *+ & 数D H IJ L0 IJ 3 M N 2 K M N 式中 D EFOO 等价的水力传导系数 # 或者由指数公式获得 D EFG
, , UG I NJ M N ^K 0 , K 2 将式 0 代入式 0 其微分控制方程也可分成线 , K 2 @ 2 ! 性及非线性剖分 # 为简明起见设 _ 为线性部分 ! 0 62 ‘
EFG PN 0 A 2 其模拟步骤如下 D 假 设 一 个 初 始 的 EF 利用达西流有限元模型 0 , 2 ! 来计算水头 5 及其微分 # 利 用 求 得 的 水 头 5 及 其 微 分! 通过0 式或 0 K 2 B 2 式求 出沿 6 及 " 方 向 上 的 等 价 水 力 梯 度 ! 利用所 0 A 2 求 出 的新 EF 的值 及达西 流有限元模 型 重 新计 算 水 头 值 5 及其微分 # 重复步骤 0 直至收敛到在某一设定的误差标 K 2 0 R 2 准下的水头值 # 有限元模型中共用了 1 K /个结点及 , K / /个单元 ! 其模拟结果与实验结果吻合的很好 # 万方数据
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如果 ! 方程 ’ 退化成如下形式 ! c" a : / xc w{| w ~ ypzs y%zs }
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与达西流一致 6 在 ’ 式中如果流量 p 已知 0 很 : / w’ x/ 容 易 显 式 地 求 出0 或 者 在 xc ! 的 水 头 w 已 知 0 利用 式流量也容易求出 6 ’ : / xc " " % d wfg p / |% g p ’ d wfg p /f = } ’ p % d
K / / /年第 K期
水文地质工程地质
ed , e
结果 与 分析结果吻合的 比 较 好 ! 较大的误差出现在下 游边界! 引起的 原因可 能 是 在 边 界 模 型 中 考 虑 的 是 二 而分 析 结 果考 维情况即考虑到 " 方向上 的非线 性 流 ! 虑的是一维流的情况 # 利用 $ 方程 ! 对于图 ,中同样的流域及 % & ’ ( ( ) *+ & 边界条件 ! 通过积分可以得到以下的表达式 ! 其中常数 项可以通过边界条件确定出 # 当常数 . 等于 /时 ! 方 程 式0 也退化到 达西流 # 但式 0 要比式0 复杂的 1 2 1 2 3 2 多! 且在 4 已知 的 情 况 下 ! 不 能 被 显 式 地 求 出! 50 62 要通过迭代方式获得结果 #
Q H, K
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N V N W
Q H,
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K K T 5 T 5 K J K G / T V T W
0 B 2Βιβλιοθήκη Baidu
Q H, K K N T 5 T 5 W P 0 , , 2 K J K N T V T W V 用 上述 方法 ! 我们 总可 以 把 非 线 性 微 分 控 制 方 程 分 解
\]
为两部 分 ! 一部分 为方 程 左 边 拉 普 拉 斯 形 式 的 线 性 部 分! 一部分为方程式右边的非线性部分 # 同样地我们也 可以利用 $ 公式这样做 ! 或者利用泰勒级数 % & ’ ( ( ) *+ & 将式 0 展 开 并 忽 略 高 阶 项! 渗透速度 U可以近似表 , 2 达为 D
水文地质工程地质
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万方数据
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为非线性部分 ! 非线性流动的边界模拟形式如下 D 0 62 b 0 V 2c _ 0 V 2GH b V 2c ‘ 0 V 2 a a0 0 , R 2
其中 b 为权函授 # 0 62 方程式左边的非线性部分可以通过对整个流域的 积分求出 # 利用修改的达西边界元进行非线性流动模 下转第 d 0 d页 2
上接第 6 & ’页 ( 拟的部骤如下 % 首先让 非线性部 分 Q& 为4 剖分边界并将 & ’ ( " R( 流 域 进行剖分 & 三角 或矩形单 元 ( 利用达西流边界元 " 模型求出边界及内部结点的水头值 ! 利用上述初值计算方程式右端项 & 通过对整个 & + ( 流 域 的 积分 ( 并 将所 获 得 的 值 放 入 右 端 矩 阵 中 " 利用 " 达西流边界元模型重新计算边界及内部结点的水头 值! 重复第 二步直 至 收 敛 到 某 一 允 许 误 差 范 围 内 & , ( 的水头值 ! 实验及边界元模拟结果 " 沿边界 所 用结 点 为 ’ 3 4 " 内部单元 3 容忍误差为 4 4 " S 4 4 4 ’ ! 实验结果及边界元 非线性模 拟结果 的 对 比 从 中 可 以 看 出 非 线 性 模 线性) 拟结果与实验结果的匹配要大于线性流模拟 ! 对 于非 线 性 流 动 的 边 界 元 模 拟 " 相似于有限元同 样需要对内部结点求出水头 T 及其微分 " 因而增加了 复杂性并降低了效率 ! 当用达西流边界元来模拟非线 性流动时为克服此一缺陷 这里建议如下方法 % " 万方数据 对 于 二维剖面流 动 的 微 分 控 制 方 程 式 & 其自 ’ ’ ( "
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