弹簧连接体专题

练习：质量相同的小球A和B系在质量不计 的弹簧两端，用细线悬挂起来，如图，在剪 断绳子的瞬间，A球的加速度为 ， B球的加速度为 。如果剪断弹簧呢？ A A B 总结： 剪断的瞬间，若弹簧两 端有物体，则弹簧上的 弹力不发生变化，若一 端有物体，则弹簧上的 弹力瞬间消失。
B
（2005年全国理综III卷）如图所示，在倾角 为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接 的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB， 弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统 处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方 向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离 开C时物块A的加速度a和从开始到此时物 块A的位移d，重力加速度为g。
F A
B 图9
练习2： A、B两木块叠放在竖直的轻弹簧上， 如图3（a）所示。已知木块A、B的质量，轻弹 簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一 个竖直向上的力F，使A由静止开始以的加速度 竖直向上作匀加速运动（g取10m/s2） （1）使木块A竖直向上做匀加速运动的过程中， 力F的最小值和最大值各为多少？ F （2）若木块由静止开始做匀加速运动 直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能 A B 减小0.248J，求力F做的功。
有关弹簧问题的专题复习
纵观历年高考试题,和弹簧有关的物理 试题占有相当的比重,高考命题者常以弹簧 为载体设计出各类试题,这类试题涉及到静 力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守 恒问题、振动问题、功能关系问题,几乎贯 穿于整个力学知识体系,为了帮助同学们掌 握这类试题的分析方法,同时也想借助于弹 簧问题,将整个力学知识有机地结合起来,让 同学们对整个力学知识体系有完整的认识, 特将有关弹簧问题分类研究如下.
图7
总结：对于面接触的物体，在接触面间弹力变 为零时，它们将要分离。抓住相互接触物体分 离的这一条件，就可顺利解答相关问题。
练习1：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一 质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲 度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所 示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始 向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变 化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值 F 各是多少？（g=10m/s2）
1 1 2 2 由机械能守恒得： 2Mv3 ＋2Mgx 2Mv2 E 2 2
从A、B分离后到物体C刚好离开地面的过程中， 物体B和弹簧组成的系统机械能守恒， 即:
联立以上方程解得： H
1 2 Mv3 E Mgx 2 8Mg
k
2E Mg
点评（1）“刚好”含义的理解。 （2）物理过程的分析。 （3）状态的选取。
3：与动量能量相关的弹簧问题。
例1：如图34，木块ＡＢ用轻弹簧连接，放在光 滑的水平面上，Ａ紧靠墙壁，在木块Ｂ上施加向 左的水平力Ｆ，使弹簧压缩，当撤去外力后； Ａ.Ａ尚未离开墙壁前，弹簧和Ｂ的机械能守恒； Ｂ.Ａ尚未离开墙壁前，系统的动量守恒； Ｃ.Ａ离开墙壁后，系统动量守恒； Ｄ.Ａ离开墙壁后，系统机械能守恒。 思考：若力F压缩弹簧做 的功为E，mB=2mA 2 图34 求弹簧最大的弹性势能？ E
2、动力学中的弹簧问题。
(1)瞬时加速度问题
【例4】一个轻弹簧一端B固定,另一端C与细绳的一 端共同拉住一个质量为m的小球,绳的另一端A也固 定,如图所示,且AC、BC与竖直方向夹角分别为,则 A.烧断细绳瞬间,小球的加速度 B.烧断细绳瞬间,小球的加速度 C.在Ｃ处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度 D.在Ｃ处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度
例3：如图所示，物体B和物体C用劲度系数 为k的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上， 此时弹簧的势能为E。这时一个物体A从物体 B的正上方由静止释放，下落后与物体B碰撞， 碰撞后A与B立刻一起向下运动，但A、B之间 并不粘连。已知物体A、B、C的质量均为M， 重力加速度为g，忽略空气阻力。求当物体A 从距B多大的高度自由落下时，才能使物体C 恰好离开水平地面？ A
F A
由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，
分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N
B
(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能 相等，由功能关系得：
1 2 WF=mg(x1＋x2)+ m(at) 49.5J 2
思考：若A、B的质量不相等， 求此过程中外力F所做的功， 还需要知道哪些条件？
A
B
图9
解：(1)A原来静止时：kx1=mg ① 当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小， 设为F1，对物体A有：F1＋kx1－mg=ma ②
当物体B刚要离开地面时，拉力F最大， 设为F2，对物体A有：F2－kx2－mg=ma 对物体B有：kx2=mg 1 2 对物体A有：x1＋x2＝ at
2
③ ④ ⑤
【例3】（1999年全国高考题）如图所示,两木 块的质量分别为m1和m2,两轻质弹簧的劲度 系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧 上（但不拴接）,整个系统处于平ຫໍສະໝຸດ Baidu状态.现缓 慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧. 在这过程中下面木块移动的距离为（ ）
m2g m1 g m2 g m1 g A. B. C. D. k2 k2 k1 k1
解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g ① 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动， 设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g ② B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。 由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为: △E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ③ C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同， 由能量关系得:
3
例2：如图所示，小球从a处由静止自由下落， 到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最 短，若不计弹簧的质量和空气阻力，在小球由 a→b→c运动过程中( C E )
A．小球的机械能守恒 B.小球在b点时的动能最大 C．到C点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性 势能的增加量 D.小球在C点的加速度最大，大小为g E.从a到c的过程，重力冲量的大小等于 弹簧弹力冲量的大小。
a mA
由题意 d=x1+x2 由①②⑤式可得
⑤
(m A mB ) g sin d k
（2）连接体问题。
例：一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧， 上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水 平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如 图7所示。现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板 开始与物体分离。

k
m1 g B． l

k
m2 g
图44

k
(m1 m2 ) g
m1 m2 l )g D． ( k m1 m2

• 【例2】（2002年广东省高考题）如图所示,a、b、 c为三个物块,M、N为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定 滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（ AD ） • A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态 • B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 • C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态 • D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态
拓展：一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在 某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩 擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低 点的一段运动过程中( CD ) （A）升降机的速度不断减小 （B）升降机的加速度不断变大 （C）先是弹力做的负功小于重力做的正功， 然后是弹力做的负功大于重力做的正功 （D）到最低点时，升降机加速度的值一定大 于重力加速度的值。
（2005年全国理综II卷）如图，质量为的物体A经一 轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹 簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不 可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端 连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上 方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的 物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开 地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物 体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B刚离地时D的速度的大小是多少？ 已知重力加速度为g。
解：由于木板压缩弹簧，木板克服弹力做 了多少功，弹簧的弹性势能就增加了多少 即： E弹 W弹（木板克服弹力做功， 就是弹力对木块做负功），
依据动能定理： Ek mgx WF W弹 0
W弹＝－mgx-WF=-4.5J
弹性势能增加4.5焦耳 点评：弹力是变力，缓慢下移，F也是变力， 所以弹力功 W Fx 50J
图9
思考：
1 何时分离时？
2分离时物体是否处于平衡态。弹簧是否处于原长？
3.如何求从开始到分离的位移？ 4.盘对物体的支持力如何变化。 5、要求从开始到分离力F做的功，需要知道哪些条件？
F
图9
如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端 各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、 B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向 上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速 运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹 簧都处于弹性限度内，g=10m/s2 ， 求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此过程中外力F所做的功。 F
解：令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和 牛顿定律可知 A g sin kx ① m 令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量， a表示此时 A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知： kx2=mBgsinθ ② F－mA­gsinθ－kx2=mAa ③ 由②③式可得: F (m A m B ) g sin ④
B
C
解：设物体A从距B的高度H处自由落下，A与B碰撞前 的速度为v1，由机械能守恒定律得
v1= 2 gH
设A、B碰撞后共同速度为v2，则由动量守恒定律得： Mv1＝2Mv2，解得: v2＝
gH 2
当C刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为 x=Mg/k，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为E。
当弹簧恢复原长时A、B分离，设此时A、B的速度为v3， 则对A、B一起运动的过程中
对于弹簧，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变 力；从能量的角度看，弹簧是个储能元件；因此， 关于弹簧的问题，能很好的考察学生的分析综合 能力，备受高考命题专家的青睐。如97全国高考 的25题、2000年全国高考的22题、2003年江苏 卷的20题、2004年广东卷的17题、2005年全国 卷I的24题等。 类型： 1、静力学中的弹簧问题。
1 1 2 2 (m3 m1 )v m1v (m3 m1 ) g ( x1 x2 ) m1 g ( x1 x2 ) E 2 2
1 (2m1 m3 )v 2 m1 g ( x1 x 2 ) 由③④式得: 2 2m1 ( m1 m 2 ) g 2 由①②⑤式得: v ( 2m1 m3 ) k
图7
分析与解：设物体与平板一起向下运动的 距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力 F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二 定律有： mg-kx-N=ma 得:N=mg-kx-ma
当N=0时，物体与平板分离，
所以此时:
1 2 因为 x at ，所以 t 2
m( g a) x k
2 m( g a ) ka
弹
（2）连接题问题
【例1】如图所示，在一粗糙水平上有两个质
量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原 长为 l 、劲度系数为k的轻弹簧连结起来，木 块与地面间的动摩擦因数为 ，现用一水平 力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时 两木块之间的距离是A （2001年湖北省卷）
A． l C．l
2、动力学中的弹簧问题。
3、与动量和能量有关的弹簧问题。
1、静力学中的弹簧问题
（1）单体问题。在水平地面上放一个竖直 轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0kg的木 板相连。若在木板上再作用一个竖直向下的 力F使木板缓慢向下移动0.1米，力F作功 2.5J,此时木板再次处于平衡，力F的大小为 50N，如图所示，则木板下移0.1米的过程中， 弹性势能增加了多少？ F