4 函数的单调性与凹凸性的判别法

Nove. 7 Fri. Review
1. 局部Taylor展开式：
若函数 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数，则有：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn( x)
其中 Rn( x) o(( x x0 )n )( x x0 ) 称为 Peano余项。
1 x 1 x x 0 时，f ( x) 0，f ( x 在 (0,) 上严格单调上升， 于是有：
f ( x) f (0), 即 x ln(1 x).
当 1 x 0 时, f ( x) 0，f ( x) 在 (1,0) 内严格单调
下降，也有：
f ( x) f (0), 即 x ln(1 x).
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由th.1 知，10 成立。
假设 ( , ) (a,b)，有 f ( x) 0,则
f (x) C 这表明 f ( x) 不是严格单调上升函数，与条件矛盾。 由10 知, f ( x) 在 (a,b) 内上升。现用反证法证明 严格上升。
例 1. y x3，y x4；
5
2. 求函数 y ( x 2)3的凹凸区间及拐点；
求拐点的步骤： 1. 求出使 f ( x) 0 的点；
2. 求出 f ( x) 不存在的点，但函数要有意义； 3. 考察在这些点的左、右函数的凹凸性.
2
例3 讨论 y (2x 5)x3 的凸性；
解： x 0 时，
二. 函数的凸性及其判别法
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y x2
y
1
y x
C B
A
0
1
xo
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
பைடு நூலகம்
x2 x
图形上任意弧段位
于弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于弦的上方
定义1 设函数 f ( x) 在区间 I 内有定义，若对x1，x2 I，
x1 x2，对任一 (0,1)，总有： f ((1 )x1 x2 ) (1 ) f ( x1) f ( x2 )
2). f ( x)在[a,b]下降 f ( x) 0。 1). f ( x)在[a,b]上升 f ( x) 0； 设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x)在[a,b]上升 f ( x) 0； 2). f ( x)在[a,b]下降 f ( x) 0。
证明：10 y 1 , x
y
1 x2
.
y ln x 在 (0,) 上是凹的；
20 设 a 0, b 0，当 a b 时，由凹函数定义，有：
(1 )lna lnb ln[(1 )a b]
a b 时，等号成立，将不等式两端取 e 的指数，则：
a1b (1 )a b
1 时，有 ab 1 (a b)
现证明左端不等式：当 x 0 时，0, x 1
1 x
1 x 0 x ln(1 x ) ln 1 ln(1 x)
1 x
1 x
1 x 1 x
即 x ln(1 x) 1 x
当 1 x 0 时， x 0，同样有： 1 x
x ln(1 x ) x ln(1 x) x.
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
f ( x x) f ( x) 0, x x (a,b) x
得 lim f ( x x) f ( x) 0（极限的保号性）
x0
x
f ( x) 0.
"" x1, x2 (a,b)，在 [ x1, x2 ] 上用 Lagrange 定理
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
f (n1)( )
( (n 1)!
x
x0
)n1 (
介于 x 与 x0 之间)
带Lagrange余项的Maclaurin公式：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
f ( x2 )
f (x1) f (x1)(x2 x1)
f ( x1)
0
x1
x2 x
0
x1
x2
x
凸函数
凹函数
f ( x2 ) f ( x1) f ( x1)( x2 x1) f ( x2 ) f ( x1) f ( x1)( x2 x1)
定义1’ 若函数 f ( x) 可微 凸函数 f ( x2 ) f ( x1) f ( x1)( x2 x1) 凹函数 f ( x2 ) f ( x1) f ( x1)( x2 x1)
a
b
设函数 y f ( x) 在 (a,b) 内有定义，x1，x2 (a,b)，
x1 x2，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) 或 f ( x1 ) f ( x2 )
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减。
定理1
设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则 1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )( x2
x1 )
f
(
2!
)
(
x2
x1 )2
介于 x1 与 x2 之间。
f ( ) 0 ,
f
(
2!
) ( x2
x1 )2 )
0
.
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 )
f ( x) 是凸的。
几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。
1 x
1 x
1 x
2. 设 f ( x) 在 [0,a] 上二次可导，且 f (0) 0, f ( x) 0， 证明 f ( x) 在 [0,a] 上单调减少；
x
证明：f ( x) 在上二次可导，故由 Lagrange 定理，
x [0,a], (0, x)，使得
f ( x) f (0) f ( )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ), ( x1, x2 )
则 f ( x1) f ( x2 )，在 [a,b] 上是上升的。 20. "" 若 f ( x) 在 [a,b] 上是下降的，则 f ( x) 是 上升的，由 10 知， f ( x) 0 即 f ( x) 0；
2
2
更进一步有不等式：
1
(a1a2 an )n
1 n (a1
a2
an ),
ai 0
n 个正数的几何平均值不超过它们的算术平均值。
Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。
Nove. 9 Wed.
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❖ 函数单调性判别法
例 1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x，
1 x 等号成立当且仅当x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只须证 1 x 0 与 x 0
不等号成立。 先证右端不等式。考虑函数
f ( x) x ln(1 x)，f (0) 0 f ( x) 1 1 x
f (a b) 1[ f (a) f (b)] (a b 时等号成立) 22
即 a b ln a b a ln a bln b
2
2
(a b)ln a b a ln a bln b.
2
5. 1). 讨论 y ln x 的凸性；
2). a，b 0，0 1 证明 a1b (1 )a b。
假设 f ( x) 不严格上升，那么( , ) [a,b]， 且 ，但
f ( ) f ( )
因为 f ( x) 是上升函数，所以
f ( x) f ( ), x
f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！
f ( x) 严格上升。
x
另一方面
f
(x) x
xf ( x) x2
f
(x)
xf ( x) [
f (x) x2
f (0)]
xf ( x) x2
f ( )
f ( x) f ( )
x
由 f ( x) 0，可知 f ( x) f ( ).
故
f
(x) x
0，即
f (x) x
在 [0,a] 上单调减少。
3. 求函数f ( x) x2ex在[0,)上的最大值。
则称函数 f ( x) 在 I 内是凸的(convex)；若有：
f ((1 )x1 x2 ) (1 ) f ( x1) f ( x2 )
则称函数 f ( x) 在 I 内是凹的(concave)。
若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数 是凸函数或凹函数。
y
f ( x2)
y
f (x1)(x2 x1)
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
证明：只证 f ( x) 0 的情况。
设 x1, x2 (a,b)，在 x1 处有带 Lagrange 余项的 Taylor 公式：
f (x)
f ( x1 )
f ( x1 )( x
x1 )
f ( )( x
2!
x1 )2
其中 x (a,b)， 介于 x1 与 x2 之间.
令 x x2，则有
解： f ( x) 2xex x2ex xex (2 x)
当 0 x 2 时，f ( x) 0; x 2 时，f ( x) 0.
因此连续函数 f ( x) 在 [0,2] 上严格上升，在 (2,) 严格下降。 f (2) 4e2 为 f ( x) 在 [0,) 上最大值。
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
反之若 f ( x) 0，则 f ( x) 0，由10 知， f ( x) 在 [a,b] 上升。 所以 f ( x) 在 [a,b] 下降。
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为0。
y 10 x 1, 3 3x
y 10 2x 1. 9 x3 x
x 0 时， 导数不存在，二阶导数也不存在。
x 1 时，f ( x) 0 2
用 x 0 及 x 1 将 (,) 分区间, 2
(, 1), ( 1 ,0), (0,) 22
x
(, 1) 2
1 2
f (x)
0
f (x) 凹
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
. Nove. 4 Fri §4 函数单调性与凸性的判别法
❖ 函数单调性判别法 ❖ 函数的凸性及其判别法
一. 函数单调性的判别法
y
y f (x) B
y y f (x) A
定义
A
oa
bx
f ( x) 0
B
o
x
f ( x) 0
定义2
若 f ( x) 在 x0 的某一邻域内，在x0 的一边是凸 的，在另一边是凹的，则称 ( x0, f ( x0 )) 为 f ( x) 的拐点或(扭转点)。
定理 若函数 f ( x) 在 (a,b) 内有 f ( x) 0，则 f ( x) 在 (a,b)
内是凹的；若在(a,b) 内 f ( x) 0，则 f ( x) 在 (a,b) 内是凸的。
( 1 ,0) 2
0
(0,)
不存在
凸
凸
拐点为 ( 1 ,33 2), (0,0) 不是拐点。 2
4. 设 a，b 0，证明 (a b)ln( a b) a ln a bln b； 2
证明：经观察，不等式与函数 y x ln x 有关，y 在 (0,) 上 是凸的，利用凸性. 设 f ( x) x ln x, 则 f ( x) ln x 1，f ( x) 1 ( x 0) x 可见 f ( x) 在 (0,) 是凸的，故 a 0,b 0 时有：