数学物理方程课件第三章行波法与讲义积分变换法

x ,t0 x
uf1 (x a) tf2 (x a)t
u ( x ,0 ) f1 ( x ) f2 ( x )( x )
t1
t2
f2
行波法
f1
u( x t,0)af1 (x)af2 (x)(x)
f1(x)f2(x)a 10x()dC
f1(x)1 2(x)2 1 a0 x()dC 2 f2(x)1 2(x)2 1 a0 x()dC 2
第3章行波法与积分变换法
u (x ,t) 1 (x a t)(x a t) 1x a t ()d
2
2 ax a t
4 解的物理意义
a. 只有初始位移时，u(x,t)1(xat)(xat)
2
(x at) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
(x at) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
t
2
2 ax a t
t
P (x,t)
依赖区间
x xat xat
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
xatC 特征线 xat
xat 特征变换
x
行波法又叫特征线法
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
7 非齐次问题的处理
2 tu2 a2x2u2f(x,t),
t(x,t,)d
0
1
t
xa(t)
f (,)dd
2a 0 xa(t)
从而原问题的解为
u(x,t)1(xat)(xat)1 xat()d
2
2a xat
1 t xa(t) f(,)dd
2a 0 xa(t)
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x2u 2(AB)x2uyAB y2u 2 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2tu22
a2
2u2 x2
f(x,t),
x,t 0
u2(x,0)0,u2(tx,0)0, x
利用齐次化原理，若 满足：
2(t2x,)a20,2x2,(xt,)f(x,),
x,t
x
则：u2(x,t)
t(x,t,)d
0
令：t1 t
2t(1x2,0)a20,2x2,(tx1,0)f(x,),
x1 a tx1 a tu0
1
x a t
1
x a t
百度文库
1 1 2x a t
x t
x t
2u
u0
u f ( )
uf1()f2()
1 1 2x a t
uf1 (x a) tf2 (x a)t
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(t2xu 2,0)a 2 (x2 xu2),,u(xt,0)(x),
yAx yBx
uuu Au B u x x x
x 2 u 2 A u B u x A u B u xA2 2u22AB 2 uB2 2u2
uyuyuy
u
u
y 2 u 2 u u y u u y2u2 22u2u2
x 2 u y A u B u y A u B u y A 2u2(AB) 2 uB 2u2
x2u2(AB)x2uyAB y2u2
A2 2u 22AB 2 u B2 2u2(AB)A 2u 2(AB) 2 u B 2u2
x,t10 x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2t(1x2,0)a20,2x2,(tx1,0)f(x,),
x,t10 x
(x ,t1 ) 2 1 ax x a a t1 t1f(,) d 2 1 ax x a a ( ( tt ) )f(,) d
u2(x,t)
u 1 ( x a ) 1 tx a( t) d C 1 ( x a ) 1 tx a( t) d C
2
2 a 0
2 2
2 a 0
2
u 1 (x a t)(x a t)1x a t ()d
2
2 ax a t
一维波动方程的达朗贝尔公式
数学物理方程与特殊函数
x,t0
u(x,0)(x),u(xt,0)(x), x
利用叠加原理将问题进行分解：u u1 u2
2tu21
a22u1, x2
x,t0
u1(x,0)(x),u1(xt,0)(x), x
2tu22
a2
2u2 x2
f
(x,t),
x,t 0
u2(x,0)0,u2(tx,0)0, x
u 1 (x ,t) 1 2 (x a t)(x a t) 2 1 ax x a a tt ()d
b. 只有初始速度时： u(x,t)1 xat()d 2a xat 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u (x ,t)1 (x a t)1 (x a t)
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u (x ,t) 1 (x a t)(x a t) 1x a t ()d
2
2 ax a t
5 达朗贝尔公式的应用
uu|tt t 0a2 euxx2x,0u,t
x |t02axex2
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u (x ) 1 2 [e (x a )2 t e (x a )2 t ] 2 1 ax x a a2 ta t s s 2 d es
1 2[e (x a)2 t e (x a)2 t] 1 2x x a ae tt s2d2s
1 2[e (x a)2 te (x a)2 t]1 2[e s2x x a att e(xat)2
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第3章行波法与积分变换法
6 相关概念
u (x ,t) 1 (x a t)(x a t) 1x a t ()d
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x2 u2u(t2xu 2a,10 2)a x2t2 u2(2x2 xu 2),0,1au(xt,0 tx)222 ua1(2x0),t22 u 0xx x ,t x02xatxt tx2taat