两圆外切的性质与应用

两圆外切的性质与应用

两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。

4 性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d （圆心距） 等于两个圆的半径之和，即d=R+r

两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说， 两个圆心及切点这三点共线。

例1 若两圆半径分别为R ，r(R ＞r)，其圆心距为d,且

Rr 2r d R 222-=+-，则两圆的位置关系是__________.

解：因为,Rr 2r d R

222-=+- 所以,d r Rr 2R

222=++ 所以,d r R ,d )r R (22±=+=+所以

所以d=R+r(R+r=-d 不合题意).

因此两圆的位置关系是外切.

二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两圆的切点且垂直于它们的连心线。

如图1，半径为r 、R 的⊙与1O ⊙2O 外切，外公切线AB 分别切⊙与1O ⊙2O 于A 、B ，那么AB 就是外公切线长。连A ，O 1B O 2，由切线性质知

.C O B O O ,AB B O ,AB A O 12121垂直作过⊥⊥可证得四边形ABCD 为矩形，得

r A O BC ,AB C O 11===，

因此，r R C O 2-=，

而在Rt Δ，C O O 21中

,r R C O ,r R O O 221-=+=

：.Rr 2Rr 4)r R ()r R (C O O O C O AB 22222211于是有于是==--+=

-=

=

性质(2) 外公切线长等于Rr

2

7 两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两

圆的元素联系起来.

性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙.

例2 已知如图2, ⊙

与1O ⊙2O 外切于点C,PA 切⊙2O 于点A,交⊙1O 于点P 、D ，直接PC 交⊙2O 于点B 。

求证：AC 平分∠BCD 。

解：过C 作⊙与1O ⊙2O 的内公切线`MN 交AP 于M ，所以∠MCD=∠P.

又PA 切⊙2O 于点A,

所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.

即AC 平分∠BCD.

四.看下一例:如图3, ⊙

与1O ⊙2O 外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,求证ABP ∆为直角三角形.

解:过P 作内公切线交AB 于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知ABP ∆为直角三角形.

此题中AB 为外公切线与两圆的切点,P 为两圆切点.

我们习惯上把ABP ∆称为切点三角形.

在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要.

性质(4) 切点三角形是直角三角形.

例4(重庆市中考题)如图4, ⊙

与1O ⊙2O 外切于点P,内公切线PC 与外公切线AB(A 、B 分别是⊙与1O ⊙2O 上的切点)相交于点C,已知⊙与1O ⊙2O 的半径分别为3、4,则PC 的长等于________.

分析:由于AB 为外公切线,由性质(2)知

.34432Rr 2AB =⨯==

又由性质(4)知

APB ∆为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP 为斜边AB 上的中线,因此

.32AB 21

CP ==

例5.如图5, ⊙与1O ⊙2O 外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,连心线交21O O

⊙1O 于C,交⊙2O 于D,CA 与DB 的延长线相交于Q,求证:DQ CQ ⊥.

简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠CQ

Q=Rt∠,即DQ。

两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.