相似图形(一).
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a与b的比是多少？
a 18.5cm 37 b 13cm 26
线段的比的概念及表示方法
（1）两条线段的比：如果选用同一个长度单位，量得两 条线段 AB，CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的 前项
比AB:CD=m:n,或写成:
后项
AB m CD。 （2）如果把 表示成比值k,那么 CD k , 或AB=k· n
课堂练习
1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个 选项是正确的？( C ) A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段 C. a, c, b, d成比例线段 A.2cm,3cm,4cm,1cm D. a, d, c, b成比例线段 B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm 2.下列各组线段的长度成比例的是（ D ）
m n m 已知 ,求 的值. = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
m 6 n = 5 m 方法(2)因为 6 = m 所以 n =
n ,所以5m=6n 5 6 5
x 2.如果2 x 5 y.那么 y
5 2
3.把mn pq写成比例式.写错 的是 D
m p A. q n
推证
a b d
, 那么ad=bc 吗？ 吗？ c ad=bc；
a c . b d
（ 1）
a c b d
a bd c bd b d
（2） ad=bc
b
ad ÷bd =bc÷ bd ad=bc
d a c . b d
上述两个命题：a c
─比例的基本性质 ad=bc；
可以合写成：
a c ad bc . b d
p n B. m q
q n C. m p
m p D. n q
b 3 c 2 4.如果 , 且c ab, 则 （B） c 2 a
4 3 2 3 A .B .C .D 3 2. 3 4
解: b 3 c 3 2 k , b ck , c ack , c ak , k c 2 a 2
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
已知 a· d=b· c，你能得到哪些比例 看谁想的多：
a c = b d
式
a b c = d
对调内项， 比例仍成立！
d b c = a
c d = a b b d = a c
d c = b a
c a = d b b a d = c
对调外项， 比例还成立吗？
结论：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式 (2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立
8 7 6 5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
O –1
百度文库
–2 –3
一.定义 :四条线段 a、b、c、d 中，如果
a
b （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. 其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
外项
=d
c
线段 a、d 叫做比例外项， a：b=c：d 线段 b、c 叫做比例内项，
C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm
D.1cm,2cm,2cm,4cm
3.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
4.已知线段a=3, b=12,而线段c是线段a, b的
比例中项,则c=
6
5.指出下列比例线段中的内项和外项. PA = PC PA和PD PB和PC，外项为： （1） 内项为： PB PD
E
证明: ∵D为AB中点
1.若 m=3，n=4，则 m，n 的比例中项 p=
2.已知线段 a=1cm，b=9cm，则线段 a，b 的比例中项 c=
课堂小结
通过本节课的学习，请你总结求两条线段 比的方法，并说说要注意那些问题。 归纳： 1、两条线段的长度必须用同一单位表示； 2、两条线段的比没有单位（与采用的单位无 关系），是一个正数； 3、两条线段的比的表示方法。
回顾与思考
比例线段的定义
(1) 线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗? CD OA BE 2 ; HL OF GM OE AB (2) 在图(2)中, 你还能找到比相等的其它线段吗 ? y F OM FG 四条线段 y a,b,c,d中,如果 A a与b的比等于 H c与d的比, 即 a c C b d, 那 G B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 么这四条线段 O – 1 1 2 3 4 5 6 x a,b,c,d 叫做成 –2 D L 比例线段, –3 E –4 简称比例线段. M –5 (1) (2)
§相似图形（一）
黄山松
天坛
这些图形有什么共同的特点？
它们的形状相同，大小 不同，这些图形都是相 似图形。你知道相似图 形有什么特征吗？
2、全等形：
形状、大小都相同的图形称为全等形。
注：全等形是相似形的特殊情况。
相似图形
1. 线段的比
1.线段的比
测量课本封面相邻两边a，b的长， 分别得出a=18.5cm，b=13cm．
∴BE=5，由勾股定理可得 AE= 5
3 3
5 3 AE 3 3 BC 10 6
练习5
P为线段MN上一点AC－BC=6cm， BC∶AB=2∶7．求AB的长．
解：设BC=2x，AB=7x，则AC=7x-2x=5x AC-BC=5x-2x=3x=6 X=2 AB=7x=7×2=14（cm）
a b 100mm 20cm 100mm 200mm 1 2 .
100mm
1
;
结论：
1.两条线段比是一个没有单位的正数。
2.两条线段比与所选的长度单位无关。 3.求两条线段比时，如果单位不同,那么必须 先化成同一单位，再求它们的比 。
比例尺是指在地图或工程图纸上，图上长度与 实际长度的比。
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
3.和一般的数构成的比例式不同，由线 段构成的比例式的各项均为正数。
例 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
a 1 = c 2 a d d 3 1 = = c=b b 6 2
即线段a、c、d、b成比例 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
例. 已知:△ABC中,D、E分别是AB、AC 的中点，那么线段AD、AB、DE、BC是 否是成比例线段？为什么？ A 答:AD,AB,DE,BC成比例线段 D B
1 ∴AD= AB 2 C AD 1 ∴ = AB 2 ∵DE为 ABC中位线 1 DE 1 ∴DE= BC ∴ = 2 BC 2 AD DE ∴ = AB BC
回顾与思考 回顾与思考
从变化中的鱼说起
（1）如果每个点的横坐标、纵坐标都变成原来的 2倍(如图(2)),
那么线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗? y F 8 你还记得八 7 年级上册中” 6 变化中的鱼” 5 y 5 4 吗? 图(1)中的 A 4 3 H 鱼是将坐标为： 3 2 2 O(0,0), A(5,4) , 1 C G 1 B(3,0), C(5,1), B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x O – 1 x D (5,-1) B(3,0), 1 2 3 4 5 6 O –1 –2 D L E (4,-2), O(0,0) –2 – 3 E –3 的点用线段依 –4 M –5 次连接而成的 ; (1) (2)
内项
第四比例项
当两个比例内项相等时，即
a b (或 a：b=b：c)， = ， b c
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d 2.比例式中，项的次序不可任意改变。 如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
CD和EF,外项为： AB和MN （2）AB：CD=EF：MN内项为：
SB = EF 比例外项 比例中项 中SB和SC是： ，EF是SB和SC的： EF SC
（3）
如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高 线，请找出一组比例线段，并说明理由
a c 分析：(1)根据ad bc b d
可以合写成：a c a b c d 。 ─比例的合比性质.
b d b d
想一想
到
a c e , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b a c e 用“设k法”， 设 =k ， b d f 模仿教材求解。
比例 的 等 比 性 质 a c e a
(2)新安大街与光华大街的图上长 度之比是多少米?实际长度分别之 比呢？ 解:新安大街与光华大街的图上长 度之比是16:10=8:5
新安大街与光华大街的实际长度之比 是1440:900=8:5
(3)通过以上的解答,你能发现什么?
解:新安大街与光华大街的图上长度之比= 新安大街与光华大街的实际长度之比
注意：引入比值k的方法是解决比例问题 的一种重要方法,以后经常会用到。
练习1
①若a=100mm，b=200 mm，求a∶b； ②若a=100mm，b=20 cm，求 a∶b．
解 : 1 . a b a 200mm 2 100mm 10cm 1 . 2. b 20cm 20cm 2
方法2:
c
2
c b 3 ab a c 2
例题解析
用”设k法”计算新比
例
a c 3, 求 a b 和 c d ; (1) 已知 b d b d a c a c k(k为常数), (2) 如果 b d a b c d 成立吗 ? b d 那么 , b d a c a b c d 成立吗? 为什么? (3) 如果 , 那么 b d b d a 1 31 a b 4 ; 同理 , c d (1) a 3 4 b b b d
练习2
填空：
① 1:0.25的比值是 4 不变，后项应变成 1 是 4 。 ，如果前项乘以4，要使比值 ，如果前、后项都乘以4，比值
② 比的前项缩小3倍，要使比值不变，后项应缩小3倍 。 ③ 在比例尺是1：6000000的地图上，量得 南京到北京的 距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。
900
例1.在某市城区地图(比例尺1:9000)上,新安大 街图上长度与光华大街的图上长度分别是 16cm,10cm. (1)新安大街与光华大街的实际长度分别是多 少米? 解:新安大街的实际长度是： 16cm×9000=144000cm=1440m 光华大街的实际长度是： 10cm×9000=90000cm=900m
练习3
已知：C为线段AB上一点， AC∶CB=5∶3．求AC∶AB及AB∶CB的 长．
解：设一份为k，这样AC=5k，CB=3k，则 AB=8k ∴ AC∶AB=5k∶8k=5∶8， AB∶CB=8k∶3k=8∶3．
练习4
• 如图，在平行四边形 ABCD中，∠B=30°， 解：在Rt△ABE中，∠B=300 AD=10．AE为BC边 上的高，垂足E为BC ∴AB=2AE， 中点．求AE∶BC． ∵BC=AD=10，E是BC中点，
(2)已知条件中有三角形的高，
Ｃ
我们通常可以把高
与什么知识联系起来？
Ａ
Ｂ
Ｄ
做一做. 如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
D
C
议一议
比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.
a c d
如果a,b,c,d 四个数满足 b 反过来，如果ad=bc，那么 与同伴交流。
例 1 如图，
a c k (2) b d (3) a c k b d
a b c d ( k 1) ; b d a b c d ( k 1) ; b d
比例的合比性质
(1) a c
b d a c (2) b d
ab cd ; b d ab cd . b d
a 18.5cm 37 b 13cm 26
线段的比的概念及表示方法
（1）两条线段的比：如果选用同一个长度单位，量得两 条线段 AB，CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的 前项
比AB:CD=m:n,或写成:
后项
AB m CD。 （2）如果把 表示成比值k,那么 CD k , 或AB=k· n
课堂练习
1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个 选项是正确的？( C ) A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段 C. a, c, b, d成比例线段 A.2cm,3cm,4cm,1cm D. a, d, c, b成比例线段 B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm 2.下列各组线段的长度成比例的是（ D ）
m n m 已知 ,求 的值. = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
m 6 n = 5 m 方法(2)因为 6 = m 所以 n =
n ,所以5m=6n 5 6 5
x 2.如果2 x 5 y.那么 y
5 2
3.把mn pq写成比例式.写错 的是 D
m p A. q n
推证
a b d
, 那么ad=bc 吗？ 吗？ c ad=bc；
a c . b d
（ 1）
a c b d
a bd c bd b d
（2） ad=bc
b
ad ÷bd =bc÷ bd ad=bc
d a c . b d
上述两个命题：a c
─比例的基本性质 ad=bc；
可以合写成：
a c ad bc . b d
p n B. m q
q n C. m p
m p D. n q
b 3 c 2 4.如果 , 且c ab, 则 （B） c 2 a
4 3 2 3 A .B .C .D 3 2. 3 4
解: b 3 c 3 2 k , b ck , c ack , c ak , k c 2 a 2
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
已知 a· d=b· c，你能得到哪些比例 看谁想的多：
a c = b d
式
a b c = d
对调内项， 比例仍成立！
d b c = a
c d = a b b d = a c
d c = b a
c a = d b b a d = c
对调外项， 比例还成立吗？
结论：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式 (2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立
8 7 6 5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
O –1
百度文库
–2 –3
一.定义 :四条线段 a、b、c、d 中，如果
a
b （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. 其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
外项
=d
c
线段 a、d 叫做比例外项， a：b=c：d 线段 b、c 叫做比例内项，
C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm
D.1cm,2cm,2cm,4cm
3.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
4.已知线段a=3, b=12,而线段c是线段a, b的
比例中项,则c=
6
5.指出下列比例线段中的内项和外项. PA = PC PA和PD PB和PC，外项为： （1） 内项为： PB PD
E
证明: ∵D为AB中点
1.若 m=3，n=4，则 m，n 的比例中项 p=
2.已知线段 a=1cm，b=9cm，则线段 a，b 的比例中项 c=
课堂小结
通过本节课的学习，请你总结求两条线段 比的方法，并说说要注意那些问题。 归纳： 1、两条线段的长度必须用同一单位表示； 2、两条线段的比没有单位（与采用的单位无 关系），是一个正数； 3、两条线段的比的表示方法。
回顾与思考
比例线段的定义
(1) 线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗? CD OA BE 2 ; HL OF GM OE AB (2) 在图(2)中, 你还能找到比相等的其它线段吗 ? y F OM FG 四条线段 y a,b,c,d中,如果 A a与b的比等于 H c与d的比, 即 a c C b d, 那 G B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 么这四条线段 O – 1 1 2 3 4 5 6 x a,b,c,d 叫做成 –2 D L 比例线段, –3 E –4 简称比例线段. M –5 (1) (2)
§相似图形（一）
黄山松
天坛
这些图形有什么共同的特点？
它们的形状相同，大小 不同，这些图形都是相 似图形。你知道相似图 形有什么特征吗？
2、全等形：
形状、大小都相同的图形称为全等形。
注：全等形是相似形的特殊情况。
相似图形
1. 线段的比
1.线段的比
测量课本封面相邻两边a，b的长， 分别得出a=18.5cm，b=13cm．
∴BE=5，由勾股定理可得 AE= 5
3 3
5 3 AE 3 3 BC 10 6
练习5
P为线段MN上一点AC－BC=6cm， BC∶AB=2∶7．求AB的长．
解：设BC=2x，AB=7x，则AC=7x-2x=5x AC-BC=5x-2x=3x=6 X=2 AB=7x=7×2=14（cm）
a b 100mm 20cm 100mm 200mm 1 2 .
100mm
1
;
结论：
1.两条线段比是一个没有单位的正数。
2.两条线段比与所选的长度单位无关。 3.求两条线段比时，如果单位不同,那么必须 先化成同一单位，再求它们的比 。
比例尺是指在地图或工程图纸上，图上长度与 实际长度的比。
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
3.和一般的数构成的比例式不同，由线 段构成的比例式的各项均为正数。
例 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
a 1 = c 2 a d d 3 1 = = c=b b 6 2
即线段a、c、d、b成比例 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
例. 已知:△ABC中,D、E分别是AB、AC 的中点，那么线段AD、AB、DE、BC是 否是成比例线段？为什么？ A 答:AD,AB,DE,BC成比例线段 D B
1 ∴AD= AB 2 C AD 1 ∴ = AB 2 ∵DE为 ABC中位线 1 DE 1 ∴DE= BC ∴ = 2 BC 2 AD DE ∴ = AB BC
回顾与思考 回顾与思考
从变化中的鱼说起
（1）如果每个点的横坐标、纵坐标都变成原来的 2倍(如图(2)),
那么线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少? 它们相等吗? y F 8 你还记得八 7 年级上册中” 6 变化中的鱼” 5 y 5 4 吗? 图(1)中的 A 4 3 H 鱼是将坐标为： 3 2 2 O(0,0), A(5,4) , 1 C G 1 B(3,0), C(5,1), B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x O – 1 x D (5,-1) B(3,0), 1 2 3 4 5 6 O –1 –2 D L E (4,-2), O(0,0) –2 – 3 E –3 的点用线段依 –4 M –5 次连接而成的 ; (1) (2)
内项
第四比例项
当两个比例内项相等时，即
a b (或 a：b=b：c)， = ， b c
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d 2.比例式中，项的次序不可任意改变。 如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
CD和EF,外项为： AB和MN （2）AB：CD=EF：MN内项为：
SB = EF 比例外项 比例中项 中SB和SC是： ，EF是SB和SC的： EF SC
（3）
如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高 线，请找出一组比例线段，并说明理由
a c 分析：(1)根据ad bc b d
可以合写成：a c a b c d 。 ─比例的合比性质.
b d b d
想一想
到
a c e , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b a c e 用“设k法”， 设 =k ， b d f 模仿教材求解。
比例 的 等 比 性 质 a c e a
(2)新安大街与光华大街的图上长 度之比是多少米?实际长度分别之 比呢？ 解:新安大街与光华大街的图上长 度之比是16:10=8:5
新安大街与光华大街的实际长度之比 是1440:900=8:5
(3)通过以上的解答,你能发现什么?
解:新安大街与光华大街的图上长度之比= 新安大街与光华大街的实际长度之比
注意：引入比值k的方法是解决比例问题 的一种重要方法,以后经常会用到。
练习1
①若a=100mm，b=200 mm，求a∶b； ②若a=100mm，b=20 cm，求 a∶b．
解 : 1 . a b a 200mm 2 100mm 10cm 1 . 2. b 20cm 20cm 2
方法2:
c
2
c b 3 ab a c 2
例题解析
用”设k法”计算新比
例
a c 3, 求 a b 和 c d ; (1) 已知 b d b d a c a c k(k为常数), (2) 如果 b d a b c d 成立吗 ? b d 那么 , b d a c a b c d 成立吗? 为什么? (3) 如果 , 那么 b d b d a 1 31 a b 4 ; 同理 , c d (1) a 3 4 b b b d
练习2
填空：
① 1:0.25的比值是 4 不变，后项应变成 1 是 4 。 ，如果前项乘以4，要使比值 ，如果前、后项都乘以4，比值
② 比的前项缩小3倍，要使比值不变，后项应缩小3倍 。 ③ 在比例尺是1：6000000的地图上，量得 南京到北京的 距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。
900
例1.在某市城区地图(比例尺1:9000)上,新安大 街图上长度与光华大街的图上长度分别是 16cm,10cm. (1)新安大街与光华大街的实际长度分别是多 少米? 解:新安大街的实际长度是： 16cm×9000=144000cm=1440m 光华大街的实际长度是： 10cm×9000=90000cm=900m
练习3
已知：C为线段AB上一点， AC∶CB=5∶3．求AC∶AB及AB∶CB的 长．
解：设一份为k，这样AC=5k，CB=3k，则 AB=8k ∴ AC∶AB=5k∶8k=5∶8， AB∶CB=8k∶3k=8∶3．
练习4
• 如图，在平行四边形 ABCD中，∠B=30°， 解：在Rt△ABE中，∠B=300 AD=10．AE为BC边 上的高，垂足E为BC ∴AB=2AE， 中点．求AE∶BC． ∵BC=AD=10，E是BC中点，
(2)已知条件中有三角形的高，
Ｃ
我们通常可以把高
与什么知识联系起来？
Ａ
Ｂ
Ｄ
做一做. 如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
D
C
议一议
比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.
a c d
如果a,b,c,d 四个数满足 b 反过来，如果ad=bc，那么 与同伴交流。
例 1 如图，
a c k (2) b d (3) a c k b d
a b c d ( k 1) ; b d a b c d ( k 1) ; b d
比例的合比性质
(1) a c
b d a c (2) b d
ab cd ; b d ab cd . b d