指数与指数函数(一轮复习导学案)

§2.6指数与指数函数

主备人：钱美平 审核人：陈军

题型一：指数幂的运算

【知识构建】

1．指数幂的概念

（1）根式:如果一个实数x 满足(1,N )n x a n n *=>∈，那么称x 为a 的 ，

叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.

① 当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个 数，负数的n 次实数方根是一个 数，此时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x= .

② 当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有 个，它们互为 ，此时，正数 a 的正的n 次实数方根用符号 表示，负的n 次实数方根用符号 表示.正负两个n 次实数方根可以合写为 (a >0)的形式.

负数没有偶次实数方根. 零的任何次实数方根都是 .

（2）根式的性质：①n = ；

②当n 为奇数时，n = ；当n 为偶数时, n =a = .

2．有理指数幂

（1）分数指数幂的表示

① 正数的正分数指数幂m n a = ；② 正数的负分数指数幂m n a

-= ；

③ 0的正分数指数幂是 ，0的负分数指数幂无意义.

（2）有理指数幂的运算性质

①s t a a = (0,,a s t Q >∈)； ②()s t a = (0,,a s t Q >∈)； ③()t

ab = (0,0,a b t Q >>∈).

例1化简：

（1） a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13

(a >0，b >0)；（2）2

1103227()(0.002)2)8----+-+

【方法提炼】

题型二：指数函数的图象、性质

【知识构建】

指数函数概念、图象和性质

（1）定义：

（2）图象与性质

例2 （1）函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列对a，b的范围判断正确的是________.(填序号)

①a>1，b<0；②a>1，b>0；

③00；④0

（2）若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________.

.

【方法提炼】

题型三：指数函数的应用

例3 （1）k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？

（2）已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12

|x | . ① 若f (x )＝32

，求x 的值； ② 若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.

【方法提炼】

题型四：综合与创新

例4 已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A

作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标 是________．

【方法提炼】

【变式训练】

变式1：（1）20.520371037(2)0.1(2)392748

π--++-+= （2）1

132

1

13321(4)()4(0.1)()ab a b ----=

变式2.1：已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13

)b ，下列五个关系式： ① 0

其中不可能成立的关系式有________.(填序号)

变式2.2：若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝______.

变式3：设函数f (x )＝ka x －a －

x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数.

(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；

(2)若f (1)＝32

，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值.

变式4：已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．

(1)求f (x )；

(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．