一元二次方程的综合-学而思培优

一元二次方程综合

第四节一元二次方程的综合

一、课表导航

二、核心纲要

1.一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）(1)-元二次方程

是常数）(2)利用根系关系可以解决如下常见问题：①确定方程中系数或参数的值．

二、核心纲要

1、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）

（1）一元二次方程存在两根

(2)利用根系关系可以解决如下常见问题：

①确定方程中系数或参数的值.

②不解方程，进行代数式整体求值.

③不解方程，判断方程根的符号特征．

④韦达定理的逆定理可以用来构造一元二次方程．

2．一元二次方程的公共根

解决一元二次方程的公共根问题的基本步骤：

(1)设公共根为a，把a代入两个一元二次方程．

(2)求出公共根或公共根的有关表达式．

(3)把求出的公共根代人原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关

系式．

3．一元二次方程的整数根

(1)如果一元二次方程是常数，有整数根，那么需要同时满足以下条件：

为完全平方数；

是2a的整数倍．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a、b、c均为有理数）．

(2)解决一元二次方程整数根问题的常用方法

①若是完全平方数，则直接解方程，根据根的情况讨论参数的值，

②若不是完全平方数，参数有范围，可以根据确定参数的具体取值范围，进而确定参数的整数值，代入验证求解．

③若不是完全平方数，但有完全平方项，且参数也没有范围，则假设是完全平方数，利用平方差公式和整数的性质进行解题．

4．构造一元二次方程

通常有三种构造方式：

(1)通过根的定义来构造一元二次方程．

(2)通过韦达定理的逆定理来构造一元二次方程．

(3)对于多字母变量的情形，通常先选主元，再构造一元二次方程．

本节重点讲解：一个关系（根与系数的关系），一个构造（一元二次方程的构造），两种根（公共根、整数根）．

三、全能突破

基础演练

1．若一元二次方程有两个根则

2．若方程的一个根为则另一个根为，a的值为

3．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边，且请写出一个符合题意的一元二次方程为

4．已知方程有一个公共根，则

5．已知一个一元二次方程的两根为1和3，则这个方程为

6．当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数．

能力提升

7．若一元二次方程有两个根则

8．已知方程的两根为是的2倍，则

9．已知m，n为实数，且求的值．

1O.已知：关于x的一元二次方程(m为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．

(3)若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值．

11.已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值．

12.关于x的方程至少有一个整数根，且a是整数，求a的值．

13.已知关于x的一元二次方程

(1)若方程①有一个正实根c，且求b的取值范围．

(2)当时，方程①与关于x的方程②有一个相同的非零实根，求的值．

14.已知关于x的两个一元二次方程：

方程①：方程②：

(1)若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简

(2)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值．

15.如果方程的两个根是那么请根据以上结论，解决下列问题：

(1)已知关于x的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程

两根的倒数．

(2)已知a，b，c满足求正数c的最小值．

16.在△ABC中，a，b，c分别为所对的边，我们称关于x的一元二次方程

为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：

(1)“△ABC的☆方程”的根的情况是（填序号）．

①有两个相等的实数根②有两个不相等的实数根③没有实数根

(2)若是“△ABC的☆方程”的一个根，其中a，b，c均为整数，且

求方程的另一个根．

17.如图21-4--1所示，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BDE的三边长，则知这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)构造一个“勾系一元二次方程”：

(2)证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．

(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是求△ABC的面积．

中考链接

18. (2013．四川泸州)设是方程的两个实数根，则的值为( )．

19.（2013．山东烟台）已知实数分别满足且则的值为( )．

20.（2013．北京）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

巅峰突破

21.已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有____个．22．已知实数x，y满足则的值为