极限数学思想方法的应用

极限数学思想方法的应用

极限数学思想方法在小学数学中的应用一、极限思想的内涵

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。极限思想简单地说就是无限逼近的意思。

早在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如在《庄子?天下篇》就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。数学家刘微(约255-295)在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”解决了推求圆周率精确值问题，是应用极限思想的成功事例。而刘微提出的这种无限接近的思想也就是后来建立极限概念的基础。

二、极限思想的作用

极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。而极限思想是在小学教学中是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。

三、极限思想在教材中的分布点

小数和整数的数位顺序表

“自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”的教学

循环小数的认识

直线、射线、平行线的认识

小数点的移动变化规律

圆的认识

圆的面积

圆柱的体积

角的认识及大小比较

倍数与公倍数

四、极限思想方法的渗透策略

1、从“图形”上看“无限延伸性”

小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端(没有端点)可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校，我们所在的城市地球的大气层太阳系……，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;二是经过一点可以画( )条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条……直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。

2、从“数量”上看“无限多”

现行人教版小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情

况。在“自然数”、“奇数”、“偶数”、“小数”这些概念教学时，

教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限

多个，小数没有最小的数。如四年级下册求0.5和0.6之间有几

个小数，答案是无数个，写不完也数不完，让学生体会这样的小

数是无穷无尽的。在五年级上册循环小数这一部分内容中，1 ?

6= 0.1666…商是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完

的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想。

以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义

上的“极限”，但是，培养学生的无限观念是初步形成极限思想的

基础，是学生必经的一个阶段，所以我们应重视无限的教学。

3、从“方法”上看“无限逼近”。

“无限?极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是

发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只

能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为

将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此，

逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。

在教学《圆的认识》的片段:深究圆与正多边形。师在让学生理

解了圆之所以美，是因为在同一个圆里，半径处处相等这一道理

之后，课件出示正三角形，从中心出发，连接三个顶点，三条长

度相等。再出示正四边形、正六边形、正八边形(右图)，最后是

正三十二边形，正一百边形，然后让学生想象，如果是正一千边

形、正一万边形，正一亿边形，直至无穷无尽，它就是---圆(生

答)。整个过程其实就是一个正多边形不断地逼近一个圆的过程，

先通过课件实物引导，再想象无穷无尽多边形即是一个圆，老师

不断地引导学生理解随着边的无限增多，正多边形逐渐成为一个

圆。

在教学《圆的面积》时，让学生将圆分割成若干个小扇形，生:分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样

一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。五、极限思想方法的应用及案例分析。

1、比较0.99……与1的大小。

首先学生很容易理解1?3=0.33……，2?3=0.66……，因为1/3 +2/3 =1，所以

0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1; 其次，0.99……和1比较大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……=1。再次1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，……1-0.999……=,这时可以引导学生观察:随着小数部分9的个数的不断增多，与1的差在逐渐的减少，而在0.999……中的小数部分有无穷多个9，那么最终的差会是多少呢, 这样使学生认识到差会越来越小，最终成为0。从而使学生认识到0.999……=1 事实证明这种办法学生是可以理解和接受的，这种办法的核心就是极限思想的体现。学生对这种办法的理解过程正是对极限思想的感知过程。

2、1根长1米的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。第1天截去后剩下部分的长度占原长的 1/2 ，第2天截去后剩下的占全长的 1/4 ，第3天截去后剩下的占全长的 1/6，……，第10天截去后剩下的占全长的 1/，……，第n天截去后剩下的占全长的 1/ ，……如果我们这样不断地截下去，木棒所剩部分的长度是 ( 0 )。