2018年中考数学《第21讲：矩形、菱形与正方形》总复习讲解

第21讲矩形、菱形与正方形

1．矩形

2.菱形

3.正方形

4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为____________________．

2．(2016·衢州)如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．

(1)用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．

(2)连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．

【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：

(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：

(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．

(3)如图菱形ABCD ，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝1

2a 2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例

来说明．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．

类型一矩形的性质与判定

例1(1)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD

(2)如图，在矩形ABCD中，有以下结论：

①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形；⑥AC所在直线为对称轴；⑦矩形ABCD的周长是28，点E是CD的中点，AC＝10时，△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________．【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键．

1．(1)(2015·南昌)如图，小贤为了检验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得

四边形的变化，下列判断错误的是()

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B．BD的长度增大

C．四边形ABCD的面积不变

D．四边形ABCD的周长不变

(2)(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE

2．(2017·南京模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD 的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.

(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；

(2)求线段AP的长．

类型二菱形的性质与判定

例2(1)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE，

①若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是______． ②若OE ＝3，则菱形的周长是________．

③若∠ABC ＝60°，周长是16，则菱形的面积是________．

(2)已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是菱形，现有下列四种选法，其中都正确的是( )

A ．①或②

B ．②或③

C ．③或④

D ．①或④ 【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形条件、已知条件综合判定．

3．(1)(2015·黔东南州)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH ＝( )

A .245

B .12

5 C ．12 D ．24 (2)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：

①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC ；

从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是____________________(只填写序号)．

(3) (2016·梅州)如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交

AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于1

2BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连结AP

并延长交BC 于点E ，连结EF.

①四边形ABEF 是____________________；(选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)

②AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF ＝10，则AE 的长为____________________，∠ABC ＝____________________°.(直接填写结果)

4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长DE 到点F ，使得EF ＝BE ，连结CF.

(1)求证：四边形BCFE 是菱形；

(2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积．

类型三 正方形的性质与判定

例3 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE ＝CF ，连结DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M.求证：AM ⊥DF.