圆周运动知识点及例题

匀速圆周运动知识点及例题

二、匀速圆周运动的描述

1．线速度、角速度、周期和频率的概念

(1)线速度v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为T

r

t s v π2=

=; 其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s ；

（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为T

t

πφ

ω2=

=； 在国际单位制中单位符号是rad ／s ；

(3）周期T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s ；

（4）频率f 是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是 Hz ； （5）转速n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r ／s ，以及r ／min ． 2、速度、角速度、周期和频率之间的关系

线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v ＝r ω．f T 1=，T v π2=，f πω2=。

由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反比．

三、向心力和向心加速度 1．向心力

（1）向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因．

（2）向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向． 2．向心加速度

（1）向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量．

（2）向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为

2222

4T r r r

v a n πω===

公式：

1.线速度V ＝s/t ＝2πr/T

2.角速度ω＝Φ/t ＝2π/T ＝2πf

3.向心加速度a ＝V 2/r ＝ω2r ＝(2π/T)2r

4.向心力F 心＝mV 2/r ＝m ω2r ＝mr(2π/T)2＝m ωv=F 合

5.周期与频率：T ＝1/f

6.角速度与线速度的关系：V ＝ωr

7.角速度与转速的关系ω＝2πn (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长s:米(m)；角度Φ：弧度（rad ）；频率f ：赫（Hz ）；周期T ：秒（s ）；转速n ：r/s ；半径r ：米（m ）；线速度V ：（m/s ）；角速度ω：（rad/s ）；向心加速度：（m/s 2）。

二、向心力和加速度

1、大小F ＝m ω2

r

向心加速度a ：（1）大小：a = 2 f 2

r （2）方向：总指向圆心，时刻变化 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

三、应用举例

（临界或动态分析问题）

提供的向心力 需要的向心力

＝ 圆周运动 ＞ 近心运动 ＜ 离心运动 ＝0 切线运动

1、火车转弯

如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供,v 增加，

外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压 问题：飞机转弯的向心力的来源

2、汽车过拱桥

mg sin θ

= f 如果在最高点，那么

此时汽车不平衡，mg ≠N

说明：F ＝mv 2 / r 同样适用于变速圆周运动，F 和v

补充 ： (抛体运动)

3、圆锥问题

r

v m F 2

=ππω442222===r T

r r v r v m 2

r v m mg 2

tan =ααtan gr v =⇒r

v m N mg 2

cos =-θr

v m N mg 2

=-r

v m mg N 2

=-

例：小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。

，

由此可得：，

4、绳杆球

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 即，否则不能通过最高点。

②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。

③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。

四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）

1．向心力 （1）大小： θ

ωωθωθθtan tan cos sin 2

2

r g r

g

r m N mg

N =

⇒=

⇒==22

sin sin tan θωθ

θmR R mv mg ==g

h g

R T gR v πθπθθ2cos 2,sin tan ===mg R

mv mg F ≥=+2

gR v ≥gR v mg R mv F mg ≤∴≤=-,2

gR v >gR v

m R m R v m ma F 22222

244ππω=====向N F θ

绳 F

G G F