运筹学与最优化方法优化建模
运筹学与最优化方法建模
m
• 其中决策变量为 (x) 的参数 a0 , a1 , ⋯ an 其中决策变量为f
SST
• 例6. 指派问题（0-1规划） 指派问题（ 规划）
有 m 项任务 B1 , B 2 , ⋯, Bm 可派 m 个人A1 , A 2 ,⋯ , A m 完成，每人承担其中一项，第 i 人完成第 j 项任务 所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时间最少？ 1 , 指派 A i 完成 B j 建模： 设 xij = 0 , 否则 模型： min s. t.
f (x) = 3x +5 (150− x)2 + 202
f ′(x) = 3− 5(150 − x) (150 − x) + 20
2 2
• 令 f ′(x) = 0 ，即 • 由（2） ）
3 (150 − x) + 20 = 5(150 − x)
2 2
（2） ）
9((150 − x)2 + 400) = 25(150 − x)2
• 例4. 生产计划问题 某工厂有 m 种资源 B1 , B2 , ⋯ Bm , 某一时段的数量 b 分别为： 分别为：1 , b2 , ⋯ bm , 可用来生产 n 种产品 A1 , A 2 , ⋯ A n , 每生产一单位 A j 消耗 Bi 为 aij , 利润为 c j 。如何安排 生产可获最大利润？ 生产可获最大利润？ • 设：计划生产 x j 单位 A j , 建立线性规划模型 • LP（Linear Programming） LP（ Programming） • Max c1x1+ c2x2+ ⋯⋯ + cnxn s. t. a11 x1+ a12x2+ ⋯⋯ + a1nxn≤b1 am1 x1+ am2x2+ ⋯⋯ + amnxn ≤bm x1, x2, ⋯ , xn ≥ 0
应用数学中的最优化理论和运筹学
应用数学中的最优化理论和运筹学随着计算机技术和数学理论的不断发展，最优化理论和运筹学在应用数学中起着日益重要的作用。
这两个领域不仅在生产、管理和决策等方面发挥着不可替代的作用，也在社会发展中起到了巨大的作用。
本文将探讨最优化理论和运筹学在应用数学中的应用和价值。
一、最优化理论在应用数学中的应用最优化理论指的是在特定条件下寻找最优解的一种数学方法。
它通过建立数学模型来描述具体问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
最优化理论广泛应用于经济学、物理学、工程学、金融学、环境科学和人工智能等领域。
1.经济学在经济学领域，最优化理论被广泛应用于计算机辅助决策和计算机辅助规划。
比如在生产计划中通过最优化方法计算出最少的成本和最大的利润，可以帮助经理人员做出更加精确的决策。
此外，最优化理论在资源分配、投资决策和货币政策方面也有着广泛的运用。
2.物理学在物理学领域，最优化理论通常被用于分析非线性问题和优化控制。
比如，在飞行器设计中，需要利用最优化理论来计算飞行速度和高度，以及航空公司的利润最大化。
此外，最优化理论还在能源领域、物理实验和机器人控制中有广泛的应用。
3.工程学在工程学领域，最优化理论被广泛应用于设计和优化流程。
比如在生产线上通过最优化方法分析时间和成本，可以帮助减少生产成本和提高生产效率。
此外，在建筑设计中也有着广泛的应用。
二、运筹学在应用数学中的应用运筹学是指应用数学、统计学和计算机来解决最大化或最小化问题的方法。
它主要研究决策过程和资源分配问题，通过建立数学模型来描述实际问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
运筹学在经济学、管理学、计算机科学、制造业和物流管理等领域中起着非常重要的作用。
1.经济学在经济学中，运筹学主要应用于小型企业和中型企业的管理问题。
比如在企业的生产和运输中通过运筹学的方法来优化生产成本和配送成本，可以帮助企业节约时间和成本，提高效率。
2.管理学在管理学领域，运筹学主要应用于制定决策模型来解决管理问题。
运筹学实验报告五最优化问题
2018-2019学年第一学期《运筹学》实验报告（五）班级：交通运输171学号： **********姓名： *****日期： 2018.12.6654321m in x x x x x x z +++++=..ts 6,...,2,1,0302050607060655443322116=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+i x x x x x x x x x x x x x x i i 均为整数，且实验一：一、问题重述某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4个小时为一个时段）所需的值班人数如下表所示。
这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间）。
问该公交系统至少需要多少名工作人员才能满足值班的需要？设该第i 班次开始上班的工作人员的人数为x i 人，则第i 班次上班的工作人员将在第（i+1）班次下班。
（i=1,2,3,4,5,6）三、数学模型四、模型求解及结果分析Global optimal solution found.Objective value: 150.0000Objective bound: 150.0000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX1 60.00000 1.000000X2 10.00000 1.000000X3 50.000001.000000X4 0.000000 1.000000X5 30.00000 1.000000X6 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus DualPrice1 150.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 10.00000 0.0000007 0.000000 0.000000根据Lingo程序运行结果分析可知：当第i班次开始上班的工作人员排布如下时，所需人力最少，为150人。
运筹学在项目管理中的决策与优化方法
运筹学在项目管理中的决策与优化方法项目管理是一项复杂而庞大的任务，涉及到资源调配、进度控制、任务分配等众多方面。
为了更好地完成项目，提高效率，运筹学为项目管理提供了一些决策与优化的方法。
本文将探讨运筹学在项目管理中的应用，并介绍一些常见的决策与优化方法。
一、项目排程优化项目排程是项目管理中的关键环节，合理的排程可以有效地提高项目完成的效率。
运筹学为项目排程提供了多种优化方法，如关键路径法、资源限制条件优化等。
关键路径法是一种基于网络图的项目排程方法，它能够找出项目中最长的关键路径，即完成整个项目所需的最短时间。
通过确定关键路径，项目经理可以合理地安排任务顺序，确保项目按时完成。
资源限制条件优化是一种考虑资源稀缺性的排程方法。
在项目中，资源往往是有限的，为了充分利用资源，项目经理需要找到最优的资源分配方案。
运筹学提供了一些资源平衡算法，通过建立数学模型，可以帮助项目经理在资源有限的情况下，最大化利用资源，优化项目排程。
二、风险管理决策项目管理中存在各种各样的风险，如技术风险、资源风险、市场风险等。
为了降低风险，项目经理需要进行科学的决策。
运筹学为风险管理提供了一些方法，如风险评估、风险优化等。
风险评估是一种系统的方法，用于识别、评估和处理项目中的风险。
通过建立风险评估模型，项目经理可以对不同风险进行量化评估，确定风险的概率和影响程度，从而制定相应的应对措施。
风险优化是在风险评估的基础上，通过运筹学的优化方法，进行风险的优化分配。
项目经理可以根据项目的需求和资源情况，制定最优的风险优化方案，提高项目的成功率。
三、成本控制与优化成本控制是项目管理中的重要一环。
为了控制项目成本，项目经理需要合理地分配资源和开销，并通过优化方法寻找最佳方案。
运筹学提供了一些成本优化的方法，如线性规划、整数规划等。
线性规划是一种寻找线性约束下最优解的数学方法，可以用于解决资源分配、成本优化等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上，加入整数约束条件，可以更好地应用于项目管理中的资源整数分配问题。
运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模
1.5基本概念和符号
2.多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R
线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2) aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm
其中， A为 mn矩阵，d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c
x , y 的距离： ‖x－y ‖= [(x － y)T(x － y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ Rn , x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)
1.5基本概念和符号
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i ； 类似地规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y 。
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间。 若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0， 则
x ≤ 0， ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn ， 则
运筹学中的优化建模
运筹学中的优化建模运筹学是一门关注如何最优化资源分配、决策制定的学科，而优化建模则是运筹学在解决具体问题时所采用的一种重要手段。
优化建模将问题抽象化为数学模型，然后通过数学方法对其进行求解，得到最优解。
本文将从几个方面探讨运筹学中的优化建模方法。
问题建模优化建模的第一步就是将实际问题抽象化成数学模型，以便于使用数学工具求解。
问题建模需要针对不同问题进行具体分析，设计合适的模型框架。
例如，在生产管理中，生产运营决策的寻优问题常常被建模为线性规划模型。
而在交通路网规划中，常常可以建立为网络流模型。
另外，也有一些问题不适合用传统数学模型来描述，如当存在随机因素或不确定性时，可以考虑采用随机规划、鲁棒优化等方法。
数学建模选择合适的数学模型后，就需要对其进行进一步细化、完善。
数学建模主要涉及模型约束、变量的定义和限制等方面。
例如，在生产决策问题中，可能存在各种生产过程间的逻辑关系、限制条件等。
针对这些实际情形，可以对线性规划模型中的求解变量、约束条件、目标函数等进行相应的优化。
此时，需要对问题进行深入分析，了解问题本质，寻找各变量加入模型的合适位置和方式。
解算方法优化建模最终的目的是求解最优解。
解算方法是指针对不同的数学模型，选择合适的算法进行求解。
目前，优化建模使用的解算方法非常多样，如线性规划使用的单纯形法、内点法等，整数规划使用的分支定界法、割平面法等，非线性规划使用的梯度法、牛顿法等。
还有一些先进的求解技术，如全局优化、并行优化、多目标优化等。
选择合适的算法能够有效地提高求解效率和精度，降低计算成本。
模型验证模型验证是确保模型可靠性和适用性的关键环节。
对于一个理论模型，除了其求解方法要合理且有效之外，还需要对其有效性和适用性进行验证。
在优化建模中，常采取建立相应的数学模型和实际问题数据的对应关系，通过数据分析、比对、确认等方式进行验证。
此外，还可以通过一些验证指标、实验数据等进行量化评估，进一步确认模型的可靠性。
运筹学-最优化准备知识
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
4
最优化问题
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
22
凸函数的几何性质
对一元函数f (x),在几何上a f (x1)+(1-a)f (x2) (0≤a≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f (x2))的线段, f(ax1+(1-a)x2)表示在点ax1+(1-a)x2处的函 数值,所以一元凸函数表示连接函数图形 上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
21
凸函数的例
例. 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上是 严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a ∈ (0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 例. 线性函数f (x)=cTx=c1x1+c2x2+· · · +cnxn 既是Rn上凸函数也是Rn上凹函数.
(ii) 若在D内G(x)正定,则f(x)在D内是严格凸函数.
32
凸规划
定义1.1.11 设D Rn为凸集,则f(x) 为D上的凸函数, 则称规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 为凸规划问题.
第4章最优化方法运筹学
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
运筹学的原理和方法是什么
运筹学的原理和方法是什么运筹学是一种研究在各种决策环境中如何做出最佳决策的方法和原理。
它是一门跨学科的科学，涵盖了数学、统计学、计算机科学、经济学和工程学等领域的知识和技术。
运筹学的主要目标是通过优化方法和模型来解决实际问题，以最低的成本或最高的效益达到理想的结果。
运筹学的核心原理是优化。
优化是运筹学的基本概念，它通过在给定的约束条件下，寻找一个最佳解决方案来解决问题。
优化方法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
运筹学将实际问题抽象为数学模型，并根据模型中的目标函数和约束条件进行计算，从而得到最佳解。
这种方法可以应用于各个领域的问题，如生产计划、交通规划、资源配置等。
运筹学的方法包括建模、求解和优化。
首先，建模是将实际问题转化为数学模型的过程。
建模涉及问题的定义、目标的确定和约束条件的制定。
其次，求解是通过数学方法解决建立的模型。
运筹学使用各种数学方法和技术，如线性规划、整数规划、动态规划、模拟等来求解问题。
最后，优化是指通过调整模型中的参数或约束条件，改变模型结构或使用不同的算法，使模型的性能进一步提高。
运筹学的方法还包括决策分析、模拟和最优化算法。
决策分析是指以决策者的思维过程为基础，通过对问题和解决方案的分析，帮助决策者做出最佳决策。
模拟是指通过建立模型并进行仿真，模拟系统的运行过程，以评估不同策略的效果和风险。
最优化算法是指针对不同类型的问题设计的优化算法，以找到问题的最优解或接近最优解。
运筹学的方法还包括多目标决策、风险分析和决策支持系统。
多目标决策是指考虑多个目标的情况下，通过设定权重或建立偏好函数，寻找最佳的解决方案。
风险分析是指分析不确定因素对决策结果的影响，并采取相应的措施来降低风险。
决策支持系统是指利用计算机和信息技术来辅助决策者进行决策的工具和方法。
总之，运筹学的原理和方法是通过建立数学模型，运用优化方法和技术来解决各种实际问题。
运筹学的核心原理是优化，方法包括建模、求解和优化。
《运筹学与最优化方法》课件
10.1 层次分析法的基本步骤
目标层
过河的效益A
准则层
节 省 时 间 C1
经济效益B1
岸 收 间 商 入 业 C2 C3 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 安 全 可 靠
C6
社会效益B2
交 往 沟 通
C7
环境效益B3
舒 适
C9
自 豪 感
C8
进 出 方 便
C10
美 化
C11
方案层
桥梁D1
隧道D2
i 1 j i 1
n 1
n
10.1 层次分析法的基本步骤
所以 aij ( uj /ui )，即aijajk=(ui /uj) ·(uj /uk)= uj /uk=ajk，故A是一致阵。 由于客观事物的复杂性与人的认识 的多样性，我们得到的判断矩阵常常不 具有传递性和一致性，但应该要求这些 判断大体是一致的。 当判断矩阵过于偏离一致性时，它 的可靠性值得怀疑，为此需要对判断矩 阵进行一致性检验。
10.1 层次分析法的基本步骤
运用AHP法进行决策时，大体可以 分为以下4个步骤进行： （1）分析系统中各个因素的关系， 建立系统的递阶层次结构。 （2）对同一层次的各元素关于上 一层次中某一准则的重要性进行两 两比较，构造两两比较判断矩阵。
（ 3 ）由判断矩阵计算被比较元素 对于该准则的相对权重。 （ 4 ）计算各层元素对系统目标的 合成权重，并进行排序。
目标层 准则层
合理选择科研课题A
成果贡献B1 应 用 价 值 科 学 意 义
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度 C3 研 究 周 期 C4 财 政 支 持 C5
C1
C2
课题D1 课题D2
运筹学与最优化技术_吴沧浦
运筹学与最优化技术_吴沧浦专家文选运筹学与最优化技术吴沦浦一、运筹学与最优化技术的发展之间的联系作为具有相对独立性质的学科与技术，运筹学与最优化技术，其发展过程具有密切联系，并且彼此之间在其发展中起着相辅相成的作用。
在运筹学发展的初期，经典运筹学强调定量研究。
这里的定量研究主要包括两个方面:其一是对于作为研究对象的运筹系统作出定量的描述，该描述可以用数学模型或仿真模型表达;其二是给出能够定量地衡量运筹系统的运作的优劣程度的效力度量，该度量必须能够明确地显示出它自身与系统的决策(控制)变量之间的依赖关系。
经典运筹学之所以强调定量研究，其目的在于使决策与对于其所能选择或控制下的决策变量作出最优的选择。
这里的最优是在下述的意义下理解的，即该选择能够使上述的效力度量达到最大值或最小值。
由于在经典运筹学中，效力度量是以实数表示的，而且它能定量地反映运筹系统的运作的优劣程度，因而上述意义下的最优性是有意义的。
由此不难理解，最优化技术成为经典运筹学中的主要工具，后者成为前者发展的主要推动力;反过来，最优化技术的发展又在运筹学经历了从经典运筹学到现代运筹学的进化中起了重大的作用。
在运筹学的奠基性专著—莫尔斯与金博尔合著的《运筹学方法》中，专门辟出一章论述效力度量的使用。
人们由此可以看到最优化技术在经典运筹学中所占有的重要位置。
另一方面，从国际运筹学会联合会所举办的最近两届(1996年于加拿大温哥华、1999年于中国北京)运筹学国际会议上发表的论文，以及新近出版的有关专著，例如，由美国普渡大学教授拉丁的《运筹学的最优化》及印地安那大学教授温斯顿的((运筹学:应用与算法》中，人们可以明显地看到，尽管时过半个世纪，最优化技术在现代运筹学中仍然起着举足轻重的重要作用。
二、最优化技术的发展在文学界和艺术界，存在一种流传颇广的看法，即在文学和艺术中，存在一些“永恒”的主题，例如，善与恶之间的斗争、真理与谬误之间的斗争、人与人之间的博爱(友情、爱情等)。
运筹学的原理与方法
运筹学的原理与方法运筹学是一门研究如何最优地组织、管理和规划资源，以实现目标的学科。
它涉及到各种领域，例如供应链管理、制造业、金融、交通、能源等等，被广泛应用于现代工业、商业和政府部门，并对社会和经济发展产生了广泛而深远的影响。
运筹学的原理是通过建立数学模型来描述实际问题，通过分析这些模型，可以找到最优解或者接近最优解的解法。
具体来说，运筹学的原理有以下几个方面：1.最优化问题最优化问题是运筹学的核心。
最优化问题通过建立假设条件和目标函数来描述问题，然后通过选择合适的算法来求解问题的最优解。
最优化问题可以分为线性规划、二次规划、整数规划、动态规划等不同类型。
2.模型建立建模是解决优化问题的第一步。
建立模型要考虑实际问题的特点和假设，在建立模型时需要选择适当的变量来描述问题，并根据问题设计适当的约束条件。
模型的建立需要专业知识和实际经验的支撑，并且需要考虑数据可用性和分析可行性等因素。
3.算法选择不同的算法适用于不同类型的优化问题。
运筹学需要选择适当的算法，以最快的速度找到最优解。
根据模型的特点，可以选择贪心算法、分支定界算法、随机算法、线性规划法、动态规划法等算法。
4.计算机技术计算机技术对于运筹学的发展发挥了至关重要的作用。
现代运筹学使用计算机来完成数学计算和分析，计算机技术是运筹学的核心。
计算机技术使得运筹学实践更加高效和有效，并且在应用领域的广泛推广和应用方面提供了重要支持。
在实际应用中，运筹学有以下一些方法：1.线性规划线性规划是最经典的运筹学方法之一，它适用于解决线性函数的优化问题，是许多实际问题的有效解决方案。
在制造业、金融、物流和供应链管理等领域中广泛应用。
2.生产调度生产调度是制造业最重要的应用之一，通过运筹学理论和方法提高生产效率和生产能力。
通过优化生产资源的配置和调度安排，可以显著提高生产效率和产品质量。
3.库存管理库存管理是物流和供应链管理中最重要的应用之一，通过优化库存决策来降低成本、提高效率和服务质量。
运筹学与最优化方法优化建模
运筹学与最优化方法优化建模运筹学是一门多学科交叉的学科，涵盖了数学、经济学、管理学等多个领域，其目的是通过数学模型和最优化方法来解决各种决策问题。
最优化建模是其中的一个重要方面，它主要是通过建立合适的数学模型，并运用最优化方法找到最佳解。
在运筹学中，最优化建模是一个非常关键的步骤。
它的目标是将实际问题转化为一个数学模型，以便于利用数学方法进行求解。
最优化建模需要对问题进行适当的抽象和简化，将问题的主要方面纳入模型，排除次要因素。
同时，还需要考虑到问题的约束条件和目标函数，以便在求解过程中能够得到一个合理的结果。
最优化建模的方法有很多种，其中最常用的是线性规划、整数规划和非线性规划等。
线性规划主要用于求解线性约束条件下的最优解，例如生产计划、资源分配等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上，额外添加了整数变量的约束条件，用于解决一些决策变量只能取整数值的问题，如运输调度、设备配置等。
非线性规划则是应用于具有非线性约束条件的问题，包括一些经济学模型、工程优化问题等。
除了数学方法外，最优化建模还需要结合实际问题的特点进行合理的假设和简化。
这包括对决策变量的选择、约束条件的设置和目标函数的确定等。
在建模过程中，还需要考虑到一些影响因素，如风险程度、决策者的偏好以及系统的复杂性等。
这些因素的考虑对于求解出一个合理的最优解至关重要。
最优化建模的优势在于可以帮助决策者更加全面客观地分析问题，并找到最佳解决方案。
通过运用最优化建模，决策者可以在有限的时间和资源条件下，找到一个最优的决策方案。
这不仅可以提高生产效率和资源利用率，还能够降低成本和风险。
同时，最优化建模还能够帮助企业在竞争激烈的市场环境中获得竞争优势，更好地适应环境变化。
总之，最优化建模是运筹学中重要的一环，通过合适的数学模型和最优化方法，可以帮助决策者在复杂的决策环境中找到最佳解决方案。
它在各个领域都有广泛的应用，不仅可以提高决策效率和资源利用率，还能够帮助企业在竞争激烈的市场中取得竞争优势。
运筹学和最优化的关系
运筹学和最优化的关系运筹学和最优化是两个紧密相关的概念，它们在管理科学和工程领域中扮演着重要的角色。
运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，而最优化则是一种方法论，旨在找到最佳解决方案。
运筹学是一门综合性学科，涵盖了数学、统计学、经济学、工程学等多个学科的知识。
它通过建立数学模型和运用优化方法，帮助决策者在面对复杂问题时做出最佳决策。
运筹学的研究对象包括资源分配、生产调度、物流管理、项目管理等各个方面。
通过对问题进行建模、求解和分析，运筹学可以帮助决策者降低成本、提高效率、优化资源利用率等。
最优化是运筹学的重要方法之一，它旨在寻找问题的最佳解决方案。
最优化的核心思想是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的变量取值。
最优化问题可以是线性的，也可以是非线性的。
线性规划是最常见的最优化问题之一，它涉及到线性目标函数和线性约束条件。
非线性规划则涉及到非线性目标函数和/或非线性约束条件。
通过运用数学方法和算法，最优化可以帮助求解各种复杂的决策问题。
运筹学和最优化之间存在着密切的联系和相互依赖。
运筹学提供了最优化问题的实际背景和应用场景，而最优化则为运筹学提供了解决问题的方法和工具。
运筹学的研究需要依靠最优化方法来求解模型，而最优化方法的发展和应用也离不开对运筹学问题的实践需求和挑战。
在实际应用中，运筹学和最优化常常相互结合，形成一个完整的分析和决策框架。
首先，运筹学通过对问题进行建模和分析，确定问题的关键要素和影响因素。
然后，最优化方法被应用于求解模型，得到最佳的决策方案。
最后，运筹学通过对结果进行评估和优化，进一步改进决策方案的质量和效果。
运筹学和最优化的关系也体现在它们共同面对的挑战和问题上。
在现实生活中，决策问题往往具有复杂性、多目标性和不确定性。
运筹学和最优化需要面对这些挑战，寻找有效的方法和技术来解决问题。
例如，在资源分配问题中，运筹学需要考虑如何在有限的资源下实现最大化的效益，最优化则需要找到合适的算法来求解这个复杂的优化问题。
运筹学与最优化方法多目标优化
运筹学与最优化方法多目标优化运筹学是一门融合了数学、统计学和计算机科学的交叉学科，旨在通过数学建模和分析方法来解决实际生产和管理问题。
最优化方法是运筹学的核心内容之一，通过寻找最优解来实现资源的最优利用和决策的最优化。
在实际问题中，往往存在多个目标需要同时考虑，这就引入了多目标优化的概念。
多目标优化是一种为了同时优化多个相互矛盾的目标而发展起来的分支领域，弥补了传统单目标优化方法的不足。
在传统的单目标优化中，只考虑一个目标的最优解，而无法充分考虑其他目标的需求。
而多目标优化则可以解决多个目标的权衡与平衡问题，找到一组解决方案，使得各个目标在一定程度上得到满足。
多目标优化方法可以应用于各种实际问题中，如生产调度、资源分配、供应链管理等。
在这些问题中，既有单一目标的最优化问题，也有多个相互制约的目标需要同时考虑。
通过多目标优化方法，可以综合考虑各个目标的权重和约束条件，找到最优的解决方案。
在多目标优化中，常用的方法包括多目标遗传算法、多目标模拟退火算法、多目标禁忌等。
这些方法通过对解空间的和评价，逐步接近最优解。
其中，遗传算法是一种模拟自然界的进化过程的优化方法，通过选择、交叉和变异等操作，不断产生新的解，并根据适应度函数进行选择，最终找到最佳解。
模拟退火算法则通过模拟退火过程中的温度变化，逐步接近全局最优解。
禁忌算法则通过设置禁忌表和禁忌规则，避免陷入局部最优解，提高全局的能力。
多目标优化方法的应用可以帮助决策者在面对多个目标时进行权衡和选择。
通过充分利用各种优化算法和数学模型，可以找到一组解决方案，使得各个目标都得到一定程度的满足。
这种方法可以提高机构和企业的效益，优化资源的利用，提高生产效率和经济效益。
总之，运筹学与最优化方法是解决实际问题的重要工具，多目标优化方法则是为了处理多目标问题而发展起来的关键技术。
通过运筹学和最优化方法的应用，可以提高决策的科学性和准确性，为实现资源优化和决策优化提供强有力的支持。
运筹学和最优化解析
运筹学和最优化解析运筹学是一门关注在有限资源下进行最优决策的学科。
它结合了数学、统计学和计算机科学的方法，通过建立数学模型来描述问题，并利用数学方法进行优化求解。
运筹学广泛应用于商业、工业和公共管理等领域，它的目标是通过最大化效益或最小化成本来优化系统的性能。
最优化是一种数学方法，用于在给定的约束条件下寻找最优解。
最优化问题通常涉及一个目标函数和一组约束条件，目标是找到使目标函数最大或最小的变量组合。
最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等不同类型。
对于线性规划问题，目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法进行求解。
对于非线性规划问题，目标函数或约束条件中存在非线性项，需要使用非线性规划算法进行求解。
整数规划则是在变量取值上加上整数限制。
运筹学和最优化在实践中有很多应用。
其中一个重要的应用是生产计划和资源分配问题。
通过建立数学模型，可以帮助企业有效地安排生产计划，使生产过程最大化效益或最小化成本。
同时，通过优化资源分配，可以最大限度地满足各部门的需求，提高资源利用率。
另一个重要的应用是物流和运输优化。
通过运筹学和最优化方法，可以确定最佳输送路径和运输计划，从而最大化物流效率并降低运输成本。
这在供应链管理和交通运输等领域具有重要意义。
此外，运筹学和最优化也广泛应用于风险管理和金融决策。
通过建立数学模型和利用最优化方法，可以在面临不确定性和风险的情况下，制定最佳的投资组合和风险管理策略。
运筹学和最优化解析方法有许多，其中一种常用的方法是线性规划。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，求解线性规划问题可以使用单纯形法等方法。
另一种常用的方法是整数规划，它在线性规划的基础上加上了变量取值为整数的限制。
整数规划问题可以使用分支定界法等方法进行求解。
除了传统的解析方法，运筹学和最优化也可以利用启发式算法和元启发式算法进行求解。
启发式算法通过寻找近似最优解的策略进行求解，而不需要考虑全局最优解。
运筹与优化— 整数规划建模方法
j 1
n
s.t
i1
xij
1,
j V
(2)
xij S 1,
S V , 2 S n 1
(3)
iS jS
xij 0, 1
二、典型整数规划问题建模方法
3、指派问题
混合游泳接力接力队的选拔
甲
乙
丙
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
57”2 1’06” 1’06”4 53”
14
二、典型整数规划问题建模方法
Page 15
• 记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距 离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i V
(1)
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解:
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门 课程，总学分21（注意：最优解可能不唯一！）
约束条件：先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
Page 3
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
• 用单纯形法解得：x1 4.8, x2 0, z 96
一、概述
Page 4
运筹学与最优化方法
( 1)
,d
(2)
,…,d
(m) m
R, d
(j)
n
(k)
0
记 L( d
(1)
,d
(2)
,…,d
(m)
)={ x = d j j =1
jR }
为由向量d , d , … , d 生成的子空间，简记为L。 n 正交子空间：设 L 为R 的子空间，其正交子空间为 n L ＝{ x R xTy=0 , y L } n n 子空间投影定理：设 L 为R 的子空间。那么 x R ， 唯一 x L , y L , 使 z=x+y , 且 x 为问题 min ‖z - u‖ s.t. u L 的唯一解，最优值为‖y‖。 n 特别， L ＝R 时，正交子空间 L ＝{ 0 }（零空间）
x
x+y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ R , x R 点列｛x(k)｝收敛到 x ，记 (k) = x lim‖x(k)- x‖ = 0 lim x (k) = x ,i lim x i k k ki
y
n
n
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” n “若 xTy ≥ , yR 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
一、什么是运筹学
为决策机构在对其控制下的业务活动进
行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。 或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 移项后两边开方，解得： x =150±15 移项后两边开方，解得： • 由（2）知 x = 165 为增根（ f ′(x) ≠ 0 ） ） 为增根（
（3） ）
x = 135 为唯一驻点
• • • • 答案： 应设在距钢厂 答案：站 D 应设在距钢厂 A 135km处。 处 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 数学建模竞赛题： 数学建模竞赛题：道路改造项目中碎石运输的设计 相关网站： 相关网站： 中国电机工程学会杯” “中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛 /
• 模型（4）可写成 与（1）类似的形式 模型（ ） ）
min f ( x) s.t. g ( x) ≥ 0 h( x ) = 0
• 不考虑不等式约束时，模型（4）可用 不考虑不等式约束时，模型（ ）可用Lagrange乘子法求解 乘子法求解
SST
• 令 L(x, λ) = L(r, h, λ) = 2πrh + 2πr2 − λ(πr 2h −V ) • 求解方程组 ∂L = 2πh + 4πr − 2πλ = 0 rh ∂r ∂L = 2πr −πλ 2 = 0 r ∂h ∂L = −πr2h +V = 0 ∂λ
最优化方法
建模·原理·算法
SST 哈尔滨工业大学
尚寿亭
• 教材与参考
• [1] 吴祈宗 运筹学与最优化方法 北京：机械工业出版社， 吴祈宗. 运筹学与最优化方法. 北京：机械工业出版社， 2003.8 • [2] 薛嘉庆 最优化原理与方法（修订版）. 北京：冶金工业 薛嘉庆. 最优化原理与方法（修订版） 北京： 出版社， 出版社，1992.8 • [3] 解可新，韩立兴，林友联. 最优化方法 天津：天津大学 解可新，韩立兴，林友联 最优化方法. 天津： 出版社， 出版社，1997.1 • [4] 萧树铁，姜启源等 数学实验，北京：高等教育出版社， 萧树铁，姜启源等. 数学实验，北京：高等教育出版社， 1999.7 • [5] 邢文训，谢金星 现代优化计算方法 北京：清华大学出 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法. 北京：清华大学出 版社， 版社，1999.8 • [6] 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 ），哈尔滨工业 • 出版社，1998 出版社，
a2 a3 x + a 4 x 2
n
0
·x x
◎
· ·
◎
·
◎
····
◎ ◎
(xi , yi )
··
◎ ◎
1
2
xi
◎
◎
··
◎ ◎
x
xm
f 3 ( x) = a0 + a1 sin (a2 x + a3 )
• 最优化模型： 最优化模型： （最小二乘） 最小二乘）
min ∑ ( f ( xi ) − yi ) 2
i =1
m
• 其中决策变量为 (x) 的参数 a0 , a1 , ⋯ an 其中决策变量为f
SST
• 例6. 指派问题（0-1规划） 指派问题（ 规划）
有 m 项任务 B1 , B 2 , ⋯, Bm 可派 m 个人A1 , A 2 ,⋯ , A m 完成，每人承担其中一项，第 i 人完成第 j 项任务 所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时间最少？ 1 , 指派 A i 完成 B j 建模： 设 xij = 0 , 否则 模型： min s. t.
2 代入（ ） • 由 r > 0,及（6）解得 λ = r ，代入（5） 及 ）
(5) (6) (7)
2πh + 4πr − 4πh = 0 ⇒ h = 2r , r = 3
π
V
• 结论：高与直径相等时用料最省。 结论：高与直径相等时用料最省。 • 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ • 作 业 题：建立易拉罐的优化设计模型。 建立易拉罐的优化设计模型。
• 例2. 罐头盒问题
• 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 • 假设：1.不考虑折边及铁皮厚度； 假设： 不考虑折边及铁皮厚度； 不考虑折边及铁皮厚度 2.底半径 r，高 h； 底半径 ， ； 3.容积为常数 。 容积为常数V 容积为常数
SST
r
h
• 建立最优化模型： 建立最优化模型：
y B（150，20） （150，20）
●
o
●ห้องสมุดไป่ตู้
x
●
150
●
x
A
SST
D
C
建模与求解 • 建立模型： 建立模型： • 设：坐标系 xoy，铁路线在 ox- 轴上，点A 位于坐标原点 o， 轴上， ， ， 位于（ 位于（ 点B位于（150，20）,点C位于（150，0）,站D选在 x 处， 位于 ， ） 点 位于 ， ） 站 选在 运费为 f (x)。 。 m f (x) in • 模型： 模型： （min--minimize） ） （1） ） x∈R 其中： 其中： • 求解：应用导数求极值 求解：
SST
参考网站
• [1] 全国大学生数学建模竞赛网： 全国大学生数学建模竞赛网 • [2] 美国：数学及其应用联合会网站： 美国：数学及其应用联合会网站 /undergraduate/ • [3] 中国数学建模网站： 中国数学建模网站： / • [4] “中国电机工程学会杯”全国大学生电 中国电机工程学会杯” 中国电机工程学会杯 工数学建模竞赛网： 工数学建模竞赛网： /
• 最优化问题一般模型： 最优化问题一般模型：
min f ( x) s.t. g i ( x) ≤ 0 ; i = 1,2, ⋯, m ⇔ g ( x) ≤ 0 h j ( x) = 0 ; j = 1,2, ⋯, l ⇔ h( x) = 0
SST
• 2.最优化问题实例： 2.最优化问题实例： 最优化问题实例
• 一商人欲到 n 个城市推销， 个城市推销， • 城市 i 到城市 j 相距 dij , • 求走遍所有城市的最短路。 求走遍所有城市的最短路。
A ○
B ○
C ○
• 模型： 模型：
min ∑ d ij xij
i≠ j n
E ○
（走出城市 i 一次） （进入城市 j 一次）
D ○ F ○
s. t. ∑ xij = 1 , i = 1 , 2 , ⋯, n
∑ ∑c x
i =1 j =1
m
m
ij ij
∑c x
j =1
m
ij ij
= 1 , i = 1 ,⋯ , m (每人完成一项任务) = 1 , j = 1 , ⋯ , m (每项任务一人完成)
SST
∑c x
i =1
m
ij ij
xij = 0 or 1
• 例7. 旅行商问题-TSP（组合优化） 旅行商问题-TSP（组合优化）
v - min [ - cT x, max q j x j ]
1≤ j ≤ n
s. t.
Ax ≤ b x≥0
• 化为多目标线性规划模型： 化为多目标线性规划模型：
v - min [ - cT x, xn +1 ] s. t. Ax ≤ b q j x j ≤ xn +1 ; j = 1,⋯ , n x≥0
SST
⋯⋯
• 令 X = [x1, x2, ···, xn ]T ; c = [c1, c2, ···, cn ]T ; b = [b1, b2, ···, bn ]T ; A = [ aij ]mxn T • LP： LP： Max c x
s. t. Ax ≤ b x≥0
• 问题扩展 a. 若 c1, c2, ···, cn 不是固定的，c 是随机变量， 不是固定的， 是随机变量， 平均值 c = [ c1 , c 2 , ⋯ , c n ]T ，协方差矩阵 V 。 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型： 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
f (x) = 3x + 5 (150 − x)2 + 202
f ′(x) = 3− 5(150 − x) (150 − x) + 20
2 2
• 令 f ′(x) = 0 ，即 • 由（2） ）
3 (150 − x) + 20 = 5(150 − x)
2 2
（2） ）
9((150 − x)2 + 400) = 25(150 − x)2
SST
• 经典优化问题一般模型： 经典优化问题一般模型： a.无约束问题： 无约束问题： 无约束问题
min f ( x) or max f ( x) x∈R n x∈R n n 可省去； 其中的 x ∈ R 可省去； max ⇔ max imize
b.条件极值： 条件极值： 条件极值
min f ( x) s. t. h j ( x) = 0 ; j = 1,2,⋯, l
SST
•最优化方法
实际问题与建模
SST
1.经典极值问题 1.经典极值问题
• 例1.车站选址问题 车站选址问题 一直线铁路经过钢厂A， 一直线铁路经过钢厂 ，矿区 B 位于距铁路最 相距150km。计划在铁路上 近处 C 为20km，A C 相距 ， 。 之间筑一条直线公路， 设一站 D，在A D之间筑一条直线公路，若矿石运 ， 之间筑一条直线公路 费铁路为3元 费铁路为 元/km·t，公路为 元/km·t。 ，公路为5元 。 问题：D 站选在何处最好。 问题： 站选在何处最好。
m 2πrh + 2πr2 in s.t. πr2h =V or πr2h −V = 0 r, h ≥ 0 • s.t. --- subject to (满足于 约束条件 满足于): 满足于 • 令 x = [r, h] ; f (x) = 2πrh + 2πr2