专题28 图形的相似

学科教师辅导讲义

年级：辅导科目：数学课时数：3

课题图形的相似

教学目的

教学内容

一、【中考要求】

1、了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割；能通过具体实例认识图形的相似及相似变换。

2、探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例、面积的比等于相似比的平方；能利用图形的相似解决一些实际问题。

3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件及相似三角形的性质；能灵活运用相似三角形的判定及其性质进行计算或证明，能利用三角形的相似知识解决一些实际问题。

二、【三年中考】

1．(2010·金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是()

A．6米B．8米C．18米D．24米

解析：由题意可证△ABP∽△CDP，

∴AB

CD＝

BP

DP，∴

1.2

CD＝

1.8

12，∴CD＝8米．

答案：B

2．(2010·湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC 与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．

解析：作直线A1A，C1C，两直线的交点(9,0)即为位似中心．

答案：(9,0)

3．(2010·嘉兴)如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果AE EC ＝23，那么AB

AC

＝( )

A.13

B.23

C.25

D.3

5 解析：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠EAD.

又∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴∠EAD ＝∠ADE ，

∴AE ＝DE ，∴AE EC ＝DE EC ＝2

3

.

又△CDE ∽△CBA ，∴DE AB ＝CE AC ，∴AB AC ＝DE EC ＝2

3

.

答案：B 4．(2009·嘉兴)如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，BD 与AE ，AF 分别相交于点G ，H.

(1)求证：△ABE ∽△ADF ；

(2)若AG ＝AH ，求证：四边形ABCD 是菱形．

解：(1)∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF. ∴△ABE ∽△ADF

(2)∵△ABE ∽△ADF ， ∴∠BAG ＝∠DAH.

∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG ， 从而∠AGB ＝∠AHD. ∴△ABG ≌△ADH. ∴AB ＝AD.

∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴四边形ABCD 是菱形．

三、【考点知识梳理】

（一）成比例线段与比例的基本性质

1．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果a b ＝c

d

，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例的等比性质

如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ，反之也成立．特殊地a b ＝b

c

⇔b 2＝ac.

温馨提示：

利用比例的基本性质还可推出：

（二）相似多边形的判定及性质

多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例． 相似多边形的性质：

(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （三）相似三角形的判定及性质

1．判定方法

(1)定义：各角对应相等，各边对应成比例． (2)两边对应成比例，且夹角相等； (3)两角对应相等； (4)三边对应成比例． 2．性质

(1)对应角相等，对应边成比例；

(2)对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等 于相似比；

(3)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 温馨提示：

1、 在判定两个三角形相似时，~ABC DEF ∆∆,ABC ∆与以D 、E 、F 为顶点的三角形相似是两种不同的说法，前

者说明A 与D 、C 与F 是对应顶点，而后者没有指明对应点。 2、 在解题中常用到如下结论：在如图所示的三角形中，若∠ACB=

90

，CD AB ⊥于D ，则有

2

=AD AB AC ,

2

=B D AB BC

,2

=A D BD CD

(四)

位似图形及性质

1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （五）黄金分割

如图

，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果

AC AB ＝BC

AC

，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比(即AC

AB ＝5－12

≈0.618)．

四、【中考典例精析】

类型一比例的基本性质、黄金分割

(1)若

a－b

b＝

2

3，则

a

b＝________.()

A.

1

3 B.

2

3 C.

4

3 D.

5

3

(2)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()

A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm

【解答】(1)D∵

a－b

b＝

2

3，∴3a－3b＝2b，∴3a＝5b，即

a

b＝

5

3.(2)A设宽为x，

x

20＝

5－1

2，x≈12.36.

【点拨】(1)题考查比例的基本性质；(2)题考查黄金分割，黄金比为

5－1

2.

类型二相似多边形、位似图形

(1)如图所示，一般书本的纸张是对原纸张进行多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么

AB

AD等于()

A．0.618 B.

2

2 C. 2 D．2

(2)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2.若AB＝2 cm，则A′B′＝________cm，并在图中画出位似中心O.

【点拨】(1)题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．

(2)题考查位似图形的性质及位似中心的确定．

【解答】(1)B因为矩形ABCD对开后得到与它相似的矩形ABFE，根据相似多边形的性质知，

AB

AD＝

AE

AB，而AE＝

1

2AD，故

AB

AD＝

1

2AD

AB.所以AB

2＝

1

2AD

2，所以

AB

AD＝

2

2，故选B.

(2)4确定位似中心时找两对对应点，做出它们所在的直线，两条直线的交点即为位似中心．

方法总结：

1.画位似图形的一般步骤如下：

（1）确定位似中心；（2）分别连接位似中心和能代表图形的关键点；（3）根据位似比，找出所作的位似图形的对应点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。

2.画位似图形时，根据位似中心与图形位置关系可分为三种情况：（1）位似中心在图形的一侧；（2）两个图形分居在位似中心两侧；（3）位似中心在两个图形的内部。