西南交大《数值计算》习题习题

习题四 1． 求经过下列已知点的是低次数插值多项式。
x
0
1.5 5.1
y
-1 4.25 35.21
2． 已知函数表如下：
x
10
11
12
13
Lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649
试分别用线性插值与二次插值计算Ln11.75的近似值，并估计截断误 差。
3． 给出函数表：
x
0
1
2
4
5
y
0
16
46
88
0
求各价差商，并写出Newton基本插值公式。 4． 已知函数表：
x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750
f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70431 0.65632 0.60228
(1) 写出差分表 (2) 用Newton向前插值公式计算f(0.158)的近似值 (3) 用Newton向后插值公式计算f(0.636)的近似值 5． 求次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足：
习题一 1． 求下列各数的具有四位有效数字的近似值，并指出其绝对误差限 和相对误差限。
2． 为了使的近似值的相对误差0.1%，问至少应取几位有效数字？ 3． 正方形的边长约为100厘米，问测量时误差最多只能到多少才能
保证面积的误差不超过1平方厘米。 4． 设计一个算法，使求方程x2－56x+1=0的两个根，至少具有四位
(其中是k次的Chebyshev多顶式) 习题五
1． 设方程组 （1）证明：用Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法解此方程组均收 敛。 (2)分别用Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法求解此方程组，使： 2． 给定Ax=b，其中 A= A= 分别计算Jacobi和Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径，说明Jacobi迭代收 敛，但Gauss-Seidel法可能不收敛，反之亦然。 3． 设有方程组 试写出收敛的迭代式，单说明收敛的理由。 4． 用SOR方法（分别取=1.0，=0.9，=1.1）解方程组： 要求当时迭代终止。
（1） p(1)=p (1)=0, p(2)=p (2) =0, p(3)=1 （2） p(0)=p (0)=0, p(1)=p (1) =1, p(2)=1 并写出误差表达式。 6． 已知数据表：
x
1
2
4
5
y
1
4
6
4
试分别求出满足下列条件的三次样条插值函数。 (1)S (1)=1 S (5)=0 (2)S (1)=1 S (5)=0 7. 设
y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
6. 设,令,证明：的最佳零次一致逼近函数为 7. 求在上的一次最佳一致逼近多项式。 8. 求在上的二次最佳一致逼近多项式。 9. 利用Chebyshev节约化，求出在上逼近的4次多项式，并使其误
差 10. 设是一个n+1次多项式，证明： （1）的表示法唯一 （2）在中的最佳一致逼近多项式为
习题三 1． 用选列主元的Gauss消元方法求解方程组。 2． 用选列主元的Gauss消元法求解方程组。 3． 用LU分解算法求解方程组。 4． 用追赶法解方程组。 5． 分别用平方根法和改进平方根法解方程组。 6． 设A=，x=，求||x||1, ||x||2, ||x||及||A||1, ||A||2, ||A||。 7． 设A=，计算条件数cond(A)与cond(A)2。 8． 对任一给定的n维向量空间上向量范数，对矩阵，定义
解y= 2． 用Adamas预报一校正公式，求初值问题。
在区间[0,1]上的数值解，取步长h=0.1. 3. 证明：用标准四阶Runge-Kutta法求解 时得到的求解个式是
5. 设有方程组:： 其中A为对称正定阵
迭代公式 试证明：当 时，上述迭代法收敛（。 6. 证明矩阵 对于是正定的，而Jacobi迭代只对
是收敛的。
习题六
1． 用幂法和反幂法求A的按模最大和最小特征值和相应的特征向
Biblioteka Baidu量：
A=，A=，A=，A=
2． 用Jacobi方法求下列矩阵的特征值和相应的特征向量：
(1)A=
(2)A=
习题七
1． 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指出
所得公式的代数精度。
（1）
（2）]
2．用梯形公式近似计算积分，并估计误差。
3． 如果用复化梯形公式计算积分，为使精度要求达到，应取多大的
步长？
4． 试用复化Simpson公式计算（用7个节点计算）
5． 用自动取步长的梯形公式计算，要求误差不超过。
证明：它是上的矩阵范数且满足相容性条件，即 称此矩阵范数为由向量范数导出的导出矩阵范数。 9． 证明：对任一上的矩阵导出范数，必有：。 10． 证明：对任一可逆矩阵，其条件数至少为1。 11． 证明：设，则 12． 设，证明： 13． 证明：（1） （2） （3） 14. 设，试写出A能分成A=LU的计算公式，其中L为下三角阵,U为单位上 三角阵（称这样的分解为Crout 分解）。
3. 证明任一向量空间中的n个非零向量，如果它们之间是正交的， 则必线性无关。
4. 用拟合以下数据（用最小二乘法）：
x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
y 1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60
5. 用最小二乘法求一形如 为常数)
的经验公式拟合以下数据
x 19 25 31 38 44
6． 用Romberg法计算下述积分。
(1)
(2)
使误差不超过
7． 分别用n=5的Gauss型求积公式，计算：
及
8. 试证明上的Gauss-Legendre求积公式的节点和系数关于原点是对称分
布。
习题八 1． 分别用Euler法，改进Euler法，二阶及四阶标准Rumge-Kutta法求 解如下的初值问 题。 在点x=0.1处的数值解（分别取h=0.1,h=0.05）及局部截断误差（准确
个格式收敛， 哪一个格式收敛最快。 5． 用Newton法求方程f(x)=x3-3x-1=0的所有根，要求至少有4位有效 数字。 6． 用弦截法求4cosx－ex－x=0解的根。 7． 设有根，且。试证明由
产生的序列对任意的和均收敛于根。
8. 证明：当充分接近时，按迭代公式 产生的迭代序列收敛于且收敛阶数为3。
有效数字。 5． 设近似值T0= S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，
试分析分别用递推式： Ti+1=5 Ti-142.8和
计算T20和S20所得的结果是否可靠。
习题二 1． 分析方程f(x)=sinx-=0正根的分布情况，并用二分法求正根近似 值，使误差不超过 。 2． 估计用二分法求方程f(x)=x3+4 x2-10=0在区间[1,2]内根的近似 值，为使误差不超过时所需的二分次数。 3． 对于方程3 x2- ex=0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别 确定迭代函数(x)及根的隔离区间[a,b]，使当x0[a,b]，迭代xk+1= (xk)(k=0,1,2,…)收敛到要求的根。 4． 将方程x3- x2-1=0分别写成： （1） (2) (3) (4) 选取x0=1.5试用迭代格式xk+1= i (xk)分别计算，从计算实践中回答哪
则 8. 设是次数不超过n次的，在节点关于函数的插值函数，则：
9. 证明：对任意次数不超过n次多项式有：
10. 证明：如果是n次多项式，则：当n>k时，有： 11. 证明：Leibniz公式：
12. 设在[a,b]上连续，且。如果是自然数边界条件下在节点处的三次 样条插值函，则：
习题四 1. 设，评求出在中的最佳平方逼近多项式。 2. 设是在上的一个连续的偶函数，证明：在中的最佳平方逼近多 项式也是偶函数。