微通道多孔介质模型分析解析

微通道热沉的一种改进多孔介质模型

Baoqing Deng , Yinfeng Qiu , Chang Nyung Kim

Applied Thermal Engineering 30 (2010) 2512-2517

摘要

在本文中，将会推出微通道热沉的一种新型多孔介质模型。在温度方程中考虑到基板，因此，避免了微通道底部的近似边界条件。由流体力学和微通道换热流动充分发展，得到解析解。将本文解析解所得的无量纲温度与三维数值模拟及以往多孔介质模型相比较。本模型和数值模拟正确再现以往多孔介质模型在基板和通道底部附近区域不能描述的温度分布。由于已经考虑基板，本模型计算而得对流传热阻值与数值模拟显示出良好的一致性而无需任何附加修正。随着通道高度增加，数值模拟和多孔介质模型之间的差异也会增加。纵横比较大的情况更应该注意。

关键词：微通道热沉多孔介质基板

1 前言

自从Tuckerman和Pease[1]提出了用于大功率密度电子设备冷却的微通道热沉概念后，微通道热沉备受关注。有关微通道热沉建模方法的研究有很多。最简单的建模方法是使用翅片模型[2]，即将通道内的三维流动和传热简化为沿流动方向的一维问题。然而，翅片模型模拟纵横比较大的微通道热沉[3-8]时，误差可能较大。另一种方法是通过计算流体力学（CFD）[9-11]，模拟单个三维通道内的流动和传热。CFD可以提供通道内速度场和温度场的的信息。当然，这需要大量精力和计算时间。多孔介质的方法是这两种方法的综合，即将微通道热沉视为充满冷却剂的虚拟多孔介质。自从Koh和Colony[5]提出了这个概念，应用多孔介质的方法[3,4,12]研究微通道热沉的作品有很多。这些作品考虑了通道和翅片内部的温度分布，但没有考虑到基板内部的温度分布。对于微通道热沉，通常假定基板底部的热流密度是均匀的。由于以往多孔介质模型并未包含基板，在Kim和Kim等人[13]的模型的通道和肋片底部，必须给出近似边界条件，他们假定通道和肋片底部的无量纲温度为零。据作者所知，到现在还没有有关基板分析的作品。另一方面，忽略基片将导致对流传热阻值的计算出现误差，因为最高温度存在于基板底部，而不是通道底部。在本文中，多孔介质模型拓展到通道下面的基板，由流体力学和换热充分发展流动，求得解析解，微通道热沉的几何参数对温度分布和热阻的的影响也将进行详细的讨论。

2 分析模型

本文考虑微通道热沉强制对流的问题。如图1所示，通道顶部是绝热的，底部是等温的或具有恒定的热流密度。水流过微通道带走热量。

图1 微通道热沉的原理图

流动为层流状态，流动完全发展，单个微通道的动量方程为

其中，u为流体速度，p为压力，μ为粘度中，x，y和z为坐标。由流动充分发展，可知压力梯度是一个常数。进一步可知，换热也充分发展。因此，通道的温度方程为

其中，Kl为流体的导热系数，T为温度，ρ为液体的密度，Cp为比热容。

忽略流动方向的热传导，基板和翅片的温度为

其中，Ks为基板和翅片的导热系数。

边界条件为

Kim等人[3]认为，多孔介质中的模型实际上是沿z方向的变量平均值。将积分在使用范围进行平均，在本文中可得两种平均值变量，为

前者被称为通道平均变量，后者被称为翅片平均变量。

将方程（7）代入方程（1）—（2）可得

将方程（7）—（8）代入方程（3）可得

其中，ε=Wc /W为孔隙率，K为绝对渗透率，h为通道内流体与翅片表面间的表面传热系数。由Kim和Kim[13]得

方程（9）—（13）为动量和温度平均值的控制方程。要注意平均对流项应当结合热边界条件进行简化。当流动传热充分发展时，流动方向上无量纲温度的导数为零。在恒定壁面热流的情况下，这意味着

其中，Tm是横截面的平均温度。因此，方程（10）变为

引入以下无量纲变量

考虑到能量平衡

方程（9），（11）—（13）和（16）可按如下进行无量纲化：

对应的边界条件为

方程（27）可确保热流密度和温度在Y = 0的位置的连续性。不同于以往多孔介质模型[3,4,12]，本模型在边界的无量纲翅片平均温度由方程（27）耦合边界条件确定，而不是以往模型中的零。

方程（19）已由Kim和Kim[13]解得，如下所示：

按Kim和Kim[13]的求解步骤，方程（20）—（23）的解如下所示：

考虑到边界条件，可以得到

由无量纲温度的解，可以计算出热阻。在一般情况下，总热阻被定义为

其中，θin为入口处的无量纲温度，L和W为微通道热沉的长度和宽度。一般总热阻分为容量阻值和传热阻值，其内容为

其中的第一项根据流速和冷却剂的比热容而决定，被称为容量阻值，其内容为

第二项代表传热热阻，由于对流其内容为

方程（47）也通过Kim和Kim[13]计算容量阻值，不同之处在于传热阻值。对微通道热沉以往多孔介质模型，对流传热阻值如下所示[4,12]：

与方程（48）相比较，方程（50）由于没有考虑基板对对流传热阻值的影响，使对流传热阻值变小了。

为了弥补这种不足，考虑到常规体积平均温度与Kim[3]的体积平均温度之间的差异，添加一项附加的经验项，其内容为

3 结果与讨论

应用本模型，Kim和Kim[13]模型及CFD方法计算出的无量纲温度分布如图2所示。CFD计算方程可以参考Kim[3]。为简单起见，这里就不列出了。三种模型描绘的两个无量纲温度具有相同的趋势，仅在大小方面有细微差别。所有翅片平均温度均随无量纲高度的增加而降低。所有通道平均温度均随无量纲高度的增加而降低，直至达到最小的值，然后增大，直到通道顶部为止，其不同之处在于每个模型温度的相对大小。CFD的曲线表明，通道平均温度大于在基板上翅片平均温度。这符合物理事实，即通道下的温度大于翅片下的温度。本文的分析也正确地再现这种现象。然而，Kim和Kim[13]的模型却不能再现这种现象，因为其模型没有考虑基板。CFD的无量纲温度曲线彼此相交于高度为Y0处，其值大于零。这意味着热流密度从通道导入到通道底部至Y0之间的翅片，在Y0到通道顶部之间则与之相反。本文也正确地预测这一现象在Y0取不同的值时。然而，Kim和Kim[13]的模型曲线相交于（0,0）点，这意味着热流密度总是从翅片导入到通道。其原因是在Kim和Kim[13]的模型中，翅片的平均温度在Y = 0处被视为零，如图2所示。事实上，此值应由耦合方式确定，如方程（27）所示。因此，在Y = 0处翅片平均温度的值应小于零，而对于CFD及本模型，其值分别为- 0.03和- 0.05。

图2三种模型的温度分布（ε=0.5,Kf/Ks=0.004,H/Wc=6,δ/H=0.3）

通道纵横比对两个无量纲温度的影响如图3和图4所示。随着通道纵横比的增加，翅片平均温度曲线向上稍稍移动。这意味着，纵横比对翅片平均温度的影响较小。对CFD计算及本文来说，θf的计算结果（Y= 0）随着纵横比的增加趋向于零。这意味着，在纵横比比较大时，以往多孔介质模型，要比本模型更近似于真值。至于无量纲通道平均温度，也随纵横比增加而增加。然而，增加的幅度要比无量纲翅片平均温度大得多。随着纵横比不断增加，曲线的形状趋向于的直线。这意味着纵横比对无量纲通道平均温度有很大的影响。