古典概型解题的归纳和分析
古典概型c公式和a公式古典概型解题步骤关键等可能事件的两个特征条件
一、古典概型解题步骤（1）阅读题目，搜集信息；（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；（4）用公式求出概率并下结论。
二、求古典概型的概率的关键：1.求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
2.古典概型c计算方法：c(n,m)=n!/[(nm)!*m!]，这是概率公式中的组合公式，等于从n开始连续递减的m个自然数的积除以从1开始连续递增的m个自然数的积。
三、基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
四、古典概型：如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
五、古典概型的特点有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）六、基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的。
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
七、古典概型的C与A1.C表示组合方法的数量。
比如C（3,2）表示从3个物体中选出2个,总共的方法是3种,分别是甲乙、甲丙、乙丙.（3个物体是不相同的情况下）2.A表示排列方法的数量。
比如n个不同的物体,要取出m个（m<=n）进行排列,方法就是A（n,m）种，也可以这样想,排列放第一个有n种选择,第二个有n1种选择,第三个有n2种选择,·····,第m个有n+1m种选择,所以总共的排列方法是n （n1）（n2）···（n+1m）,也等于A（n,m）。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种基本且重要的概率模型。
理解古典概型的概率计算对于我们解决许多实际问题具有重要意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义和特点古典概型是指试验中所有可能的结果都是有限的，并且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
其具有以下两个特点：1、有限性：试验的可能结果只有有限个。
2、等可能性：每个可能结果出现的概率相等。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型试验中，所有可能的结果共有 n 个，事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子中球的总数为 5 ＋ 3 ＝ 8 个，红球有 5 个。
根据古典概型的概率计算公式，取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 5 ／ 8 。
例 2：抛掷一枚均匀的骰子，求掷出点数为奇数的概率。
解：抛掷一枚骰子，可能出现的点数有 1、2、3、4、5、6，共 6 种结果。
其中奇数点数为 1、3、5，共 3 种结果。
所以掷出点数为奇数的概率 P(掷出奇数) ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
例 3：从 1、2、3、4、5 这 5 个数字中，任意抽取 2 个数字，求这2 个数字之和为 6 的概率。
解：从 5 个数字中任意抽取 2 个数字，共有 C(5, 2) ＝ 10 种组合方式。
其中和为 6 的组合有(1, 5)和(2, 4)，共 2 种。
所以概率 P(和为 6) ＝ 2 ／ 10 ＝ 1 ／ 5 。
四、常见的解题步骤1、明确试验的类型，判断是否为古典概型。
2、确定试验的所有可能结果总数 n 。
3、找出事件 A 包含的结果数 m 。
4、代入概率计算公式 P(A) ＝ m ／ n ，计算出概率。
五、易错点分析1、对试验的可能结果考虑不全面，导致计算结果错误。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。
古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。
在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。
下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。
一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。
对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。
有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。
2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。
排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。
3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。
1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。
划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。
2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。
3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。
古典概率模型分析例题和知识点总结
古典概率模型分析例题和知识点总结在概率论的领域中，古典概率模型是一个重要的基础概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了有力的工具。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概率模型，并对相关的知识点进行总结。
一、古典概率模型的定义和特点古典概率模型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，其结果有 1、2、3、4、5、6 六种，且每种结果出现的概率都是 1/6。
古典概率模型具有以下特点：1、有限性：试验的可能结果是有限的。
2、等可能性：每个结果出现的可能性相等。
二、古典概率的计算公式若一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题分析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：总的取法有 C(5, 2) ＝ 10 种（C 表示组合数）。
取出 2 个红球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个黑球和 3 个白球，从中任意取出 2 个球，求至少取出 1 个黑球的概率。
解：总的取法有 C(8, 2) ＝ 28 种。
取出的 2 个球都是白球的取法有 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以至少取出 1 个黑球的概率为 1 3 ／ 28 ＝ 25 ／ 28 。
例 3：在一次抽奖活动中，有 100 个号码，其中只有 10 个号码能中奖。
某人随机抽取一个号码，求他中奖的概率。
解：因为总共有 100 个号码，中奖号码有 10 个，所以中奖的概率为 10 ／ 100 ＝ 1 ／ 10 。
四、常见的古典概率模型1、摸球问题：如上述的从口袋或盒子中摸球的问题。
2、抽奖问题：像上述的抽奖活动。
3、掷骰子问题：计算掷骰子出现特定点数或特定点数组合的概率。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
摘要：
1.概论古典概型
2.古典概型的性质与运算
3.例题解析
4.总结
正文：
一、概论古典概型
古典概型是概率论中的一个基本概念，主要用于描述随机试验的结果。
古典概型假设每个试验的结果都是等可能的，即每个结果的概率相等。
古典概型可以应用于各种实际问题，例如掷骰子、抽取扑克牌等。
二、古典概型的性质与运算
1.性质
古典概型的性质主要体现在以下几点：
（1）每个结果的概率相等。
（2）所有可能结果的概率和为1。
（3）任意两个结果的概率和可以表示为它们交集的概率。
2.运算
古典概型的运算主要包括加法和乘法。
（1）加法：对于两个古典概型A 和B，若它们是互斥的，即A 和B 没有相同的结果，则A 和B 的并集的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（2）乘法：对于两个古典概型A 和B，若它们是独立的，即A 的结果不影响B 的结果，则A 和B 的交集的概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。
三、例题解析
例题：一个袋子里有3 个红球和2 个绿球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
解析：这是一个典型的古典概型问题。
根据古典概型的性质，抽到红球的概率为红球的个数除以总球数，即P(红球)=3/(3+2)=3/5。
四、总结
古典概型是概率论中的一个基本概念，它具有一些基本的性质和运算规律。
通过理解古典概型的概念和运算，我们可以解决许多实际问题。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
古典概型是概率论中最基本的概念之一，用于描述实验中等可
能性事件的概率。
下面我将给出一个古典概型的例题，并进行解析。
例题，一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从中随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解析，首先，我们需要确定实验的基本单位，即每次从袋子中
取出一个球。
根据题目给出的条件，袋子中共有8个球，其中5个
红球和3个蓝球，所以每次取球的概率是相等的。
接下来，我们需要确定事件，即取出两个球颜色相同。
根据题
目要求，我们可以分为两种情况，取出两个红球或者取出两个蓝球。
1. 取出两个红球的情况，首先从5个红球中选取一个红球的概率是5/8，然后从剩下的4个红球中选取一个红球的概率是4/7。
所
以取出两个红球的概率为(5/8) (4/7)。
2. 取出两个蓝球的情况，同理，从3个蓝球中选取一个蓝球的
概率是3/8，然后从剩下的2个蓝球中选取一个蓝球的概率是2/7。
所以取出两个蓝球的概率为(3/8) (2/7)。
最后，我们需要计算两种情况的概率之和，即取出两个球颜色相同的概率。
所以，取出两个球颜色相同的概率为[(5/8) (4/7)] + [(3/8) (2/7)]。
计算得到的结果是11/28，约等于0.39。
因此，取出两个球颜色相同的概率约为0.39，或者可以表示为39%。
以上就是对于古典概型例题的解析。
希望能够帮助到你理解古典概型的应用。
如果还有其他问题，请随时提问。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的一个重要内容，通常包括排列、组合和分组的相关知识。
在解题过程中，我们可以采用一些技巧来辅助理解和解决问题。
1. 计数原则在解决排列和组合问题时，经常会用到计数原则。
计数原则是指如果一个实验有m种可能的结果，第二个实验有n种可能的结果，则这两个实验连在一起共有m*n种可能的结果。
在古典概型中，我们可以利用计数原则来简化复杂的问题，将问题逐步分解为几个简单的实验，然后再将它们的结果相乘得到最终的结果。
2. 排列的解题技巧排列是指从n个不同元素中取出r个元素，按一定的顺序排成一列的不同排列数。
在解决排列问题时，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定这些选择的元素有多少种排列方式。
对于排成一排的问题，我们可以先确定有多少种不同的元素可以选择，然后再确定这些元素可以排列的方式，最后相乘得到总的排列数。
3. 组合的解题技巧组合是指从n个不同的元素中取出r个元素的不同组合数。
在解决组合问题时，我们可以利用减法原则来简化问题。
减法原则指的是，如果一个实验包含有m种结果，并且有n种结果不合法，那么合法的结果数等于m-n。
在组合问题中，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定其中有多少种不合法的选择方式，最后用减法原则得到合法的结果数。
4. 分组的解题技巧分组是指将n个不同的元素分成r组的不同分组方式。
在解决分组问题时，我们可以利用排列和组合的知识来辅助理解。
分组问题可以看成是先将n个元素排成一列，然后再在这些元素之间加上r-1个隔板，最后将其中的分组方式看成是在这些元素和隔板中选择r-1个位置，并且将这些位置放上隔板。
这样就可以用组合数来求出分组的方式。
5. 确定权重在古典概型的问题中，有时候我们需要确定每个元素的权重，并且根据权重来求出最终的结果。
确定权重通常可以通过分情况讨论、排列组合的知识和实际问题的特点来得到。
通过确定权重，我们可以简化问题，并且找到最优的解决方式。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧概率论是数学中的一个重要分支，而“古典概型”是其中的基础概念之一。
在高中课程中，学生需要学习古典概型的概念、基本公式及其在实际问题中的应用。
本文将介绍一些古典概型的解题技巧，供学生参考。
一、古典概型的定义和公式古典概型是指试验所有可能的结果都是等可能发生的概率问题。
具体来说，古典概型要求试验的结果具有以下两个特点：1.试验的所有结果都是确定的；2.试验的每个结果发生的可能性相等。
对于一个具有n个等可能结果的试验，其中发生某一事件A的可能性为：P(A)=m/n其中m为事件A包含的有利结果数。
这个公式是古典概型的基础公式。
二、解题技巧1.画出样本空间对于一个古典概型问题，首要任务是确定样本空间。
样本空间是指试验中可能发生的所有结果的集合。
一个简单的技巧是画出样本空间的图形。
例如，在一次抛硬币的试验中，样本空间为{正面，反面}，可以通过画出一张抛硬币的图像来形象地表示出来。
2.确定事件A一旦确定了样本空间，就需要确定事件A。
事件A是指样本空间中发生某种结果的集合。
它通常是通过一些自然语言描述的。
在确定事件A时，需要明确其含义，确定其范围和有价值的信息。
3.计算概率一旦确定了事件A和样本空间，就可以使用古典概型的基础公式计算概率。
需要包括以下步骤：2.计算事件A的有利结果数；例如，在一次掷骰子的试验中，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，事件A是小于等于4的结果，有利结果数为4，因此：4.注意问题描述的精确性在解题过程中，需要注意问题描述的精确性。
有些问题并不是古典概型问题，而是其他概率问题，如条件概率、贝叶斯公式等。
因此，在解题时需要仔细阅读问题，理解问题所涉及的概念和知识点。
5.利用公式简化计算根据古典概型的基础公式，可以利用数学计算和逻辑推理来简化计算，例如通过分式的化简和比例的运用等。
同时，需要注意计算中的精度和舍入误差。
6.灵活应用法则古典概型涉及到的概率基本概念和公式被广泛应用于各个领域和实际问题中。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的一种概型，适用于试验的结果只有有限个、且每个结果发生的概率相等的情形。
在高中数学必修三中，我们学习了古典概型的基本概念和计算方法。
本文将介绍几种在解古典概型问题时常用的技巧。
一、加法原理在一些试验中，我们需要统计的实验结果并不是唯一的，而是可以通过不同的方法得到。
此时，可以使用加法原理求解。
加法原理的基本思想是：如果两个事件A、B互不干扰，即A事件的发生与B事件的发生无关，那么A、B两事件至少发生一个的概率等于两事件的概率之和，即P(A或B)=P(A)+P(B)。
例如，有6只红球和4只蓝球，从中任取一球，求取到的是红球或蓝球的概率。
此题实验结果可以是取到红球或蓝球，因此可以使用加法原理求解：P(红球或蓝球)=P(红球)+P(蓝球)=6/10+4/10=1。
需要注意的是，加法原理只适用于互不干扰的事件，如果A事件的发生与B事件的发生相关，则需要使用另外一种原理进行计算。
在一些试验中，我们需要统计若干个事件共同出现的概率。
此时，可以使用乘法原理进行计算。
乘法原理的基本思想是：如果试验中包含m个步骤，每个步骤有n1,n2,...,nm种不同的可能结果，且每个步骤的结果与其他步骤的结果无关，那么所有步骤的结果组合起来的总方案数为n1×n2×...×nm。
例如，从4个人中任选3位代表参加会议，求选出的代表组合中，甲、乙两人都参加的概率。
此题实验结果包括三个步骤：第一步，任选一名代表；第二步，从剩下的人中任选一名代表；第三步，从剩下的人中任选一名代表。
每个步骤的结果都对下一个步骤的结果没有影响，因此可以使用乘法原理求解：P(甲、乙都参加)=选甲的概率×选乙的概率×选第三人的概率=1/4×1/3×2/2=1/6。
三、排列组合在一些试验中，我们需要计算的实验结果具有一定的排列顺序或组合顺序，此时需要使用排列组合知识。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的重要内容，也是我们生活中经常会用到的思维模式。
在解题时，可以运用一些特定的技巧来简化问题，提高解题效率。
下面就是古典概型的一些解题技巧，希望能帮助大家更好的掌握这一知识点。
一、排列组合原理在解古典概型的问题时，我们可以运用排列组合原理。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的次序排成一列。
排列的计算公式是A(n,m) = n!/(n-m)!，其中“！”表示阶乘。
运用排列组合原理可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。
还可以将问题转化为排列或组合的形式，从而更容易求解。
二、分步计数法在解古典概型的问题时，我们可以运用分步计数法。
分步计数法是一种将问题分解成几个简单子问题，然后计算每个子问题的结果并求和的方法。
通过分解问题，我们可以更容易地求解复杂的古典概型问题。
当问题中存在多个步骤或多个子问题时，我们可以首先计算每个步骤或子问题的结果，然后将它们的结果相乘或相加，得到最终的解答。
这样可以大大简化问题，提高解题效率。
三、利用对立事件在解古典概型的问题时，我们可以运用对立事件的方法。
对立事件是指与某事件相对立的另一个事件。
在古典概型中，我们可以利用对立事件的思维模式，简化问题，提高解题效率。
四、利用分组思想在解古典概型的问题时，我们可以运用分组思想。
分组思想是指将问题中的元素按照某种特定的规则进行分组，从而简化问题，提高解题效率。
五、利用概率加法和乘法规则在解古典概型的问题时，我们可以运用概率加法和乘法规则。
概率加法和乘法规则是指根据问题中的不同情况，运用加法或乘法规则来计算概率的方法。
概率加法规则是指当事件A和事件B互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
概率乘法规则是指当事件A和事件B相互独立时，它们的概率之积等于它们的交集的概率。
利用概率加法和乘法规则可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。
通过将问题分解成不同情况，然后分别计算每种情况的概率，并用加法或乘法规则求解最终的概率。
高中数学古典概型知识点总结
高中数学古典概型知识点总结高中数学中的古典概型是指基于样本空间，利用等可能性原理计算事件发生概率的方法。
以下是一些关键的知识点总结：1. 样本空间：在进行古典概型的计算时，首先要确定问题的样本空间。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
2. 事件：在样本空间中，可以定义各种事件，也就是对应某个或某些结果的子集。
常见的事件有简单事件（只包含一个结果）和复合事件（包含多个结果）。
3. 等可能性原理：古典概型的核心思想是等可能性原理，即各个结果发生的概率是相等的。
根据等可能性原理，可以得出事件发生的概率。
4. 计算概率：根据等可能性原理，可以使用计数方法来计算事件发生的概率。
例如，若样本空间中有n个等可能结果，而事件A 包含m个结果，则事件A发生的概率为P(A) = m/n。
5. 排列与组合：在古典概型的计算中，经常需要使用排列与组合的概念。
排列是指从n个元素中选取r个元素并按照一定顺序排列，而组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑顺序。
排列与组合的计算公式如下：- 排列：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)6. 互斥事件与对立事件：互斥事件指两个或多个事件不可能同时发生，而对立事件指两个事件中只有一个会发生。
在古典概型中，可以利用互斥事件和对立事件的概念来计算复杂事件的概率。
7. 概率的性质：概率具有一些重要的性质，包括非负性（概率不会小于0）、正则性（全样本空间的概率为1）、可加性（若事件A 与事件B互斥，则它们的概率之和等于各自的概率和）等。
以上是高中数学中古典概型的一些关键知识点总结。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用古典概型方法进行概率计算。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中重要的一部分，涉及排列、组合、分配等问题。
在解题过程中，有一些常用的解题技巧可以帮助我们更轻松地解决古典概型的问题。
下面我们就来讨论几种解题技巧。
技巧一：分清题目中的条件在解决古典概型的问题时，首先要准确地理解题目，并分清题目中给出的条件。
只有了解了题目的条件，我们才能采取正确的方法解题。
当遇到排列组合的问题时，有时题目中会有特殊的条件，比如有些元素不能相邻，有些元素需要排在一起等，这些都是我们在解题时需要注意的地方。
技巧二：理清解题的思路在解决古典概型的问题时，我们需要理清解题的思路，选择合适的方法来解决问题。
通常情况下，我们可以采用排列、组合和分配等方法，根据题目中给出的条件来选择合适的方法。
当遇到要求从n个不同元素中取r个元素进行排列或组合的问题时，我们可以考虑使用排列组合的方法来解题，而当遇到要将n个元素进行分配的问题时，我们则可以考虑使用分配的方法来解题。
技巧三：灵活运用公式在解决古典概型的问题时，我们可以灵活运用排列组合的公式来解题。
排列和组合的公式可以帮助我们快速求解问题，并且减少计算的时间。
技巧四：多做练习在解决古典概型的问题时，我们需要多做练习，熟练掌握排列、组合和分配等方法的运用技巧。
只有通过多做练习，我们才能更加熟练地运用这些方法来解决古典概型的问题。
通过多做练习，我们还可以了解各种题型的解题思路，掌握不同类型题目的解题技巧，提高解题的效率。
技巧五：善于总结在解决古典概型的问题时，我们需要善于总结解题的方法和技巧。
通过总结，我们可以发现一些解题的规律，提高解题的效率。
我们可以总结解不相邻排列的方法和技巧，总结解相邻排列的特殊情况，总结解各种特殊条件下的排列组合和分配的技巧。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧1、排列组合问题古典概型中的排列组合问题是指从 n 个不同元素中取 r 个元素，考虑元素之间的排列或不考虑排列，求其组合数或排列数。
1.1 组合数设有 n 个不同元素，则从中取出 r 个元素的组合数为 C(n,r)。
其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)例如，从 5 个不同字母中取出 3 个，不考虑排列方式，其组合数为：C(5,3)=5!/(3!×2!)=101.2 排列数2、二项式定理二项式定理是代数中的重要定理，它可以将一个二项式的幂展开为多项式。
二项式定理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中，但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。
2.1 二项式定理的基本形式(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n其中，a、b 是任意实数，n 是任意非负整数，C(n,k) 为组合数。
二项式定理可以用于求和式，其中最常见的是求幂和式，例如：1+2+3+⋯+n=?分析该式，可将其改写为：再利用二项式定理，展开为多项式：(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2整理后得到：当从 n 个元素中取出 r 个元素，并排列时，元素可重复，其排列数为 n^r。
4^3=644、贝努利试验和二项分布贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验，其特点是只有两个可能的结果，例如正反面、违法合法等。
二项分布是指对 n 次独立的贝努利试验中，成功次数的统计分布。
4.1 贝努利试验在贝努利试验中，设试验只有两个可能的结果，其中一个记作成功，发生的概率为 p，另一个记作失败，发生的概率为 q=1-p。
则进行 n 次独立的贝努利试验，设成功的次数为 X，则 X 的可能取值为 0 到 n，其分布律为：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,⋯,n其中 P(X=k) 表示成功 k 次的概率，C(n,k) 表示从所有试验中取出 k 次成功的组合数。
归纳与技巧：古典概型(含解析)
归纳与技巧：古典概型基础知识归纳一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.基础题必做1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )33C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4． 将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：35解题方法归纳1.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．简单的古典概型典题导入[例1] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.2555[自主解答] 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑． 故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.解题方法归纳计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.复杂的古典概型典题导入[例2] 如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35. 法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.解题方法归纳求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425 B .215 C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1． 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2． 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3． 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112 B.118 C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5． 设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35 C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7． 从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158． 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159． 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11． 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12． 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1． 从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n 2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D ．1解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89.2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：5123． 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。
第52讲-古典概型(解析版)
第52讲古典概型一、考情分析1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.二、知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4.古典概型的概率公式P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[微点提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.三、经典例题考点一基本事件及古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为5 11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3 11，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.考点二简单的古典概型的概率【例2】 (1)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A.12 B.14 C.13 D.16(2)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.解析(1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p＝28＝14.(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p＝mn＝1236＝13.答案(1)B(2)1 3规律方法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率p.考点三古典概型的交汇问题多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇【例3－1】设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a －b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.18 B.14 C.13 D.12解析有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n ＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.答案 A角度2古典概型与解析几何的交汇【例3－2】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，即a≤b的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝712.答案7 12角度3古典概型与函数的交汇【例3－3】已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13 C.59 D.23解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，∴a>b，有序数对(a，b)所有结果为3×3＝9种，其中满足a>b有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p＝69＝23.答案 D角度4古典概型与统计的交汇【例3－4】 (2019·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C23＝3种，则至少有一名男生有C25－C23＝7种.故至少有一名男生的概率为p＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.规律方法求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.[方法技巧]1.古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.四、课时作业1．（2020·山东潍坊·月考）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（）A．38B．524C．34D．724【答案】D【解析】在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有124424C C=个，其中小于600的有1213327C C C-=个，∴所求概率为724P=．2．（2020·山东省实验中学高三月考）公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”．《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”．以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理．勾股数组是满足的正整数组．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（）A．110B．15C．160D．1120【答案】C【解析】在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有种组合方法，能组成勾股数组的情况有和()6,8,10，所以所求概率为2112060P==.3．（2020·宁夏高三其他（理））《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )A．B．827C．49D．14【答案】C【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p．4．（2020·江西月考（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( )A．710B．760C．D．【答案】B【解析】由题意知基本事件总数66720n A==，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A=种情况，故有42648⨯⨯=种②“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A=种情况，则有32636⨯⨯=种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684+=种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为84772060 P==.5．（2020·云南高三月考（理））袋中共有完全相同的4只小球、编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是奇数的概率为（）A．25B．35C．13D．23【答案】D【解析】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有，，，，，，共6种取法，则取出的2只球编号之和是奇数的有，，，，共4种取法，所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为，故选：D．6．（2020·辽宁丹东·高三期末（文））从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．25【答案】D【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=7．（2020·江苏高三月考）若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为（）A．14B．13C．12D．34【答案】D【解析】任选3名代表的所有基本事件为：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个，基本含有甲的事件有3个，∴所求概率为34P=．8．（2020·辽宁高三月考）《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.三十六计共分胜战计､敌战计､攻战计､混战计､并战计､败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为（）A．121B．114C．17D．142【答案】C【解析】解：由已知从这36个计策中任取2个计策总共有236C种，其中2个计策都来自同一套的有266C种，故所求概率262366C6651C36357 P⨯⨯===⨯.9．（2020·河南高三月考（理））2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为（）A．35B．310C．25D．23【答案】B【解析】给印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片分别编号，记作1，2，3，4，5，从中抽取三张，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个；则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内所包含的基本事件有：，，，共3个；因此所求的概率为310 P=.10．（2020·福建漳州·高三其他（文））由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播.本期最精彩的节目是π的飞花令：出题者依次给出π所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句.雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK，赛况激烈让人屏住呼吸，最终π的飞花令突破204位.某校某班级开元旦联欢会，同学们也举行了一场π的飞花令，为了增加趣味性，他们的规则如下：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为,x y，再取出π的小数点后第x位和第y位的数字，然后说出含有这两个数字的一个诗句，若能说出则可获得奖品.按照这个规则，取出的两个数字相同的概率为（）A．118B．16C．736D．29【答案】D【解析】取出π的小数点后第x位和第y位的数字，基本事件共有36个：取出的两个数字相同的基本事件共有8个：，其中括号内的第一个数表示第x 位的取值，第二个数表示第y 位的取值， 所以取出的两个数字相同的概率为82369P ==，故选：D.11．（2020·全国高三月考（文））从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，不能够围成三角形的概率为（ ） A ．310B ．710C ．15D ．25【答案】A【解析】依题意，从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，所包含的情况有，， ，，，，，，，，共10个基本事件；其中不能围成三角形的有，，，共3个基本事件； 故所求概率310P =. 12．（2020·全国高三月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ） A ．37B ．47C ．314D ．【答案】A【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种， 其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=，根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 13．（2020·江苏南通·月考）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A．18B．14C．38D．12【答案】C【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦，∴概率为3 8 .14．（2020·安徽高三月考（理））疫情期间部分中小学进行在线学习，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校（其中6所中学4所小学）随机选出3所进行调研，其中M中学与N 小学同时被选中的概率为（）A．15B．18C．115D．320【答案】C【解析】从10所学校（其中6所中学4所小学）随机选出3所，所包含的基本事件共个，其中M中学与N小学被选中包含个基本事件，故所求概率为8112015P==.15．（2020·四川巴中·高三零模（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得2p+是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A．115B．215C．15D．415【答案】C【解析】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则从不超过15的素数中任取两个素数共有种根据素数对称为孪生素数，则由不超过15的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),共有3组，能够组成孪生素数的概率为31155 P==16．（2020·四川巴中·高三零模（理））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得2p+是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A ．114B ．328C ．17D ．528【答案】C【解析】解：依题意，20以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5)，，(11,13)，(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个， 其中能构成孪生素数的概率为．17．（2020·全国高三其他（文））从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】B【解析】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为，，，，，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.18．（2020·全国高三其他（理））2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,A B C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）A ．112 B ．18 C ．16D ．14【答案】C【解析】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有,总的安排方式的种类有,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为1P 6m n ==. 19．（2020·湖南高三月考（文））设O 为邻边不相等的矩形ABCD 的对角线交点，在O ，A ，，C ，D 中任取3点，则取到的3点构成直角三角形的概率为（ ）A ．15B ．12C ．25D ．45【答案】C【解析】如图，从O ，A ，，C ，D ，这5个点中任取3个有{},,O A B ，，，，，，，{},,A B D ，{},,A C D ，共10种不同取法，取到的3点构成直角三角形：，{},,A B D ，{},,A C D ，共4种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点构成直角三角形的概率为，故选：C.20．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））小王到重庆游玩，计划用两天的时间打卡“朝天门”、“解放碑”、“洪崖洞”、“磁器口”、“南山一棵树”五个网红景点.若将这五个景点随机安排在两天时间里，第一天游览两个，第二天游览三个，则“朝天门”和“解放碑”恰好在同一天游览的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】五个网红景点分别记为,,,,A B C D E ，则两天的游览安排有，(),AC BDE ，，，(),BC ADE ，，，(),CD ABE ，(),CE ABD ，(),DE ABC ，共10种方法，其中“朝天门”和“解放碑”(即,A B )恰好在同一天游览的情况有4种， 故“朝天门”和“解放碑”恰好在同一天游览的概率为.21．（2020·河南洛阳·高三月考（文））我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为______. 【答案】25【解析】依次将大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖编号为1，2，3，4，5， 则从中任选两处的所有可能情况有，，，，，，，，，，共10种， 恰好选中青海湖的情况有，，，，共4种， 则由古典概型的概率公式得所求概率为.22．（2020·广西南宁三中高三其他（理））《西游记》､《三国演义》､《水浒传》､《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为________. 【答案】12【解析】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种， 所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为：3162P ==. 23．（2020·陕西高三零模（文））某胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，现需要这5名医生中任意抽取2名医生成立一个临时新型冠状病毒诊治小组抽取的2名医生恰好都是男医生的概率_____． 【答案】310【解析】记3名男医生分别为A 、、C ，2名女医生分别为d 、e ，从这5名医生中任意抽取2名医生的所有可能结果为：AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de ，共10种，其中抽取的2名医生恰好都是男医生的可能结果有AB 、AC 、BC ，共3种， 所以所求概率为310． 24．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________． 【答案】19【解析】甲观看了六部中的两部共有种， 乙观看了六部中的一部共有种， 则甲、乙两人观影共有15690⨯=种， 则甲、乙两人观看同一部动画片共有11252510C C ⋅=⨯=种，所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为，故答案为：1925．（2020·北京高三其他）2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）请根据以上信息，回答下列问题：（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为1x 和21s ，后三天治愈人数的平均数和方差分别为2x 和22s ，判断1x 与2x ，21s 与22s 的大小（直接写出结论）； （Ⅱ）从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；（Ⅲ）设集合，1)|i i x x +表示2月i 日的治愈人数，12i =，13，，17}，从集合M 中任取两个元素，设其中满足1i i x x +<的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【解析】解：（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为1x 和21s ， 后三天治愈人数的平均数和方差分别为2x 和22s ， 则12x x <，2212s s <．（Ⅱ）设事件A ：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多 于 200 例”．从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法， 其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求，所以从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率为：(P 21)63A ==． （Ⅲ）设集合，1)|i i x x +表示2月i 日的治愈人数，12i =，13，，17}，从集合M 中任取两个元素，设其中满足1i i x x +<的个数为X ，由题意可知X 的可能取值为 0，1，2，(P 222610)15C X C ===，(P 11242681)15C C X C ===， (P 242622)5C X C ===，的分布列为：数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．。
高中数学总结归纳 多角度认识古典概型
多角度认识古典概型古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生概率的求解，考试多以解答题为主，有少数选择题、填空题，难度为中低档题和较易题，对于该部分内容的计算，关键是分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m ，有时需用列举法把基本事件——列举出来，再利用公式()nm A P =求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．一、重要知识点讲解1.一个事件是否为古典概型,在于这个事件是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有事件都是古典概型.例如,在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本时间空间为{}不发芽发芽,,而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300mm ±0.6mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径为d ，测量值可能是从299.4mm 到300.6mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．2.()nm A P =是求古典概型的概率的基本公式． 求P(A)时，要首先判断是否是古典概型．若是，则应按以下步骤计算：(1)算出基本事件的总个数n ;(2)算出事件A 中包含的基本事件的个数m ;(3)算出事件A 的概率，即()nm A P =． 可见在运用公式计算时，关键在于求出n m ,．在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．例如，先后抛掷两枚均匀的硬币，共出现“正，正”，“正，反”，“反，正”，“反，反”这四种等可能的结果．如果认为只有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”这三种结果，那么显然这三种结果不是等可能的．在求m 时，可利用列举法或者结合图形采取列举的方法，数出事件A 发生的结果数．二、重点难点突破古典概型的重点及难点为古典概型的定义及概率公式的应用．因为古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，因此，必须分清事件是否为等可能性事件，以免与后面学习的其他事件及其概率混淆．求古典概型概率的计算公式为()nm A P =．根据这个公式计算概率时，关键在于求出n m ,，因此，首先要正确理解基本事件与事件A 的相互关系．特别要强调指出，一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果．三、易错点和易忽略点导析古典概型的易错点和易忽略点是对题意理解不清，搞错对象，以致于出错.例1、有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4个信封，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信封恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?错解：每封信投人1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A 信封投入l 号或2号信箱的概率为214141=+. 错解分析：应该考虑A 信封投入各个信箱的概率，而错解考虑成了四封信投入某一倌箱的概率．正确解法：由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信封投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为32. 四、常见题型展示与解析1.例举法求概率例2、箱中有3个正品，2个次品，从箱中随机连续抽取三次，每次只抽取一个，在以下两种抽样方式下3次抽取的均为正品的概率各为多少?(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．解，(1)若不放回抽样三次可看作有顺序地抽取，则从5个产品中不放回抽样三次共60个基本事件，从3个正品中不放回抽样三次包含6个基本事件，所以可以取出3个正品的概率为101606==p . (2)从5个产品中有放回地抽取三次，每次都有5种方法，所以共有125种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有27种，所以3个全是正品的概率是12527=P ． 点拨：基本事件的个数可通过列举法获得．2.“排数”型概率问题例3、某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率;(2)头两位数字都不超过8的概率。
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古典概型解题的归纳和分析（西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070）摘 要：本文通过对古典概型的模型归纳使得在计算古典概率时更加便捷和准确.关键词：古典概型；模型；概率古典概型的研究在历史上最先开始，它简单﹑直观，不需做大量的重复试验，在经验事实的基础上，经过逻辑分析得出事件的概率.因此，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，古典概型解题的很好掌握不仅可以为其它的概率的学习奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的许多基本概念，古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际中有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率的模型. 一、古典概型的基本性质1.等可能性,即每个样本点发生的可能性相等.如抛一枚理想的均匀硬币“出现正面”与“出现反面”的可能性相等.2.所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如样本点为n 个.3.若事件A 含有K 个样本点，则事件A 的概率为 )(A P =中所有样本点个数所含样本点的个数事件ΩA =nk .二、古典概型模型归纳 1.抽样模型抽样有两种方式：放回抽样与不放回抽样 (1)放回抽样放回抽样是抽取一件后放回，然后再抽取下一件，……，如此重复直至抽出n 件为止.例1 一批产品共有N 件，其中M 件事是不合格品，M N -件是合格的，从中随机抽取n 件，试求事件m B =“取出的n 件产品中有M 件不合格品”的概率.解 第一次抽取时，可从N 件中任取一件，有N 种取法.因为是放回抽样 ，所以第二次抽取时，仍有N 种取法，……，如此下去，每次都有N 种取法，一共抽取了n 次，所以共有n N 个等可能的样本点.事件o B =“取出的n 件产品全是合格品”，故o B 的概率为：P（o B ）=nnNM N )(-=nNM )1(-.事件1B =“取出的n 件产品全是合格品”，故1B 的概率为：P（1B ）=nn NM N nM 1)(--= 1)1(--n NM NM n.事件m B =“取出的n 件产品全是合格品”，故m B 的概率为：)(m B P = nmn mNM N M m n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(= mn mN M N M m n --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)1(，n m ,2,1,0 =. 由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占比例M /N 是不变的，记p =M /N ,则上式可改写为：)(m B P = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛m n m n m p p --)1(，n m ,2,1,0 =.例2 有一袋内装有编号为1—5的5个球，从袋内放回按顺序任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？解 设A=“3个球编号组成奇数”，基本事件总数为35，A 所含基本事件总数为25×3.故)(A P =32535⨯= 53=0.6例 3（随机取数问题）从0～9中任取一数，假定每个数字被取出的机会是均等的，每次取出一数，取后放回，连续取4次.求：（ⅰ）4个数字全相同的概率. （ii ）不含数字2和7的概率. （iii ）数字6恰好出现2次的概率.解 设A ={4个数字全不相同}，B ={不含数字2和7}，C={数字6恰好出现2次}， 基本事件总数n=410=10000 ；事件A 所包含的基本事件数A m =410P =5042;事件B 所包含的基本事件数B m = 48=4096;事件C 所包含的基本事件数C m = 1924P C =54 故)(A P =nm A =100005042=0.50; )(B P =nm B =100004096=0.41;)(C P =nm C =1000054=0.005.(2)不放回抽样不放回抽样是抽取一件后不放回.例1一批产品共有N 件，其中M 件事是不合格品，N -M 件是合格的，从中随机抽取n 件，试求事件m A =“取出的n 件产品中有M 件不合格品”的概率.解 先计算样本空间Ω中样本点的总数：从N 件产品中任取n ,因为不讲次序，所以样本点的总数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N .又因为是随机抽取的，所以这⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N个样本点是等可能的.因为事件o A =“取出的n 件产品中有0件不合格”，故o A 的概率为：P （o A ）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n N n MN .事件1A =“取出的n 件产品中有1件不合格”，故1A 的概率为：P（1A ）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N n M N M11.以此推出：P （m A ）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N m n M N m M ，r m ,2,1,0 =，},min{M n r =.2.盒子模型例1设有n 个球，每个球都等可能地被放到N 个不同盒子中的任意一个，每个盒子所放球数不限.试求：（1） 指定的n (≤N )个盒子中各有一球的概率1p ; （2） 恰好有n (≤N )个盒子中各有一球的概率2p ;解 因为每个球都可能放到N 个盒子中的任何一个，所以n 个球放的方式共有n N 种，它们是等可能的.（1） 根据乘法原则，于是其概率1p =nNn !（2） 与（1）的差别在于：此n 个盒子可以在N N 个盒子中任意选取，故，2p =nnN Np =)!(!n N N N n-.例2（生日问题）a 个人的生日全不相同的概率n p 是多少？解 把n 个人看成是n 个球，将一年365天看成是N =365个盒子，则“n 个人的生日全不相同”就相当于“恰好有n 个盒子各有一个球，”所以n 个人的生日全不相同的概率为n p =)!365(365!365n n-=)36511()36521)(36511(----n .由于计算是很繁琐的，故可作近似计算： 当n 较小时, n p ≈1-365)1(21-+++n =1-730)1(-n n .当n 较大时, n p ≈-365)1(21-+++n =-730)1(-n n .我们可以将盒子模型应用到很多实际问题中，如，将球解释为“粒子”、 将盒子解释为相空间中的小“区域”，则这个问题便是统计物力学中的麦克斯威-玻尔兹曼（Maxwell-Boltzmann ）统计.若n 个“粒子”是不可辨的，便是玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein ）统计.若n 个“粒子”是不可辨的，且每个“盒子”最多只能放一个“粒子”，这时就是费米-狄拉克（Fermi-Dirac ）统计.这三种统计在物理学中有各自的适用范围.三、古典概型问题解题的分析古典概型是概率论发展的基础和入门知识，虽然通过上面古典概型概念性质和古典概型模型的掌握对其有了初步的认识，但是，在涉及实际问题中，它往往是复杂的，常常在解题过程中难以寻找到确切的解题套路和方式.因此，以下将探讨一类问题的解题规律和解题思路，建立一套比较完善的古典概型问题解决思路和技巧的系统.1.分析题干，套用上面列出的常用模型来处理例（彩票问题）一种福利彩票称为幸运35选7，采用复选式玩法，即从35个数字号码中选择7个号码进行投注，开奖时从01,02，……，35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码.中各个等级奖的规则是： 一等奖 7个基本号码全中二等奖 中6个基本号码及特殊号码 三等奖 中6个基本号码四等奖 中5个基本号码及特殊号码 五等奖 中5个基本号码六等奖 中4个基本号码及特殊号码七等奖 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码试求中奖概率.解 由题分析，中奖概率等价于中各个等级奖概率之和，若记A 为事件“中奖”，记i p 为事件“中第i 等奖”的概率，又因为不重复地选号码是一种不放回抽样，符合古典概率模型中的不放回抽样模型.所以直接套用模型得出:1p =610149.0672452017350270177-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛..1004.167245207735027116762-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p.10106.286724520189735127016763-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p.10318.846724520567735127115764-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p.10096.167245207371735227015735-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p.10827.1672452012285735227114736-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p.10448.3067245202047507353271137327014737-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p于是，)(A P =∑=71i i p =6724520225170=0.033 485 ， 这说明有一万个人买彩票中奖的只有100个，而中一等奖的概率只有610149.0-⨯，即相当于全中国的人都去买彩票，而中一等奖的只有约42个人，可见购买彩票要有平常心，期望值不宜过高，以免竹篮打水一场空.2.化归思想即将较为复杂的随机事件分解成为若干个不相容的简单时间的总和.从而把复杂问题转化为了简单事件发生的概率，通过概率的可加性的性质，得出最终的答案.例：甲乙两人同时参加射击比赛，每一回射击胜利者得1分，甲在每次射击击中的概率为a ,乙在每次射击击中的概率为b , 两人在每一回射击的概率总和100%.射击比赛直到一方比另一方分数多2分才结束，求射击者甲获胜的概率？解 利用化归思想，设B =“射击者甲获胜”， 1B =“第一回以及第二回的射击比赛中甲都获胜”， 2B =“第一回以及第二回的射击比赛中乙都获胜”， 3B =“第一回以及第二回两位选手各获胜一回”. 由此，)(1B p =2a ，)(2B p =2b ，)(3B p =ab 2 .若1B 成立，则甲胜，)(1B B p =1；若2B 成立，则乙胜，)(2B B p =1；若3B 成立，则第三回合的比赛与比赛刚开始的请形相同.从而得出P(3B B )=P(B). 由全概率公式;)(B p = )()(11B B p B p +)()(22B B p B p +)()(33B B p B p =)(22B abp a +，则)(B p =aba212-.利用全概率公式实现了化整为零的解题方式，将复杂的概率问题分解为简单的概率问题.3.对称性有时用对称性解决古典概型问题时会起到事半功倍的效果.例 一个人把6根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把6个头两两相连，6个尾也两两相连，求放开手后6根草恰巧连成一个环的概率.解 因为“6个尾也两两相连”不会影响是否成环，所以我们只研究“6个头两两相连”的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则样本空间的基本事件总数为6！种可能的接法.利用对称性，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步，从剩下的没有相接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任意一个相接；最后从余下的2个头中任取一个，这总共有6⨯4⨯4⨯2⨯2⨯1种可能的解法，所以所求概率：P=!6122446⨯⨯⨯⨯⨯=158.其实，本题还有很多解法，但是利用对称性我们就较为轻松简单的解决了这道题.总而言之，古典概型的问题基本可通过对问题性质以及古典概型模型两方面进行分析，根据题干发现问题到底应该从哪个角度入手解题才最方便简捷，从而得出答案.参考文献：[1] 汪仁官.概率论引论[M] 北京大学出版社，2001. [2] 程士宏.高等概率论 [M] 北京大学出版社，2001.[3] 茆诗松.程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 高等教育出版社，2011.2.。