论三角函数与双曲函数
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������
双曲函数 ������������������������ ������ − ������������������������������ ������ = ������
������
总结: 可以看出:只是一个正负号的区别。 §1.5:加法公式 三角函数 双曲函数 sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y) tan(x+y)= ������−������������������ ������ ������������������(������) 总结: 可以看出:加法公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.6:减法公式 三角函数 双曲函数 sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y) sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y) cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y) tan(x-y)= ������+������������������ ������ ������������������(������) 总结: 可以看出:减法公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.7:二倍角公式 三角函数 sin(2x)=2sin(x)cos(x) cos(2x)= ������������������������ ������ − ������������������������ ������ tan(2x)= 总结: 可以看出:二倍角公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.8:三倍角公式 三角函数 双曲函数
正切:tanθ = sinθ / cosθ 余切:cotθ = cosθ/ sinθ 2)、双曲函数定义: 双曲正弦:sinh a = 双曲余弦:cosh a =
������a −������−a ������ ������a +������−a ������
双曲正切:tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切:coth a = cosh a/sinh a 3)、总结: 从公式定义也可以看出,三角函数与双曲函数具有很好的相似性,只是一些小细节稍微 不同,大体上是相同的 §1.2:反函数: 1、反三角函数: 反三角函数 arcsin x = y arccos x = y arctan x = y arccot x = y 2、反双曲函数: 反双曲函数 arcsinh x =ln(x+ ������ ������ + ������) 定义 sinh y = x 定义域 R
1
从定义可以看出它们具有很好的相似性,就像两个双胞胎来自同一个地方。区别仅在于: 三角函数是用单位圆定义的,自变量是角度 θ ;双曲函数是用单位双曲线定义的,自变量 是面积 a。 2、公式定义: 1)、三角函数定义: 正弦:sin θ = 余弦:cos θ =
������i ������ −������−i ������ ������������ ������i ������ +������−i ������ ������
������ ������+������ ������ ������+������
cosh y = x tanh y = x coth y = x
[1,+∞] [-1,1] [-∞,-1]∪[1,+∞]
反三角函数与反双曲函数的定义都来自反函数的定义,因而这是共性。 §1.3:图像 三角函数 双曲函数
源自文库
sin x
sinh x
cos x
cosh x
tan x
tanh x
3
cot x
coth x
arcsin x
arcsinh x
arccos x
arccosh x
arctan x
arctanh x
arcco t x
atccot h x
总结:
4
可以看出:一般三角函数是周期的,而双曲函数没有周期性。三角函数与双曲函数的奇 偶性大体相同,如正弦、余弦、正切、余切与双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的 奇偶性是一样的。 §1.4:恒等式 三角函数 ������������������ ������ + ������������������ ������ ������ = ������
论三角函数与双曲函数
信院 23 系 解鑫 PB11203155 摘要:三角函数与双曲函数无论从形式上,还是各种公式上都有极大的相似性。应用时也都 相伴出现。细细对比会发现,由欧拉公式必然会得出三角函数与双曲函数的诸多对应 关系。 关键字:三角函数、双曲函数、相似性、欧拉公式 正文: §1 三角函数、双曲函数的对比 §1.1 定义: 1、几何定义: 1)、三角函数的定义: 三角函数可以依据直角坐标单位圆来定义, 给定一个角度 θ ,与单位圆交于(x,y)点,如 右图所示。则有: 正弦:sin θ = y 余弦:cos θ = x 正切:tanθ = sinθ / cosθ 余切:cotθ = cosθ/ sinθ 2)、双曲函数的定义: 双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义,给 定一条从原点发出的射线 p,与 p 关于 x 轴的镜像和 双曲线之间的面积 a,射线 p 与双曲线交于(x,y)点, 如右图所示。则有: 双曲正弦:sinh a = y 双曲余弦:cosh a = x 双曲正切:tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切:coth a = cosh a/sinh a 3)、总结
2
定义 sin y = x cos y = x tan y = x cot y = x
定义域 [-1,1] [-1,1] R R
arccosh x =ln(x+ ������ ������ − ������) arctanh x = ������ln(������−������) arccoth x = ������ln(������−������) 3、总结:
双曲函数 ������������������������ ������ − ������������������������������ ������ = ������
������
总结: 可以看出:只是一个正负号的区别。 §1.5:加法公式 三角函数 双曲函数 sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y) cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y) tan(x+y)= ������−������������������ ������ ������������������(������) 总结: 可以看出:加法公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.6:减法公式 三角函数 双曲函数 sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y) sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y) cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y) tan(x-y)= ������+������������������ ������ ������������������(������) 总结: 可以看出:减法公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.7:二倍角公式 三角函数 sin(2x)=2sin(x)cos(x) cos(2x)= ������������������������ ������ − ������������������������ ������ tan(2x)= 总结: 可以看出:二倍角公式具有很好的相似性,仅个别正负号不同。 §1.8:三倍角公式 三角函数 双曲函数
正切:tanθ = sinθ / cosθ 余切:cotθ = cosθ/ sinθ 2)、双曲函数定义: 双曲正弦:sinh a = 双曲余弦:cosh a =
������a −������−a ������ ������a +������−a ������
双曲正切:tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切:coth a = cosh a/sinh a 3)、总结: 从公式定义也可以看出,三角函数与双曲函数具有很好的相似性,只是一些小细节稍微 不同,大体上是相同的 §1.2:反函数: 1、反三角函数: 反三角函数 arcsin x = y arccos x = y arctan x = y arccot x = y 2、反双曲函数: 反双曲函数 arcsinh x =ln(x+ ������ ������ + ������) 定义 sinh y = x 定义域 R
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从定义可以看出它们具有很好的相似性,就像两个双胞胎来自同一个地方。区别仅在于: 三角函数是用单位圆定义的,自变量是角度 θ ;双曲函数是用单位双曲线定义的,自变量 是面积 a。 2、公式定义: 1)、三角函数定义: 正弦:sin θ = 余弦:cos θ =
������i ������ −������−i ������ ������������ ������i ������ +������−i ������ ������
������ ������+������ ������ ������+������
cosh y = x tanh y = x coth y = x
[1,+∞] [-1,1] [-∞,-1]∪[1,+∞]
反三角函数与反双曲函数的定义都来自反函数的定义,因而这是共性。 §1.3:图像 三角函数 双曲函数
源自文库
sin x
sinh x
cos x
cosh x
tan x
tanh x
3
cot x
coth x
arcsin x
arcsinh x
arccos x
arccosh x
arctan x
arctanh x
arcco t x
atccot h x
总结:
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可以看出:一般三角函数是周期的,而双曲函数没有周期性。三角函数与双曲函数的奇 偶性大体相同,如正弦、余弦、正切、余切与双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的 奇偶性是一样的。 §1.4:恒等式 三角函数 ������������������ ������ + ������������������ ������ ������ = ������
论三角函数与双曲函数
信院 23 系 解鑫 PB11203155 摘要:三角函数与双曲函数无论从形式上,还是各种公式上都有极大的相似性。应用时也都 相伴出现。细细对比会发现,由欧拉公式必然会得出三角函数与双曲函数的诸多对应 关系。 关键字:三角函数、双曲函数、相似性、欧拉公式 正文: §1 三角函数、双曲函数的对比 §1.1 定义: 1、几何定义: 1)、三角函数的定义: 三角函数可以依据直角坐标单位圆来定义, 给定一个角度 θ ,与单位圆交于(x,y)点,如 右图所示。则有: 正弦:sin θ = y 余弦:cos θ = x 正切:tanθ = sinθ / cosθ 余切:cotθ = cosθ/ sinθ 2)、双曲函数的定义: 双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义,给 定一条从原点发出的射线 p,与 p 关于 x 轴的镜像和 双曲线之间的面积 a,射线 p 与双曲线交于(x,y)点, 如右图所示。则有: 双曲正弦:sinh a = y 双曲余弦:cosh a = x 双曲正切:tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切:coth a = cosh a/sinh a 3)、总结
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定义 sin y = x cos y = x tan y = x cot y = x
定义域 [-1,1] [-1,1] R R
arccosh x =ln(x+ ������ ������ − ������) arctanh x = ������ln(������−������) arccoth x = ������ln(������−������) 3、总结: