(人教版)第二十一章一元二次方程(知识点汇总归类总结题型汇总)

（人教版）第二十一章 一元二次方程
（知识点汇总+归类总结+题型汇总）
：
一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是 ， 主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；
(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；
(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．
四、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，
x 1x 2＝__________.
注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅
（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 2121212()4x x x x x x -=+-⋅
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．
一元二次方程的定义：
1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x 2＋1x
2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A.02=++c bx ax
B.x x ax -=+221
C.0)1()1(222=--+x a x a
D.03
12=-+=a x x 3.关于x 的一元二次方程（a 2—1）x 2
+x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）
A. a ≠1
B. a ≠—1
C. a ≠±1
D.为任意实数
4.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，
二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

5.关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；
当m 时为一元二次方程。

6.关于x 的方程0232=+-m x x 的一个根为-1，则方程的另一个根为______，=m ______。

7.已知m 是方程2250x x --=的一个根，则2
2m m -=______________。

8.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）
A. 1
B.1-
C.1或1-
D.0 解一元二次方程：
1.选用合适的方法解下列方程
)4(5)4(2+=+x x x x 4)1(2=+ 2
2)21()3(x x -=+ 11212
2=+-+x x x x ． 31022=-x x 32x ＝2x ； x （3x －1）＝3－x ； 4（x －2）2－（3x －1）2
＝0； （2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； 32x 32--x ＝0．； x （2x+3）=4x+6
2.配方法解方程x 2—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A ．2(2)2x -=
B ．2(2)2x +=
C ．2(2)2x -=-
D ．2(2)6x -= 3.解方程（5x —1）2=3（5x —1）的适当方法是（ ）
A ．开平方法
B ．配方法
C ．公式法
D ．因式分解法 4.等腰三角形的底和腰分别是方程2680x x -+=的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ． 不能确定 5.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）
A. 1，0
B.-1，0
C.1，-1
D.无法确定
6.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5
7. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )
A.2(2)2x -=
B.2(2)2x +=
C.2(2)2x -=-
D.2(2)6x -=
8. x 2+3x+ =（x+ ）2 ；x 2— +2=（x ）
2 ()22_____________2
3-=+-x x x 9.若8)2)((=+++b a b a ，则b a +=
10.当=n _________时，方程n nx x +=-72的一个根是2 11. 代数式522
+-x x 的最小值是__________
12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________
13.如果x 2－2(m +1)x + m 2+ 5=0是一个完全平方公式，则m .
14.当m 为 时，关于x 的方程(x －p )2+m =0有实数解. 根与系数的关系：
注意：从而确定系数的值或取值范围．
1. 关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是( )
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
2．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜2
B ．a ＞2
C ．a ＜2且a ≠1
D ．a ＜－2
3.关于x 的一元二次方程x 2
＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )
A ．0
B ．8
C ．4± 2
D ．0或8
4.已知三角形的两边长是方程x 2—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L 的取值范围是（ ）
A. 1＜L ＜5
B. 2＜L ＜6
C. 5＜L ＜9
D. 6＜L ＜10
切记：不要忽略a
5.方程x 2
—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（ ）
A. 12
B. 12或 15
C. 15
D. 不能确定
6.若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )
A ．4
B ．3
C ．－4
D ．－3
7.若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ） A. 1- B. 1 C.21-
D.2
1 8.设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ） A. —4 B. —3 C. 1 D. 2
9.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.
(1)求k 的取值范围；
(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．
10.已知方程
(1)求证方程必有相异实根。

（2）取何值时，方程有两个正根。

（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）取何值时，方程有一根为零？
11.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222
()0b x b c a x c ++-+=没有实数根. 一元二次方程解决实际问题：
【增长率（降低率）】 总结：增长率问题：起始值a ，终止值b ，变化率x 上升a （1+x ）2=b a （1+x ）n =b
下降a （1—x ）2=b a （1—x ）n =b
1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a 元，则该商品的原价为 元。

2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为___________
3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（ ）
A 、0.24%；
B 、0.24；
C 、0.72；
D 、0.82。

4.县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A ．2)1(x a +
B ．2%)1(x a +
C ．2%)1(x +
D ．2
%)(x a a +
5.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A ．2002(1%)a +=148
B ．2002(1%)a -=148
C ．200(12%)a -=148
D ．2002(1%)a -=148
6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8 7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
8.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少? 【数字问题】
【规律】两位数=十位数上的数字×10+个位数字；
三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字。

（一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数。

）
1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置之后，得到新的两位数比原来两个数字的积还大38，求这个两位数。

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；
②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；
③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。

1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。

市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？
3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？
【面积问题】
1.学校课外生物小组的试验园地是长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。

（精确到0.1米）。