1-4 有限维空间
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有限维 B*空间 有限维 Banach 空间
线性同构、拓扑同胚于 Kn 单位球面 S1={x X：||x||=1} (自)列紧 反过来
定理：设 X 为 B*空间，则
dim X< 单位球面列紧
证明：只需要证明若单位球面 S1 列紧，则 X
是有限维空间。 反过来说，若 dim X= ，我们证明 S1 非列紧。 即存在 X 中点列 {xn：n N} 不存在 Cauchy 子 列。即存在常数 (不妨取 1)>0，s.t.
同前面的证明方法，进行单位化，
令 y=(y0-x0)/||y0-x0||，则 ||y||=1，且
y x 1 y0 1 y0 x0 inf y0 x x0 ( y0 x0 ) x x0 x )
y0 ( x 0 + y0 x ) =1-
x X0 x X0
( inf y0
解出
பைடு நூலகம்
即可。
证明：注意前面对于有限维的情形，找到的元
为最佳逼近元。取 y0 X0，存在 x0 X0，s.t. ||y0-x0|| = min{||y0-x||：x X0} 此处未必是有限维子空间，只能是下确界，并 且只能是次佳逼近，即
||y0-x0||
inf{||y0-x||：x X0} +
其中， >0 充分小，由 确定。 同时由于 X0 为闭集， inf{||y0-x||：x X0}>0。
( x2，M 1 ) min{ x2 min{ 1 y x ax1 : a (y K} x ) ax1 : a K}
(将M 1中的元放一起) 1 y 1 y x x min{ y ( x a y ( y，M 1 ) 1 x x1 ) : a K}
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
由此构造出点列的第二个元，保证在 S1 中。 由于 dim M1=1，可知存在 x M1，使得 ||y-x|| = (y，M1) = min{||y-ax1||：a K} 令 x2=(y-x)/||y-x||，则 x2 S1，且 (x2，M1)=1
取 M2=span{x1，x2}，将 M2 从 X 中剔除。
dim X< 任意有界集列紧。
定义：设 X 为 B*空间，称 A X 有界，若存在 C>0，使得 ||x|| C。 Riesz 引理：设 X0 为 B*空间 X 的真闭子空间，
则对
0< <1， y X，s.t. ||y||=1，并且
||y-x|| 1- ， ( x X 0)
若 X0 为有限维子空间，则可取 =0。
类似地，可取得 x3 S1，使得 (x3，M2)=1， ……
于是，得到 S1 中的点列 {x1，x2，x3，……}，
满足 || xm-xn || 1， 这显然不含有Cauchy子列。 由此可知，S1 不是列紧集。 m n
因此，若 S1 列紧，则 X 是有限维空间。
充分运用有限、无限之间的关系。
推论：设 X 为 B*空间，则
|| xm-xn ||> ，
m n
取 x1 S1，M1=span{x1}。从空间 X 中将 M1 这 一部分剔除。
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
由此构造出点列的第二个元，保证在 S1 中。 由于 dim M1=1，可知存在 x M1，使得 ||y-x|| = (y，M1) = min{||y-ax1||：a K} 令 x2=(y-x)/||y-x||，则 x2 S1，且 (x2，M1)=1
有限维 B*空间 有限维 Banach 空间
线性同构、拓扑同胚于 Kn 单位球面 S1={x X：||x||=1} (自)列紧 反过来
定理：设 X 为 B*空间，则
dim X< 单位球面列紧
证明：只需要证明若单位球面 S1 列紧，则 X
是有限维空间。 反过来说，若 dim X= ，我们证明 S1 非列紧。 即存在 X 中点列 {xn：n N} 不存在 Cauchy 子 列。即存在常数 (不妨取 1)>0，s.t.
同前面的证明方法，进行单位化，
令 y=(y0-x0)/||y0-x0||，则 ||y||=1，且
y x 1 y0 1 y0 x0 inf y0 x x0 ( y0 x0 ) x x0 x )
y0 ( x 0 + y0 x ) =1-
x X0 x X0
( inf y0
解出
பைடு நூலகம்
即可。
证明：注意前面对于有限维的情形，找到的元
为最佳逼近元。取 y0 X0，存在 x0 X0，s.t. ||y0-x0|| = min{||y0-x||：x X0} 此处未必是有限维子空间，只能是下确界，并 且只能是次佳逼近，即
||y0-x0||
inf{||y0-x||：x X0} +
其中， >0 充分小，由 确定。 同时由于 X0 为闭集， inf{||y0-x||：x X0}>0。
( x2，M 1 ) min{ x2 min{ 1 y x ax1 : a (y K} x ) ax1 : a K}
(将M 1中的元放一起) 1 y 1 y x x min{ y ( x a y ( y，M 1 ) 1 x x1 ) : a K}
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
由此构造出点列的第二个元，保证在 S1 中。 由于 dim M1=1，可知存在 x M1，使得 ||y-x|| = (y，M1) = min{||y-ax1||：a K} 令 x2=(y-x)/||y-x||，则 x2 S1，且 (x2，M1)=1
取 M2=span{x1，x2}，将 M2 从 X 中剔除。
dim X< 任意有界集列紧。
定义：设 X 为 B*空间，称 A X 有界，若存在 C>0，使得 ||x|| C。 Riesz 引理：设 X0 为 B*空间 X 的真闭子空间，
则对
0< <1， y X，s.t. ||y||=1，并且
||y-x|| 1- ， ( x X 0)
若 X0 为有限维子空间，则可取 =0。
类似地，可取得 x3 S1，使得 (x3，M2)=1， ……
于是，得到 S1 中的点列 {x1，x2，x3，……}，
满足 || xm-xn || 1， 这显然不含有Cauchy子列。 由此可知，S1 不是列紧集。 m n
因此，若 S1 列紧，则 X 是有限维空间。
充分运用有限、无限之间的关系。
推论：设 X 为 B*空间，则
|| xm-xn ||> ，
m n
取 x1 S1，M1=span{x1}。从空间 X 中将 M1 这 一部分剔除。
由 dim X=
可知 M1 X。于是， y X\M1。
由此构造出点列的第二个元，保证在 S1 中。 由于 dim M1=1，可知存在 x M1，使得 ||y-x|| = (y，M1) = min{||y-ax1||：a K} 令 x2=(y-x)/||y-x||，则 x2 S1，且 (x2，M1)=1