复变函数-复数及其运算(2)

z1 r1ei1 ,
z2 r2ei2 ,
则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) .
n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2, , n)
z1 z 2 z n r1 r2 rn[cos(1 2 n )
i sin(1 2 n )] r1 r2 rn e i ( 1 2 n ) .
z2
3 6
3 6 2 2
33
使用复数的语言，任何平面几何 问题都能以清晰的面貌重新呈现。
uur 证明：oz1
uuur oz2
uur uuur
oz1与oz2的夹角为
z1
z1
i
e2
z1
2
z1
i
z2 z2
z2
z2
两边平方得 z1 z2 +z1z2 =0
34
uuuv
uuuv
例 试证：向量Oz1 = x1 + iy1与Oz2 = x2 + iy2互相垂直的
注意 2 当 z 0时, 辐角不确定. 辐角主值的定义
在 z ( 0)的辐角中, 把满足 π 0 π的0 称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
Argz arg z 2k k 0, 1, 2,
已知复数z x iy, 如何确定辐角？
20
例如 确定下列复数的幅角主值
21
z 0 辐角的主值
arctan π,
y x
,
arg
z
2 arctan
y x
+
π,
x 0,
x = 0, y > 0,
x < 0, y 0,
arctan
y x
-
π,
π 2
,
x < 0, y < 0,
x = 0, y < 0.
(其中 arctan y )
2
x2
例2 求下列复数的幅角
arctan
2 12
π
arctan
3
3
5,
6
故
z
4cos
5
6
i sin
5
6
5i
4e 6 .
25
(2) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin 5
cos
2
5
cos
3
10
,
cos
5
sin
2
5
sin
3
10
,
故
z cos 3 i sin 3
3 i
e10 .
(4) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
(5) z z;
(6) z z Re(z)2 Im(z)2 | z |2;
z1 z1 ; z2 z2
恒为正整数或0,它的非负平方根称为z的模或绝对值
11
例 1 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
z1 x1 iy1
17
共轭复数的几何性质
y
一对共轭复数z 和 z 在
复平面内的位置是关于 o
实轴对称的.
z x iy
x
z x iy
y
z2
z2
o
z1 z2 z1
z1
x
18
和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
y
z1 - z2 z1 z2 .(1)
4
i sin n
4
n2
22
cos
n
.
4
32
例 求 z1 解
因 已z2为知和zzz1z121.co12s(13
3i ), i
z2 sin 3
sin
3
,
i
cos 3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
i,
z1 cos i sin 3 1 i.
z1 z2 z2 z2
全体复数并引进上述运算后就称为复数域，
常用C表示。 推导运算（3）
10
复数运算的性质
(1) z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1; (2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 (3) z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
2
历史背景
16 17
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数(笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈)
•17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，逐步阐明复数的几何、物理意义。（达朗贝尔，欧拉）
流体力学
u(x, y) + iv(x, y)
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
31
例 化简 (1 i)n (1 i)n.
解
1i
2 2 2 i
2 2
2
cos
4
i
sin
4
1i
2 2 2 i 2 2
2cos
4
i
sin
4
(1 i)n (1 i)n
(
2)n
cos
4
isin
4
n
(
2
)n
cos
4
i
sin
4
n
(
2)n
cos
n
4
i sin n
4
cos n
23
（4） 复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i;
(2) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4, 因 z 在第三象限,
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
（2）两个复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 )
特别 zz x2 y2
（3）两个复数的商
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
z1 z2 z1 z2 ;
z2
z2
z1 z2 z1
z1
o
x
19
复数辐角的定义 当 z 0时，则把正实轴与向量OP 的夹角称为
z 的辐角(arg ument ), 记作 Argz . 注意 1 任 何 一 个 复 数 z 0有 无 穷 多 个 辐 角, 如果 1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数)
“复变函数论”是研究自变量为复数的函数的基 本理论及应用的数学分支.
世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独 特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩 展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了 19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也 曾作为抽象科学中最和谐的理论。
1
莱布尼茨曾说：“虚数是神灵遁迹的精微而 奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的 两栖物。”
复数的幂的计算--三角形式\指数形式
13
二、 复数的表示方法
（1）定义表示形式 用 x iy 表示复数 z, 即 z x iy.
给定复数 z = x + iy ，则确定了实部x和虚 部y；反过来，给定实部x和虚部y,则完全确定 了复数z,这样，复数z与一对有序实数（x, y) 构成了一一对应关系。
其中 x, y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i, 我们把它看作实数 x. 复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部
分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i， z2 x2 y2i
几何意义如图所示：
28
同样，当 z2 0时,
z1 z2
z1z2 z2z2
1 z2 2
z1
z2 (cos(1 2 ) i sin(1 2 ))
z1 z2
(cos(1 2 ) i sin(1 2 ))
于是
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2 .
29
设复数z1和z2的指数形式分别为
充要条件是z1 z2 +z1z2 =0
uur 证明：oz1
uuur oz2
uur uuur oz1与oz2的夹角为
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的点集 §1-3 复变函数及其极限和连续 §1-4 复球面与无穷远点
6
§1-1 复数及其运算
主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定 义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用
1
定义：形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数.
30
n 次幂
n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂, 记作 zn.
zn z z z .
n个
对任一正整数 n, 有 : zn rn(cosn i sin n ).