第2课时位似变换的坐标变化规律

第2课时 位似变换的坐标变化规律

关键问答

①在平面直角坐标系中，以原点为位似中心位似的两个图形，对应点的坐标有什么关系？

1．如图4－8－12，平面直角坐标系中有一条“鱼”，它有六个顶点，则( )

图4－8－12

A ．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似

B ．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似

C ．将各点横、纵坐标都乘2，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似

D ．将各点横坐标乘2，纵坐标乘12

，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 2．①

如图4－8－13，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则点P ′的坐标为( )

图4－8－13

A ．(－x ，－y )

B ．(－2x ，－2y )

C ．(－2x ，2y )

D ．(2x ，－2y )

3.2019·阿坝州 如图4－8－14，在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，D (3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝________．

图4－8－14

命题点 1 求位似图形的顶点坐标 [热度：85%]

4．②如图4－8－15，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O

为位似中心的位似图形，且相似比为13

，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为( )

图4－8－15

A ．(3，2)

B ．(3，1)

C ．(2，2)

D ．(4，2)

易错警示

③相似比为13，这个三角形的位置有几种情况？

5．③

2019·河北模拟 如图4－8－16，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，

－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13

，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) 图4－8－16

A ．(－1，2)

B ．(－9，18)

C ．(－9，18)或(9，－18)

D ．(－1，2)或(1，－2)

6.如图4－8－17，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长扩大为原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )

图4－8－17

A ．－12a

B ．－12(a ＋1)

C ．－12(a －1)

D ．－12

(a ＋3) 命题点 2 求位似中心的坐标 [热度：80%]

7. ④如图4－8－18，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，若点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是( )

图4－8－18

A ．(1，0)

B ．(－5，－1)

C ．(1，0)或(－5，－2)

D ．(1，0)或(－5，－1)

易错警示

④位似图形对应点的连线一定经过位似中心．注意本题应分两种情况讨论．

8．⑤在平面直角坐标系中，点A ，B ，E ，D ，F 的坐标分别是A (4，3)，B (4，0)，E (5，0)，D (13，6)，F (13，0)，△DEF 是由△AOB 经过位似变换得到的，求位似中心的坐标．

图4－8－19

方法点拨

⑤位似图形对应点的连线一定经过位似中心．

命题点3与位似有关的作图、计算与应用[热度：72%]

9．2019·鞍山模拟改编如图4－8－20所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)画出位似中心点O；

(2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．

图4－8－20

10．⑥如图4－8－19，△ABC在方格纸中．

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并求出点B的坐标；

(2)在(1)的条件下，以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；

(3)计算(2)中△A′B′C′的面积．

图4－8－19

方法点拨

⑥在平面直角坐标系中作一个图形的位似图形，常以原点为位似中心，根据“位似图形对应点的坐标的比等于k或－k”直接求出各对应点的坐标，再描出各对应点，连接各点即可得到所要作的图形．

11.⑦已知：如图4－8－20，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且它们的周长比为2∶1；

(3)求△A2B2C2的面积．

图4－8－20

易错警示

⑦位似图形的位似中心不一定都是原点．

12．⑧如图4－8－21，点A的坐标为(3，4)，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，

0)．

(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位长度后得到△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为________，△A 1O 1B 1的面积为________；

(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得到△A 2OB 2，则点A 2的坐标为__________；

(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3OB 3，则点A 3的坐标为__________；

(4)以点O 为位似中心，按相似比为2∶1将△AOB 扩大后得△A 4OB 4，若点B 4在x 轴的正半轴上，则点A 4的坐标为__________，△A 4OB 4的面积为__________．

图4－8－21

解题突破

⑧位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，平移、轴对称、旋转变换都是全等变换，位似变换是相似变换，其相似比就是相似三角形的相似比．处理与位似有关的问题的关键是熟练把握位似图形的有关性质.

详解详析

【关键问答】

①若位似图形与原图形的的相似比为|k|，则对应点的横坐标、纵坐标都乘k 或－k.

1．C 2.B 3.4.5

4．A [解析] ∵正方形BEFG 的边长是6，

∴BE ＝EF ＝6.

∵两正方形的相似比为1∶3，∴BC EF ＝BC 6＝13

，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.根据位似图形的性质可知OB OE ＝13，即OB OB ＋6＝13

，∴OB ＝3，∴点C 的坐标为(3，2)．故选A. 5．D [解析] ∵点A (－3，6)，以原点O 为位似中心，相似比为13

，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标是(－1，2)或(1，－2)．故选D.

6．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴，过点B ′作B ′F ⊥x 轴．

∵点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长扩大为原来的2倍，点B 的对应点B ′的横坐标是a ，∴FO ＝a ，CF ＝a ＋