高数微分方程模拟精彩试题及问题详解

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： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）

7、求微分方程''+=y y x ch 的一个特解。

四．设函数(x )连续 且满足 ⎰⎰-+=x

x

x

dt

t x dt t t e x 0

)()()(ϕϕϕ 求(x ) (8分)

五．已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程(8分)

故通解为:(

)

y e

C xe e x x x x =+⋅--⎰2

22

2d ; 即: 2

2()x y x C e -=+

3、解：令y p '=，则dp y p

dy

''= 代入方程2

0yy y '''+=得： 20dp

yp

p dy += 解得：1c p y =；把y p '=代入1c p y

= 得通解为：2

122

y c x c =+ 4、解：因为sin

sin cos sin x y x y x y

+--=22222

，故原方程可化简为 d d cos sin y x x y +=2220 分离变量得：d sin

cos d y y x

x 22

2=-

积分得通解：ln tan sin y x

C 422

=-+ 5、解：''+

'=y x y x

112 '=

+y x x C 1

1[ln ] ；y x C x C =

++12

2

12ln ln 6、解：方程的通解为：

y C e C e x x =+-123

由已知y y (),()0004='=，代入上式得：C C 1211==-, 故所求积分曲线的方程为：y e e

x

x

=--3

7、解：特征方程r 2

10+=的根为r i 12

,=±； 因为ch x e e x x

=+-2

故设特解为：*

x

x

y Ae Be -=+

代入方程得：*

11

()ch 42

x x y e e x -=

+= 四．解 等式两边对x 求导得: ⎰-='x x dt

t e x 0

)()(ϕϕ

再求导得微分方程: ()()x x e x ϕϕ''=- 即()()x x x e ϕϕ''+= 微分方程的特征方程为: 2

10r +=。

其根为1,2r i =±。故对应的齐次方程的通解为: 12()cos sin x C x C x ϕ=+ 易知1*()2

x x e ϕ=是非齐次方程的一个特解 故非齐次方程的通解为 121()cos sin 2

x x C x C x e ϕ=++ 由所给等式知(0)=1 (0)1 由此得

2

121==C C 因此 1()(cos sin )2x x x x e ϕ=++ 五．解 设点(x

y )为曲线上任一点 则曲线在该点的切线方程为： Y y y (X x )

其在纵轴上的截距为y xy 因此由已知有： y

xy x 即11-=-'y x y 这是一个一阶线性方程 其通解为： )

ln (])1([11C x x C dx e e y dx x dx x +-=+⎰-⎰=⎰- 即方程的通解为y

x (C ln x ) 由于曲线过点(1

1) 所以C 1 因此所求曲线的方程为y x (1ln x )