包络和奇解

现在证明它也满足第二式．
假设不然，则存在 ｘ０∈Ｊ，使得 Ｆ＇ｐ（ｘ０，ｙ０，ｐ０）≠０，其中 ｙ０＝覬
（ｘ０），ｐ０＝覬＇（ｘ０）注意 Ｆｐ（ｘ０，ｙ０，ｐ０）＝０ 和（ｘ０，ｙ０，ｐ０）∈Ｇ，因此我们可以用
隐 函 数 定 理 推 出 ，由 方 程（１．４）在 （ｘ０，ｙ０） 附 近 唯 一 的 确 定 了
是微分方程（１．４）的奇解．
下面我们举例说明定理 ２ 的一个应用．
２
考虑微分方程
（ｙ－１）
ｄｙ ｄｘ
＝ｙｅｘ（ｙ １．１２）
它的 ｐ－ 判别式（ｙ－１）２ｐ２－ｙｅｘｙ＝０，２ｐ（ｙ－１）２＝０；消去 ｐ 后即
得 ｙ＝０，易知 ｙ＝０ 是微分方程（１．１２）的解，且满足（１．１０）和
（１．１１）．
即 Ｆ＇ｙ（ｘ，０，０）＝－１，Ｆ＂ｐｐ（ｘ，０，０）＝２，Ｆ＇ｐ（ｘ，０，０）＝０． 因此由定理 ２ 知 ｙ＝０ 是微分方程（１．１２）的奇解，而且易
ｄｙ ｄｘ
－ｙ２＝０ （１．８） 的 ｐ－ 判别式为
ｐ２－ｙ２＝０，２ｐ＝０；消去 ｐ 后即得 ｙ＝０，它是微分方程（１．８）的解，
但是容易求出微分方程（１．８）的通解为 ｙ＝ｃｅ±ｘ，由此容易验
证 ｙ＝０ 不是奇解．
－５－
这就是说定理 １ 虽然把寻找微分方程（１．４）的奇解范围
缩小到它的判别式（１．５）或（１．６），但由 ｐ－ 判别式规定的函
Ｆ＇ｙ（ｘ，ｙ，ｆ（ｘ，ｙ）） Ｆ＇ｐ（ｘ，ｙ，ｆ（ｘ，ｙ））
，所以由皮卡
定理可知，微分方程（１．７）满足初值条件 ｙ（ｘ０）＝ｙ０ 的解是存在
而且（ｘ０，ｙ０）点的唯一解．这就证明了在（ｘ０，ｙ０）点附近不可能存
在微分方程（１．４）的其它解在该点与 ｙ＝覬（ｘ）相切．
这个结论与 ｙ＝覬（ｘ）是奇解的假设不能相容，因此上述反
第 ２８ 卷 第 ９ 期（下） ２０１２ 年 ９ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１２
包络和奇解
李健
（内蒙古化工职业学院，内蒙古 呼和浩特 ０１００１０）
ｄｙ ｄｘ
＝ｆ（ｘ，ｙ（） １．７）其中函数 ｆ（ｘ，ｙ）满足 ｆ（ｘ０，ｙ０）＝ｐ０，这就证明了微
分方程（１．４）所有满足 ｙ（ｘ０）＝ｙ０，ｙ＇（ｘ０）＝ｐ０ 的解必定是微分方程 （１．７）的解．
另一方面，由于函数 ｆ（ｘ，ｙ）在（ｘ０，ｙ０）点某领域内是连续的，
而且对
ｙ
有连续的偏微商
ｆ＇ｙ（ｘ，ｙ）＝－
ｐ－ 判别式 ｐ２＋ｙ２－１＝０，２ｐ＝０；
这里必须注意，由 ｐ－ 判别式确定的函数 ｙ＝Ψ（ｘ）不一定
是微分方程的解，即使是也不一定是奇解．例如，微分方程
２
1 1 ｄｙ ｄｘ
＋ｙ－ｘ＝０ 的 ｐ－ 判别式 ｐ２＋ｙ－ｘ＝０，２ｐ＝０；消去 ｐ 后即得
ｙ＝ｘ 但 ｙ＝ｘ 不是微分方程的解．
２
1 1 又如：微分方程
知这是唯一的奇解．
2 包络
设单参数曲线 ｃ 的曲线族 ｋ（ｃ）：ｖ（ｘ，ｙ，ｃ）＝０（１．１３）
是微分方程（１．４）的奇解．
定理 1 设函数 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ 是连续的，而且对
ｙ 和 ｐ 有连续的偏微商 Ｆ＇ｐ 和 Ｆ＇ｙ，若函数 ｙ＝覬（ｘ），（ｘ∈Ｊ）是微
分方程（１．４）的一个奇解，并且（ｘ，覬（ｘ）覬＇（ｘ））∈Ｇ，（ｘ∈Ｊ），则奇解
ｙ＝覬（ｘ）满足一个称之为 ｐ－ 判别式的联立方程 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０，Ｆ＇ｐ
从 ｘ＋２ｐ－３＝０ 解得 ｘ＝－２ｐ－３，以此代入（１．１）又得原方程的
一个特解：
２７ｘ２＋４ｙ３＝０
（１．３）
此解称为奇解．
1 1 定义 1
设一阶微分方程 Ｆ
ｘ，ｙ，
ｄｙ ｄｘ
＝０ （１．４） 有一特
解，Γ：ｙ＝覬（ｘ），（ｘ∈Ｊ），如果对每一点 Ｑ∈Γ，在 Ｑ 点的任何领域
内方程（１．４）有一个不同于 Γ 的解在 Ｑ 点与 Γ 相切，则称 Γ
1 1 （ｘ，ｙ，ｐ）＝０．
ｐ＝
ｄｙ ｄｘ
（１．５），（设从（１．５）中消去 ｐ 得到方程 △（ｘ，
ｙ）＝０（１．６），则称此所决定曲线为方程（１．４）的 ｐ－ 判别曲线，
因此，微分方程（１．４）的奇解是一条 ｐ－ 判别曲线）．
证 明 因为 ｙ＝覬（ｘ）是微分方程（１．４）的解，所以它自然
满足上述 ｐ－ 判别式（１．５）的第一式．
（１．９）（消去 ｐ 后）得到的函数 ｙ＝Ψ（ｘ）（ｘ∈Ｊ）是微分方程（１．４）
的 解 ，且 设 条 件 Ｆ＇ｙ （ｘ，Ψ （ｘ））Ψ＇ （ｘ）） ≠０，Ｆ＂ｐｐ （ｘ，Ψ （ｘ）Ψ＇ （ｘ）） ≠０
（１．１０），以及 Ｆ＇ｙ（ｘ，Ψ（ｘ））Ψ＇（ｘ））＝０（１．１１）对 ｘ∈Ｊ 成立，则 ｙ＝Ψ（ｘ）
－ｙ
ｄｙ ｄｘ
－１＝０ 的解.
解
令
ｄｙ ｄｘ
＝ｐ，则 ｘｐ３－ｙｐ２－１＝０
（１．１）
两端对Hale Waihona Puke Baidu
ｘ
求导数，并以
ｐ
代替
ｄｙ ｄｘ
，得到：
ｐ＝ｐ＋ｘ ｄｐ ＋２ｐ－３ ｄｐ 或 ｄｐ （ｘ＋２ｐ－３）＝０
ｄｘ
ｄｘ ｄｘ
从
ｄｐ ｄｘ
＝０ 得到 ｐ＝ｃ，将它代入（１．１）得到原方程的通解：
ｙ＝ｃｘ－
１ ｃ２
（１．２）
数 ｙ＝Ψ（ｘ）仍须根据奇解的定义经过验证才能确认它是否为
奇解，而在不知道通解的情况下就难以进行这种验证．下面
的定理在某种条件下克服了这一困难．
定 理 2 设函数 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ 是二阶连续可微
的，又设微分方程（１．４）的 ｐ－ 判别式 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０，Ｆ＇（ｘ，ｙ，ｐ）＝０
证法假设是不成立的，从而 ｙ＝覬（ｘ）也满足 ｐ－ 判别式的第二
式．
容易验证，微分方程 ｘ （ｙ＇）２－２ｙｙ＇＋９ｘ＝０ 的奇解 ｙ＝３ｘ 和
ｙ＝－３ｘ 满足相应的 ｐ－ 判别式 ｘｐ２－２ｙｐ＋９ｘ＝０，２ｘｐ－２ｙ＝０；
２
1 1 微分方程 ｙ２＋
ｄｙ ｄｘ
＝１ 的奇解 ｙ＝１ 和 ｙ＝－１ 满足相应的
摘 要：给出了包络和奇解的定义及定理，可以用各种不同方法求解一阶隐式微分方程的奇解，包络． 关键词：微 分 方 程 ；通 解 ；奇 解 ；包 络 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）０９－ ０００５－ ０３
1 奇解
３
２
1 1 1 1 例 1
求方程 ｘ
ｄｙ ｄｘ