高二数学立体几何专题复习(版)

高中立体几何专题（精编版）

1. （天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为

平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，

2PO =，M 为PD 中点．

（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）求直线AM 【解析】直线与平面所成的

角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 （Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所

以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB//平面ACM 。 （Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，

又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC 。

（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，

且1

1,2

MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直

线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ∆中，1

1,2

AD AO ==，

所以52DO =，从而15

2AN DO ==，

在45

,tan 5

4

MN Rt ANM MAN AN ∆∠===

中即直线AM 与平面ABCD 所成角45

2. （北京文）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱

AP,AC,BC,PB 的中点.

（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

D

C

A

B

P

M

O

【解析】（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，

所以DE//PC 。

又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点，

所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，

所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=2

1

EG.

分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ，

且QM=QN=2

1

EG ，

所以Q 为满足条件的点. 3. (全国大纲文)

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD P ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

【解析】20．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。 由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=I ，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。 …………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3

.SD SE SF DE ⨯=

= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=I ，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

3

7

SF FG FH SG ⨯=

=

，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有

21

.7

设AB 与平面SBC 所成的角为α，

则2121sin ,arcsin .77

d EB αα=== …………12分 解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系

C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。 又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-u u u r u u u r ，(1,,)DS x y z =-u u u r

，

由||||AS BS =u u u r u u u r

得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+ 故x=1。 由22||11,DS y z =+=u u u r

得

又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=u u u r

得

即2213

410,,.22

y z y y z +-+===

故 …………3分

于是133333

(1,,),(1,,),(1,,)222222

S AS BS =--=-u u u r u u u r ，

13(0,,),0,0.2DS DS AS DS BS =⋅=⋅=u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=I 又 所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，