高中数学高考总复习椭圆习题及详解

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

一、选择题

1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )

∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

7π4，2π [解析] 化为x 21sin α＋y 2－

1cos α＝1，∴－1cos α>1

sin α

>0，故选C.

2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆

x 225＋y

2

16

＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．4x ±3y ＝0

B ．3x ±4y ＝0

C ．4x ±5y ＝0

D ．5x ±4y ＝0

[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝

4，∴渐近线方程为y ＝±4

3x ，即4x ±3y ＝0.

(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有

相同的焦点，则该椭圆的方程是( )

＋y 2

2＝1 ＋y 2

＝1 ＋y 2

4＝1 D ．x 2

＋y 2

3＝1

[解析] 抛物线y 2

＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，

∵c 2

＝a 2

－b 2

，∴b 2

＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的

交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A ．(0,1)

[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c

c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0

2

，故选B.

4．椭圆

x 2

100

＋y 2

64

＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )

[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝

20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝256

3

，

∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝643

3

.

5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的渐近

线方程为( )

A ．y ＝±1

2

x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±4x

D ．y ＝±1

4

x

[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝1

2

，故双曲线的渐近线方程

为y ＝±1

2

x ，选A.

6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )

[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，

故⎩⎨

⎧ a ＋c ＝9a －c ＝4

，∴⎩⎨⎧

a ＝

132

c ＝5

2

，∴e ＝c a ＝5

13

.

(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，

b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )

[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，

∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2

，

∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，

∵e >0，∴e ＝5－1

2

.

7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、

右焦点．设椭圆离心率为e 1

，双曲线离心率为e 2

，若PF 1

→·PF 2

→＝0，则1e 12＋1e 22

＝( )A ．2

D ．3

[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：

|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 2

2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1

⎝ ⎛⎭

⎪⎫c a ′2＝

a 2＋a ′2

c 2

＝2.

8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 2

2

＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直

线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝8

3

；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0