幂函数的图像与性质之欧阳光明创编

2.3幂函数

欧阳光明（2021.03.07）

学习目标

1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；

2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点

幂函数的图像与性质 学习难点

幂函数性质的应用 学习过程

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？

（1）边长为a 的正方形面积2

S a =，S 是a 的函数；

（2）面积为S 的正方形边长12

a S =，a 是S 的函数；

（3）边长为a 的立方体体积3

V a =，V 是a 的函数；

（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1

/v t km s -=，这里v 是t 的函数；

（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.

1.幂函数的概念：一般地，形如

y x α

=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.

判断下列函数哪些是幂函数. ①

1

y x =

；②22y x =；③3

y x x =-；④1y =.

2.幂函数的图象与性质

作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12

y x =；（3）2

y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．

从图象分析出幂函数所具有的性质.

x y =

2x y =

3x y =

2

1x y = 1-=x y

定义域 值域 奇偶性 单调性

定点

1.

2.幂函数图象变化规律：．

练习：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )

A 幂函数的图象都经过点(1,1)

B 幂函数的图象不可能在第四象限内

C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0

D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数

例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性.

解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则

2

1212

121212121)

)(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-=

++-=

-=-，

因为21x x <，021>+x x ，所以

02

121<+-x x x x ，

所以)()(21x f x f <，即()f x x =在[0,)+∞为增函数。

点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写。 例2利用单调性比较大小： （1）215与3

15 ； （2）223

(2)

a -+与23

2-

； （3）1.19.0与8.02.1.

关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；

②异底同指，用幂函数单调性比

较；

③异底异指，构造中间量（同底或

同指）进行比较。

例3：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。 （1）2

3

-=x

y （2）3

2-

=x

y

[达标训练]

1. 若幂函数()f x x α

=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.

A ．α>0

B ．α<0

C ．α=0

D ．不能确定

2. 函数43

y x =的图象是（ ）. A. B. C. D.

3. 若112

2

1.1,0.9a b -

==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ．a

，则它的解析式为.

[巩固提高]

1.在下列函数中，定义域为R 的是（） A 2

3

x y = B 2

1-

=x y C x y 2= D 1-=x y

2.下面给出了5个函数○112+=x y ○221

-=x y ○322x y =○43

2-=x y ○5

131

+=x y ，其中是幂函数的是（）

A ○1○5

B ○1○2○3

C ○2④

D ○2○3○5

3. 下列函数中,既是奇函数，又在),0(+∞上是减函数的是（） A

x y = B x

y -=2 C 3

x y = D 3x y -=

4.函数3

x y =与函数3

1

x y =的图象（）

A 关于原点对称

B 关于y 轴对称

C 关于x 轴对称

D 关于直线y=x 对称 5.函数3

2x y =图象的大致形状是（） A B C D

7.如图,函数m x y =和n x y =在第一象限的图象分别是实线和虚线的图象,那么一定有

A n

B m

C m>n>0

D n>m>0

8 .已知幂函数的图象过点( 2 , 41) ,则该函数的图象( )

A 关于原点对称

B 关于y轴对称

C 关于x轴对称

D 关于直线y=x对称

9.函数43-

y在区间上是减函数

=x

10.已知31

2x

x>，求x的取值范围。