《组合变形》PPT课件

0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩
与y的夹角。
M
M
• 弯—拉组合变形的构件
可不计轴向拉力产生的弯 矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
• 弯曲与压缩组合变形的杆件只有杆的弯曲刚度相
当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应 用叠加原理。
14
例8-2 如图所示弯曲与拉伸组合，求危险截面应力分布及最大应力
解： 1.作内力图
FN Ft
M max
2. 作梁的计算简图，并分别作My 图和Mz 图
9
3. 确定此梁的危险截面(点)。 A截面上My最大， MyA=0.642 qa2, 该截面上Mz虽不 是最大，但因工 字钢Wy<<Wz ， 故A截面是可能 的危险截面。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， MyD= 0.444 qa2，
C 截面
M C 12 kNm, FN 40 kN
l 设计截面的一般步骤
u 先根据弯曲正应力选择 工字钢型号；
u 再按组合变形的最大正 应力校核强度，必要时
选择大一号或大二号的工 字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
Fcx
F cy
20
l 按弯曲正应力选择工字钢型号
MC [ ]
W W M C 120 cm3
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
11
比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
( max ) A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q (12 ) 31.5 10 6
M y z Pz p z
Iy
Iy
24
P
A
M z y Py p y
Iz
Iz
M y z Pz p z
Iy
Iy
惯性矩可表为：
Iy
Ai
2 y
,
Iz
Ai
2 z
P (1
A
yp y iz2
zpz
i
2 y
)
是一个平面方程
它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线
规律变化。
25
l 叠加原理成立的条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
4
§8. 2 两相互垂直平面内的弯曲
l 内力图
弯矩：
My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (x-a)
l 危险截面（点）分析
x 截面上C 点处的正应 力为
,
az
i
2 y
zp
a点坐标
ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
u 设AB为中性轴
b点
u 同理可确定c, d, e点。
求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
这是组合变形问 题 压弯组合。
l 求约束反力
M A(F) 0
18
l 求约束反力
M A(F) 0
F 42 kN Fcx 40 kN, Fcy 12.8 kN
l 内力图
l 危险截面：
C 截面
MC 12 kNm, FN 40 kN
Fcx
F cy
19
l 危险截面:
FN图 M图
Ft F 4
t,max
Ft A
பைடு நூலகம்
Fl 4W
[ ]
16
最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把σtmax直接与材料的许用正应 力进行比较来建立强度条件。
t,max
Ft A
Fl 4W
[ ]
思考： 大刚度杆弯曲与压缩组合变形的最大压应力
应如何计算
17
例 8-3已知：P = 8kN,AB为工字钢，材料为A3钢，[] = 100MPa。
A 15
l My引起的应力
350
FN
tmax
M y zo Iy
425 7.5P 5310
MPa
cmax
M y z1 Iy
42512.5P 5310
MPa
34
cmax
M y z1 Iy
42512.5P MPa 5310
l 最大拉应力
t max tmax
P 425 7.5P MPa 15 5310
持为零。
中性轴通过C点，
l 截面核心的确定
u 设AE为中性轴
中性轴的截距为ay, az， 由：
但方位不断变化。
ay
iz2 yp
,
az
i
2 y
zp
a点坐标
ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
u 设AB为中性轴
b点
39
l 截面核心的确定
u 设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
ay
iz2 yp
m3。，W试y=求3梁1.5的×许10可-6荷m载3；集钢度的[许q]用。弯已F曲知正：应q2a力a=[(1Nm]);=12600aM号P工a。字钢：
x
7
x
解： 1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
Fz
F
sin 40o
qa 2
sin 40o
8
29
•横截面上危险点的位置
横截面有外棱角的杆件受 偏心拉伸时，危险点必定 在横截面的外棱角处。
t,max
F A
Fz F Wy
FyF Wz
c,max
F A
Fz F Wy
FyF Wz
由此式还可以看出， 如果偏心距e(亦即 yF , zF)较小，则横 截面上就可能不出
现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。
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D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， MyD= 0.444 qa2，
D1 z D2
y
比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
( max ) A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q (12 ) 31.5 10 6
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
Iz Iy
tan
zp
28
tan b I z tan
Iy 由此式可知：
1. 若偏心拉力作用在 形心主惯性轴y上(即 tan=0)或者作用在 形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tan ,即中性轴垂 直于力偶矩Fe所在的纵向面；
2.当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tan 0,tan 90°时，只要横截面的 形心主惯性矩IzIy， 则中性轴就不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直。
[ ]
选16号工字钢
W 141 cm3,
A 26.13 cm2
l 按最大正应力校核强度
Fcx
F cy
21
l 按最大正应力校核强度 拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是 单向应力状态。
cmax N M C 100.5 MPa [ ]
AW
可以使用
l 本题不需要校核剪切强度
22
2. 偏心拉伸(压缩)
1 4
Fl
2. 危险截面(点）
Ft M max y
A
Iz
FN图
Ft
M图
t,max
Ft A
Fl 4W
F 4
15
2. 危险截面(点）
Ft M max y
A
Iz
t,max
Ft A
Fl 4W
最大拉应力作用点 （危险点）处为 单向应力状态，故 可把σtmax直接与 材料的许用正应力 进行比较来建立 强度条件。
设O为形心，y轴和z轴均为形心 主惯性轴。 力作用点A的坐标：yp, zp .
内力：
轴力：
FN P
弯矩：
M z Py p
M y Pzp
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内力：
轴力： 弯矩：
l 应力
FN P M z Py p
坐标为 y, z 的B点的应力：
M y Pzp
P
A
M z y Py p y
Iz
Iz
12
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件
，有
( max ) A [ ]
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
D1 z D2
y
q 160 106 7.44103 N/m 21.5 103
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§8-3 拉伸(压缩)与弯曲
1. 横向力与轴向力共同作用
l 最大压应力
cmax cmax P 42512.5P MPa
15 5310
35
l 最大拉应力 l 最大压应力
t max
P 15
425 7.5P 5310
MPa
cmax cmax P 42512.5P MPa
15 5310
l 由抗拉强度条件
t max [ t ] 30 MPa
要使坐标为r, s 的C点的 应力为零，则由
37
3.截面核心
要使坐标为r, s 的C点的 应力为零，则由
y p y0 iz2
zp z0
i
2 y
1
ypr iz2
zps
i
2 y
1
直线pq的方程
当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保持为零。
中性轴通过C点，但方位不断变化。
38
当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保
l 由抗压强度条件
P 45.1 kN
cmax [ c ] 160 MPa
l 结论
[P] 45.1 kN
P 171.3 kN
36
3.截面核心 在土木工程中，对于受 偏心压缩的混凝土、大 理石等柱子，要求在横 截面上不出现拉应力。
使横截面上不出现拉应力 的压力作用点的集合，称 为截面核心。
2 y
M
2 z
只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢 量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴
垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在
的纵向面重合。通常又把这类弯曲称为斜弯曲
6
例8-1 图示20a号工字钢悬臂梁上的均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载
为 Wz=237×10-6
ay
iz2 yp
,
由上可知：
az
i
2 y
zp
1) 力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；
2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压，
一部分受拉；
27
中性轴与z轴的夹角b 的正切为
( iz2 )
tan b
ay az
yp
(
i
2 y
)
(
zp yp
)(
iz2 i y2
)
(tan
)(
I I
z y
/ /
A) A
它表明偏心拉PA伸时(1杆的横y截ip面z2y上
zpz iy2
)
的正应力按直线规律变化。
l 中性轴位置
设中性轴上的点的坐标为 y0, z0。 在上式中令为零，得：
y p y0 iz2
zp z0 iy2
1
中性轴方程
26
y p y0 iz2
zp z0
i
2 y
1
中性轴方程
设中性轴在y轴和z轴上的 截距为ay, az ，则有：
材料力学
第八章 组合变形及连接部分的计算
2020年11月28
1
第八章 组合变形
本章内容: §8. 1 概述 §8. 2 两相互垂直平面内的弯曲 §8. 3 拉伸（压缩）与弯曲 §8. 4 扭转与弯曲 §8. 5 连接件的实用计算 §8. 6 铆钉连接的计算
2
§8. 1 概述
1 组合变形
l 基本变形
30
例 8-4 已知：铸铁框架， [t]=30MPa, [c]=160MPa。
求：许可载荷P (kN)。
解： l 几何参数
A 0.05 0.15 0.15 0.05
15 103 m2,
zo
Ai zi A
0.05 0.15 0.025 0.15 0.05 0.125 0.05 0.15 0.15 0.05
0.075 m,
31
l 几何参数
A 15 103 m2,
zo
Ai zi 0.075 m, A
Iy
0.05 0.153 (
12
0.05 0.15 0.052 )
( 0.15 0.053 0.15 0.05 0.052 ) 12
5.31105 cm4
l 求内力(作用于截面形心)