对策与冲突分析

“齐王赛马” 就是一个矩阵对 策
如何选取对自己最为有利的纯策略以谋取最大的 赢得（或最少损失） ?
如果双方都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考 虑到对方必然会设法使自己的所得最少这一点，就应 该从各自可能出现的最不利的情形中选择一种最为有 利的情形作为决策的依据，这就是所谓“理智行为”， 也是对策双方实际上都能接受的一种稳妥的方法。
ij
ij
i
和
E(x, y) aij xi y j aij xi y j E(x, j) y j
ij
ji
j
通过上述讨论，可给出定理2的另一等价形式：
定理3 设
x*
S1*
,
y*
S
* 2
，则
(x*
,
y*
)
是
G
的解的充分必要条件是：对任意 i 1, 2,, m 和 j 1, 2 ,, n
略进行对策呢？——用概率的观点，可以考虑局中人Ⅰ以概率x1选取α1， 以概率x2选择α2 ，局中人Ⅱ以概率y1选取β1，以概率y2选取β2。由于 加入了随机因素，所以应考虑局中人的期望效用。
对应纯策略集 合的概率向量
混合策略意义下解存在的鞍点型充分必要条件
求解：
2.3 矩阵对策的基本定理
有
E(i , y* ) E(x* , y* ) E(x* , j)
定理3又可表述为如下等价形式：
定理4
设
x*
S1*
,
y*
S
* 2
，则 (x* , y* ) 是
G
的解的充分必要条件是：存在数v ，使得 x* 和 y*
分别是不等式组
（Ⅰ）
和不等式组 （Ⅱ）
aij xi v
i
j 1,, n
xi 1
（2）若 max min P（x，y），min max P（x，y）都存在，则必有
II公司
β1（原价） β2（减价）
I公司 α1（原价） α2（减价）
10，10 16，6
6，16 10，10
已知两公司费用（或成本）皆为9个单位，于是销售为10时双方都
会有赢利，销售为7或6时则发生亏损。
分析效用序对矩阵可知：
①若双方均维持原价，均稍有赢利，最为安全；
②若能达成“双方交替减价”的协议，则销售额可达16+6=22，对双 方都有利，即可构成合作解；
Y S 2
X S1
Y S 2
X S1
由此定理得知，局中人1的效用矩阵中增加 或减少一常数，并不影响其对策的解，只
是在其对策值上差一常数，因此在线性规 划方法中，假设其值v>0，并不妨碍大局， 也是合理的。正因为如此，当局中人1的效 用函数与局中人2的效用常数之和是常数时， 也常称之为零和对策。
例 一矩阵对策的赢得矩阵为
（P ′）
min f x1 x2 x3 2x1 2x2 8x3 1 2x1 10x2 2x3 1 6x1 2x2 2x3 1 x1 , x2 , x3 0
（D ′）
max g y1 y2 y3 2 y1 2 y2 6 y3 1 2 y1 10 y2 2 y3 1 8y1 2 y2 2 y3 1 y1 , y2 , y3 0
和
j 1, 2,, n ，有
或 又由
得到
aij
y
* j
v*
aij xi*
j
i
E(i, y* ) v* E(x* , j)
E(x*, y*) E(i, y* )xi* v* xi v*
i
i
E(x*, y*) E(x*, j) y*j v* y j v*
j
jຫໍສະໝຸດ Baidu
v* E(x*, y* ) ，故定理5成立。
y* VG (3 25,3 50, 2 25)T (6 13,3 13, 4 13)T
对于矩阵对策有下面的定理：
定理：设有两个矩阵对策 G1 S1，S2，A，G2 S1，S2，B ，
其中 A aij mn , B (aij d)mn , d为常数，则G1,G2
的最优策略集不变，只是对策的值相差一个常数d,即VG2 VG1 d
b11 b21
am2
a1n a2n
amn
b1n
b2n
bmn
4.1 无限对策
1、二人无限零和对策
（1）定义： 局中人I和II分别完全独立地从区间[0，1]中各选择数x，y称 为局中人I和II的纯策略。选定x，y后，局中人I得到支付P（x，y）， 局中人II得到支付-P（x，y），这种对策G称为二人无限零和对策 （infinite game），有时也称为正方形上的无限对策。
定理5的证明是 一个构造性的 证明，它不仅 证明了矩阵对 策解的存在性， 而且给出了利 用线性规划方 法求解矩阵对 策的思想。
3 解矩阵对策的线性规划方法
由定理5已知，任一对策矩阵G {S1, S2 ; A} 的求解均等于一对互为对偶的线性规划问题，而定理4表明，
对策 G 的解 x*和 y *等价于下面两个不等式组的解。
定理6 设矩阵对策 G {S1, S2; A}的值为 VG，则
VG
max min E(x,
xS1* 1 jn
j)
min max E(i, y)
yS2* 1im
求解矩阵对策的线性规划方法
求矩阵对策问题 G 的解可等价地转化为求 下列两个互为对偶的线性规划问题（P）和（D）的解的形式
若设 v 0（如：当矩阵A中存在一行，其所有元素皆
局中人Ⅰ按最大最小原则，局中人Ⅱ按最小最大原则
选择各自的纯策略，这对双方来说都是一种较为稳妥的行
为。
1 2 3 Max
1
-8
2
2
3
-10
4
Min
-3 92 6 2
max i
min j
aij
min j
max i
aij
ai* j*
2
一般矩阵对策的定义
max
-i 8
aij
2
-3
-3
min j
aij
16 2
第二章 对策与冲突分析
1 对策模型的构成及分类
1.1 对策行为和对策论
对策论亦称为竞赛论或博弈论，是研究具有斗争 或竞争性质现象（对策现象）的数学理论和方法。它 主要研究竞争的各方是否存在着最合理的行动方案和 如何找到这个合理方案。
下棋、打牌、体育比赛、交战、商战、谈判，等等
“齐王赛马”
1.2 对策行为的三个基本要素
建立单纯形表求解。可得问题（D’）的最优解为
y (3 25, 3 50, 2 25)T g 13 50
问题（P′）的最优解为
x (3 25, 3 50, 2 25)T f 13 50
于是
VG 50 13 x* VG (3 25,3 50, 2 25)T (6 13,3 13, 4 13)T
2 3 3 A 2 3 1
1 1 5
求最优混合策略。
解：容易看出：
4 1 5
A＋（2）33＝B
0
5
3
由B构成的矩阵对策的解为：
3 3 7
~
~
X (0,0,1),Y (2 / 5,3/ 5,0) 对策的值为 VG 3 2 1
4 其他对策模型
4.1 二人有限非零和对策
例：I 、II两个公司出售同一种质量相同的产品，且无其他竞争者。目前 两公司均面临“维持原价”和“减价出售”两个策略，构成双矩阵 对策，其效用序对矩阵如下：
③若一方实力雄厚，可能会威胁对方接受有利于自己的安排，构成威胁 解。
这样的对策为非零和对策，局中人在任何局
势下的效用值代数和不等于零也不等于某以常
数，效用矩阵要分别写出来或写成双矩阵形式， 有可能产生合作解或者威胁解。
a11
am1
a1n
b11
amn bm1
b1n
bmn
或aaam12111
成立即可。
考虑如下两个线性规划问题：
（P）
和
max w
aij xi w
i
j 1,, n
xi 1
i
xi 0 i 1,, m
（D）
min v
aij y j v
j
i 1,, m
yj 1
j
yj 0
j 1,, n
显然，问题（P）和（D）是互为对偶的线性规划问题，
而且
x
(1, 0 ,, 0)T
Em，
aij xi v
j 1,, n
aij y j v i 1,, m
i
j
（Ⅰ） xi 1
（Ⅱ） y j 1
i
j
xi 0 i 1,, m
y j 0 j 1,, n
其中
v
max min E(x, y) min max
xS1* yS2*
yS2* xS1*
E(x, y)
就是对策的值 VG
1．局中人（Player） 在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行
动方案的对策参加者，称为局中人。通常用I 表示局中人的 集合。如果有n个局中人，则I={1, 2,…,n}。一般要求一个对 策中至少要有两个局中人。
“齐王赛马” : 局中人就是齐王和田忌。
2．策略集(Strategy) 一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的
证明：
mn
E2 ( X ,Y )
( ij d )xi y j
i1 j 1
mn
mn
ij xi y j
dxi y j
i1 j 1
i1 j 1
E1 ( X ,Y ) d
max min E2 (X ,Y ) max min E1(X ,Y ) d
X S1
Y S 2
X S1
Y S 2
min max E2 (X ,Y ) max min E1(X ,Y ) d
w
min j
a1 j
是问题（P）的一个可行解
y
(1,0,,0)T
E，n v
max
i
ai1
是问题（D）的一个可行解。
由线性规划的对偶理论可知，问题（P）和（D）分别存在最优解
(x*, w* ) 和 ( y* , v* ) ，且 v* w* 。
即存在
x*
S1*
,
y*
S
* 2
和数 v *，使得对任意 i 1, 2,, m
5
2
于是
max
i
min j
aij
min j
max
i
aij
a22
2
由定义2及定理1知
2.2 矩阵对策的混合策略
一个例子：
A 53 64
v1
max
i
min j
aij
4
v2
min j
max
i
aij
5
v2 a21 5 4 v1
不存在一双方均可接受的平衡局势！
说明该对策无鞍点，从而在纯策略意义下无解，这样局中人怎样选择策
大于零时，则必有 v 0），显然亦有 w 0 。
此时，若令 xi ' xi w ， y j ' y j v ，则可将问题（P） 和（D）分别等价地 化为（P ′）和（ D ′）
例5 一矩阵对策的赢得矩阵为
2 2 6 A 2 10 2
8 2 2
求最优混合策略。
解：该问题可写成下面两个相应的线性规划模型
利用单纯形法求解（D’）：
引入松弛变量 y4 , y5 , y6 0 ，将（ D' ）化为标准形式：
max g y1 y2 y3
2 y1 2 y2 6 y3 y4
1
2 y1 10 y2 2 y3 y5 1
8y1 2 y2 2 y3
y6 1
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 0
3．赢得函数(Pay off)（支付函数/效用Utility）
当以上三个基本因素确定后，一个对策模型就给定了。
1.3 对策的分类
2 矩阵对策(有限对抗对策)的基本定理
2.1 矩阵对策的数学模型 矩阵对策就是二人有限零和对策。这是指只有两个 参加对策的局中人，每个局中人都只有有限个策略可 供选择。在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是 等于零，即双方的利益是激烈对抗的。
i
xi 0 i 1,, m
aij y j v
j
i 1,, m
yj 1
j
yj 0
j 1,, n
的解，且 v VG
定理5 对任一对策矩阵 G {S1 , S2 ; A} ，一定存在混合 策略意义下的解。
证明：由定理3，只要证明存在
x* S1* ,
y
*
S
* 2
，使得式
E(i , y* ) E(x* , y* ) E(x* , j)
行动方案称为一个策略。参加对策的每一局中人i，i∈I，
都有自己的策略集Si 。一般，每一局中人的策略集中至少 应包括两个策略。当局中人i以概率1选择策略si ，而以概 率0选择其它策略时，则称策略si为局中人i 的纯策略。
在“齐王赛马”的例子中，如果用（上，中，下）表示以上马、 中马、下马依此参赛这样一个次序，这就是一个完整的行动方案， 即为一个策略。可见，局中人齐王和田忌各自都有六个策略：（上， 中，下）（上，下，中）（中，上，下）（中，下，上）（下，中， 上）（下，上，中）。
两个记号：
当局中人Ⅰ取纯策略 i 时，记其相应的赢得函数为 E(i, y)，于是
E(i, y) aij y j
j
当局中人Ⅱ取纯策略 ｊ 时，记其相应的赢得函数为 E(x, j) ，于是
E(x, j) aij xi
i
由上面两式，可得
E(x, y) aij xi y j aij y j xi E(i, y)xi