互斥事件与对立事件-高中数学知识点讲解

互斥事件与对立事件

1．互斥事件与对立事件

【知识点的认识】

1．互斥事件

（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．

如果A1，A2，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…A n 彼此互斥．

（2）互斥事件的概率公式：

在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：

P（A+B）＝P（A）+P（B）

注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．

推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，A n 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：

P（A1+A2+…+A n）＝P（A1）+P（A2）+…+P（A n）

2．对立事件

（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做퐴．

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；

②在一次试验中，事件A 与퐴只发生其中之一，并且必然发生其中之一．

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（2）对立事件的概率公式：

P（퐴）＝1﹣P（A）

3．互斥事件与对立事件的区别和联系

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．

【命题方向】

1．考查对知识点概念的掌握

例 1：从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．“至少有一个红球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球”

D．“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”

分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可

解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确

对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确

对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有 1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确

对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，

又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，

得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，

∴D 正确

故选D

点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．

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例 2：下列说法正确的是（）

A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大

D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．

分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．

解答：根据对立事件和互斥事件的概念，

得到对立事件一定是互斥事件，

两个事件是互斥事件不一定是对立事件，

故选B．

点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事

件之间的关系就可以选出正确答案．

2．互斥事件概率公式的应用

1 1

例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是

23

分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且푃(퐴)=1

2

，푃(퐵)=

1

3

，则乙不输即

为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．

解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，

则푃(퐴)=1

2

，푃(퐵)=

1

3

，

则乙不输即为事件A+B，

由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=1

2+

1

3=

5

6

5

故答案为：

6

点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．

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3．对立事件概率公式的应用

例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1

分析：根据对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A），解得即可．

解答：因为对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A）＝0.6，

故选C．

点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．

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