基于分圆陪集非二进制量子码的构造方法

基于分圆陪集非二进制量子码的构造方法

付盼月;刘伟

【摘要】为了有效克服量子信息处理过程中存在的量子比特消相干,提出了一种基于分圆陪集非二进制量子纠错码的构造方法.分析了分圆陪集的相关性质,确定BCH 码包含其Euclidean对偶码的生成多项式,利用扩展的Calderbank-Shor-Steane (CSS)构造即Steane's构造方法,构造出一批新的非二进制量子码.通过与已有的量子纠错码相比,结果表明,采用基于分圆陪集非二进制量子码构造方法构造的参数更优.

【期刊名称】《计算机工程与应用》

【年(卷),期】2016(052)009

【总页数】4页(P84-87)

【关键词】分圆陪集;Euclidean对偶码;量子纠错码;Steane's构造方法;非二进制量子码

【作者】付盼月;刘伟

【作者单位】河南科技大学信息工程学院,河南洛阳471023;河南科技大学信息工程学院,河南洛阳471023

【正文语种】中文

【中图分类】TN911.2

FU Panyue，LIU Wei.

Computer Engineering and Applications，2016，52（9）：84-87.

在量子计算和量子通信中，量子比特与外部环境之间存在着不可避免的相互作用，导致量子比特消相干，克服量子消相干的有效方法就是量子纠错码。Calderbank，Shor，Steane三个人提出了CSS方法，是构造量子纠错码的重要手段，CSS是

利用经典循环码的对偶或自正交的性质来构造量子纠错码。BCH码因具有良好的

代数结构和快速的译码算法得到深入的研究，它的维数由其生成多项式的次数得出。分圆陪集的元素构成了循环码生成多项式根的幂，能够精确计算出BCH对偶码的维数，因此，分圆陪集是利用经典的循环码构造量子纠错码的关键。

文献［1-5］中，研究者们对量子纠错码的理论进行了广泛的研究，其中大多数都是如何构造二进制的量子码，但在实际应用中，对非二进制量子码的研究更有价值。2002年，马智［6］利用经典BCH码根指数所在的分圆陪集，以及其自正交的性质，构造了一系列的非二进制的量子BCH码。2009至2014年，Guardia［7-10］从分圆陪集的性质出发，利用Hermitian自正交BCH码和Euclidean自正交BCH码构造量子码，构造了一批参数更优的量子码。2010年，Fangying Xiao等人［11］研究了分圆陪集的性质，引进了一种方法来判断非本原的BCH码是否包含其对偶码。2012年，马智等人［12］使用CSS构造方法的扩展，即Steane’s方法，然后利用两个经典的非狭义BCH码，构造了一批非二进制非对称的量子BCH码和子系统BCH码；2013年，Qian J等人［13］利用任意码长

循环码的重复根，构造出一批非二进制量子循环码和非对称的量子循环码。

文章在前人成果的基础之上，研究了在q-元域下分圆陪集的相关性质，并通过分

圆陪集与BCH码包含其Euclidean对偶码的关系，确定了经典BCH码的生成多

项式，利用Stean e’s构造方法，构造出一批参数更优的非二进制量子BCH码。在量子通信和量子计算中，通过对这些量子码译码，能有效抑制量子消相干。

在文章中，假设q≠2是素数幂，Fq表示包含q个元素的有限域，n为经典纠错码C的码长，在Euclidean构造方式下假设gcd（n，q）=1，C⊥表示经典码C的

Euclidean对偶码。若C⊆C⊥，码C为自正交码。m= ordn（q）表示q在模n

下的乘法阶。假设Z为循环码的定义集，C［a］表示包含元素a的分圆陪集，不

要求a一定为C［a］中的最小元素，当a为C［a］中的最小元素时，C［a］记

为Ca。

定义2.1（最小多项式）若有，β在Fq上的最小多项式定义为满足M（x）=0的

次数最小的首一多项式。

定义2.2（生成多项式）如果C是定义在Fq上码长为n的循环码，在C中存在唯一一个次数最低的首一多项式，即g（x），称为循环码的生成多项式，生成多项

式g（x）为xn-1的因子，r=degg（x），循环码的维数为n-r。

定义2.3（BCH码）在Fq上码长为n，设计距离为δ的BCH码的生成多项式为：若n=qm-1，则称为本原的BCH码；若b=1，则称为狭义的BCH码。

引理2.1［14］假设循环码C的生成多项式为g（x），若对于正整数b≥0，δ≥1和α∈Fq有

即C的生成多项式g（x）中有连续的δ-1个根，则C的最小距离为δ，这个最小距离δ称为BCH码的设计距离。

分圆陪集是构造量子码的关键，定义如下：

定义2.4（分圆陪集）包含元素s模n的q-元分圆陪集的定义为，其中ms是满足的最小整数。

下面的引理描述了BCH码的Euclidean对偶码的性质。

引理2.2［7］假设Fq上码长为n的循环码C的定义集为Z，且gcd（n，q）=1，C⊥⊆C的充分必要条件是Z∩Z-1=Ø，其中Z-1=｛-z mod n|z∈Z｝。

3.1 构造方法

文章构造量子码的方法基于分圆陪集实现，下面先给出有关分圆陪集的结论。

引理3.1［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则q-

元分圆陪集C［s］只包含一个元素。

引理3.2［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：

（1）对于1≤i≤q-1，每个分圆陪集C［s+i］是彼此不同的。

（2）对于1≤j≤q-1，每个分圆陪集C［s-j］是彼此不同的。

（3）对于1≤i，j≤q-1，分圆陪集C［s+i］和分圆陪集C［s-j］是彼此不同的。引理3.3［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：

（1）对于1≤i≤q-1，每个分圆陪集C［s+i］包含m个元素。

（2）对于1≤j≤q-1，每个分圆陪集C［s-j］包含m个元素。

引理3.4［8］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：

（1）分圆陪集C［s］只包含一个元素s。

（2）分圆陪集C［s-1］包含元素s-q。

（3）分圆陪集C［s+1］包含元素s+q。

引理3.5［7］假设n=qm-1，其中q≥4为素数幂，m= ordn（q）≥3，。若循环码C的生成多项式是最小多项式的乘积，有如下形式：

其中，1≤i，j≤q-1，则循环码C包含它的Euclidean对偶码。

引理3.6［8］（Steane’s构造）设存在两个经典的线性码C1和C2，其中C1=［n，k1，d1］包含其Euclidean对偶码，即；若线性码C1可以扩展为线性码C2=［n，k2，d2］，满足k2≥k1+2，则存在参数为的量子码，其中，。

利用上边的定义和引理，得到了构造非二进制量子码的方法。

定理3.1假设n=qm-1，其中q≥4为素数幂，m= ordn（q）≥3。则存在参数为［［n，n-m（q+c-1）-1，d≥c+3］］q的非二进制量子码，其中1≤c≤q-2。