基于分圆陪集非二进制量子码的构造方法

基于分圆陪集非二进制量子码的构造方法
付盼月;刘伟
【摘要】为了有效克服量子信息处理过程中存在的量子比特消相干,提出了一种基于分圆陪集非二进制量子纠错码的构造方法.分析了分圆陪集的相关性质,确定BCH 码包含其Euclidean对偶码的生成多项式,利用扩展的Calderbank-Shor-Steane (CSS)构造即Steane's构造方法,构造出一批新的非二进制量子码.通过与已有的量子纠错码相比,结果表明,采用基于分圆陪集非二进制量子码构造方法构造的参数更优.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2016(052)009
【总页数】4页(P84-87)
【关键词】分圆陪集;Euclidean对偶码;量子纠错码;Steane's构造方法;非二进制量子码
【作者】付盼月;刘伟
【作者单位】河南科技大学信息工程学院,河南洛阳471023;河南科技大学信息工程学院,河南洛阳471023
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.2
FU Panyue，LIU Wei.
Computer Engineering and Applications，2016，52（9）：84-87.
在量子计算和量子通信中，量子比特与外部环境之间存在着不可避免的相互作用，导致量子比特消相干，克服量子消相干的有效方法就是量子纠错码。

Calderbank，Shor，Steane三个人提出了CSS方法，是构造量子纠错码的重要手段，CSS是
利用经典循环码的对偶或自正交的性质来构造量子纠错码。

BCH码因具有良好的
代数结构和快速的译码算法得到深入的研究，它的维数由其生成多项式的次数得出。

分圆陪集的元素构成了循环码生成多项式根的幂，能够精确计算出BCH对偶码的维数，因此，分圆陪集是利用经典的循环码构造量子纠错码的关键。

文献［1-5］中，研究者们对量子纠错码的理论进行了广泛的研究，其中大多数都是如何构造二进制的量子码，但在实际应用中，对非二进制量子码的研究更有价值。

2002年，马智［6］利用经典BCH码根指数所在的分圆陪集，以及其自正交的性质，构造了一系列的非二进制的量子BCH码。

2009至2014年，Guardia［7-10］从分圆陪集的性质出发，利用Hermitian自正交BCH码和Euclidean自正交BCH码构造量子码，构造了一批参数更优的量子码。

2010年，Fangying Xiao等人［11］研究了分圆陪集的性质，引进了一种方法来判断非本原的BCH码是否包含其对偶码。

2012年，马智等人［12］使用CSS构造方法的扩展，即Steane’s方法，然后利用两个经典的非狭义BCH码，构造了一批非二进制非对称的量子BCH码和子系统BCH码；2013年，Qian J等人［13］利用任意码长
循环码的重复根，构造出一批非二进制量子循环码和非对称的量子循环码。

文章在前人成果的基础之上，研究了在q-元域下分圆陪集的相关性质，并通过分
圆陪集与BCH码包含其Euclidean对偶码的关系，确定了经典BCH码的生成多
项式，利用Stean e’s构造方法，构造出一批参数更优的非二进制量子BCH码。

在量子通信和量子计算中，通过对这些量子码译码，能有效抑制量子消相干。

在文章中，假设q≠2是素数幂，Fq表示包含q个元素的有限域，n为经典纠错码C的码长，在Euclidean构造方式下假设gcd（n，q）=1，C⊥表示经典码C的
Euclidean对偶码。

若C⊆C⊥，码C为自正交码。

m= ordn（q）表示q在模n
下的乘法阶。

假设Z为循环码的定义集，C［a］表示包含元素a的分圆陪集，不
要求a一定为C［a］中的最小元素，当a为C［a］中的最小元素时，C［a］记
为Ca。

定义2.1（最小多项式）若有，β在Fq上的最小多项式定义为满足M（x）=0的
次数最小的首一多项式。

定义2.2（生成多项式）如果C是定义在Fq上码长为n的循环码，在C中存在唯一一个次数最低的首一多项式，即g（x），称为循环码的生成多项式，生成多项
式g（x）为xn-1的因子，r=degg（x），循环码的维数为n-r。

定义2.3（BCH码）在Fq上码长为n，设计距离为δ的BCH码的生成多项式为：若n=qm-1，则称为本原的BCH码；若b=1，则称为狭义的BCH码。

引理2.1［14］假设循环码C的生成多项式为g（x），若对于正整数b≥0，δ≥1和α∈Fq有
即C的生成多项式g（x）中有连续的δ-1个根，则C的最小距离为δ，这个最小距离δ称为BCH码的设计距离。

分圆陪集是构造量子码的关键，定义如下：
定义2.4（分圆陪集）包含元素s模n的q-元分圆陪集的定义为，其中ms是满足的最小整数。

下面的引理描述了BCH码的Euclidean对偶码的性质。

引理2.2［7］假设Fq上码长为n的循环码C的定义集为Z，且gcd（n，q）=1，C⊥⊆C的充分必要条件是Z∩Z-1=Ø，其中Z-1=｛-z mod n|z∈Z｝。

3.1 构造方法
文章构造量子码的方法基于分圆陪集实现，下面先给出有关分圆陪集的结论。

引理3.1［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则q-
元分圆陪集C［s］只包含一个元素。

引理3.2［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：
（1）对于1≤i≤q-1，每个分圆陪集C［s+i］是彼此不同的。

（2）对于1≤j≤q-1，每个分圆陪集C［s-j］是彼此不同的。

（3）对于1≤i，j≤q-1，分圆陪集C［s+i］和分圆陪集C［s-j］是彼此不同的。

引理3.3［7］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：
（1）对于1≤i≤q-1，每个分圆陪集C［s+i］包含m个元素。

（2）对于1≤j≤q-1，每个分圆陪集C［s-j］包含m个元素。

引理3.4［8］假设n=qm-1，其中q≥3为素数幂，m= ordn（q）≥3，，则以下结论成立：
（1）分圆陪集C［s］只包含一个元素s。

（2）分圆陪集C［s-1］包含元素s-q。

（3）分圆陪集C［s+1］包含元素s+q。

引理3.5［7］假设n=qm-1，其中q≥4为素数幂，m= ordn（q）≥3，。

若循环码C的生成多项式是最小多项式的乘积，有如下形式：
其中，1≤i，j≤q-1，则循环码C包含它的Euclidean对偶码。

引理3.6［8］（Steane’s构造）设存在两个经典的线性码C1和C2，其中C1=［n，k1，d1］包含其Euclidean对偶码，即；若线性码C1可以扩展为线性码C2=［n，k2，d2］，满足k2≥k1+2，则存在参数为的量子码，其中，。

利用上边的定义和引理，得到了构造非二进制量子码的方法。

定理3.1假设n=qm-1，其中q≥4为素数幂，m= ordn（q）≥3。

则存在参数为［［n，n-m（q+c-1）-1，d≥c+3］］q的非二进制量子码，其中1≤c≤q-2。

证明设循环码C1为经典的BCH码，其生成多项式为：g1（x）=M（s-q+1）（x）M（s-q+2）（x）…M（s-1）（x）。

由引理3.5可知，C1包含它的Euclidean对偶码。

首先计算循环码C1的最小距离，因为分圆陪集C［s-1］包含元素s-q，所以C1的定义集Z中包含元素｛s-q，s-q+1，…，s-1｝，由引理2.1可知，循环码C1的最小距离d1≥q+1。

其次来
计算循环码的维数，由于循环码定义集元素的个数等于生成多项式的次数，因此，循环码C1的维数k1=n-m（q-1）。

由此得出循环码C1的参数为［n，n-m（q-1），d≥q+1］q。

设循环码C2的生成多项式为：g2（x）=M（s-l）（x）…M（s）（x）M（s+1）（x）…M（s+j）（x），其中1≤l+j=c≤q-2，显然码C2是C1的扩展码，C2定义集Z中包含元素｛s-l，s-l+1，…，s，s+1，…，s+j｝，所以C2的最小距离
d2≥c+2，维数k2=n-mc-1，因此循环码C2的参数为［n，n-mc-1，d2≥c+2］q。

利用引理3.6，可知，因此存在参数为［［n，n-m（q+c-1）-1，d≥c+3］］q
的量子码。

定理3.2假设n=qm-1，其中q≥4为素数幂，m=ordn（q）≥3，则存在参数为［［n，n-m（2q+2j-3）-1，d≥q+j+2］］q的量子码，其中1≤j≤q-2。

证明假设循环码C1的生成多项式为：
循环码C2的生成多项式为：
其中1≤j≤q-2。

根据引理3.5，C1包含它的Euclidean对偶码，因此。

因为陪集
C［s-1］包含元素s-q，所以C1的最小距离d1≥q+j+2。

因为C［s］只有一个
元素，其他的陪集都有m个元素，所以C1的维数k1=nm（q+j-1）-1。

同理得到C2的最小距离d2≥q+j+1，C2的维数k2=n-m（q+j-2）-1。

根据引理3.6，得量子码的维数k=n-m（2q+2j-3）-2，最小距离，因此得到参数为［［n，nm
（2q+2j-3）-1，d≥q+j+2］］q的量子码。

3.2 构造例子
下面通过例子说明如何利用上节的定理构造量子码。

例3.1假设C1和C2都是定义在F5上码长为124的BCH码，即m=3，q=5。

根据定理3.1，假设C1的生成多项式为g1（x）=M（s-4）（x）M（s-3）（x）M（s-2）（x）M（s-1）（x），由于分圆陪集C［s-1］中包含元素s-5，因此
循环码C1的定义集包含了5个连续的根，即最小距离为d≥6。

在循环码C2中，需要满足1≤l+j=c≤3，假设l=1，j=2，所以C2的生成多项式为 g2（x）=M
（s-1）（x）M（s）（x）M（s+1）（x）· M（s+2）（x），可得C2的最小距离为d≥5。

在以上所有的分圆陪集中，除了C［s］中只包含1个元素，其他的每个分圆陪集
中都包含m个元素。

所以C1的维数 k1=n-m（q-1）=112，C2的维数，利用
定理3.1，可得量子码［［124，102，≥6］］5。

例3.2假设C1和C2都是定义在F7上码长为342的BCH码，即m=3，q=7。

由定理3.2可知，j满足1≤j≤q-2，假设 j=5，则循环码C1的生成多项式为g1（x）=M（s-6）（x）…M（s）（x）M（s+1）（x）…M（s+5）（x），由于
分圆陪集C［s-1］中包含元素s-7，因此循环码C1的定义集包含了 j+q+1=13
个连续的根，即最小距离d1≥14，维数k1=n-m（j+q-1）-1=308。

循环码C2
的生成多项式为 g2（x）=M（s-6）（x）…M（s）（x）M（s+1）（x）…M
（s+4）（x），同理可得C2的最小距离d2≥13，维数 k2=n-m（j+q-2）-
1=311。

因此利用定理3.2，得到参数为［［342，277，≥14］］7的量子码。

3.3 码的比较
本节中，将文章构造的量子码的参数与之前文章中已有量子码的参数进行比较，如表1所示。

已有的量子码主要参考文献［7-8，15］。

表1中新的量子码［［n，k，≥d］］q利用Steane’s构造，由定理3.1和定理3.2计算得出的量子码。

文献［7］和文献［15］中采用的也是此构造方法，文献［8］中利用的是CSS构造方法。

量子码［［n，k，≥d］］q，固定码长n，码的性能主要由参数k，d决定，从表1中可以看出，固定参数n，d，新码的维数比
已有文献中量子码的维数更大，因此，本文构造的新的非二进制量子码的参数更优。

本文在对称的量子信道上，利用两个经典BCH码构造了一批新的非二进制量子纠错码。

通过对有限域中分圆陪集性质的分析，选取包含其Euclidean对偶码的生
成多项式，利用Steane’s构造证明了两个定理，得到了新的量子码的构造方法，而且由这两个定理计算得到的非二进制量子码比已有的量子码的参数更优。

因此，在量子通信和量子计算中，本文构造的量子码更有效地保护了量子信息在传输中的完整性和可靠性。

【相关文献】
［1］Steane A M.Simple quantum error correcting codes［J］. Physical Review A，1996，54（6）：4741-4751.
［2］Retter C T.Orthogonality of binary codes derived from Reed-Solomon codes
［J］.IEEE Trans on Inform，1991，37（4）：983-994.
［3］Li Ruihu.Quantum codes constructed from binary cyclic codes
［J］.InternationalJournalofQuantum Information，2004，2（2）：256-272.
［4］Li R，Li X.Binary construction of quantum codes of minimum distance three and four ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2004，50（6）：1331-1336.
［5］Li R，Li X.Binary construction of quantum codes of minimum distances five and six ［J］.Discrete Math，2008，308（14）：1603-1611.
［6］马智.量子纠错码的研究及构造［D］.北京：中国科学技术大学研究生院，2002.
［7］Giuliano G，Guardia L.Construction of new families of nonbinaryquantum codes ［J］.Physical Review A，2009，80：1-11.
［8］Giuliano G，Guardia L，Palazzo R.Constructions of new families of nonbinary CSS codes［J］.Discrete Mathematics，2010，310：2935-2945.
［9］Giuliano G，Guardia L.On the construction of nonbinary quantum BCH codes
［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2014，60（3）：1528-1535.
［10］Giuliano G，Guardia L.On nonbinary quantum nonprimitive non-narrow-sense BCH codes［J］.Information Theory and Its Application，2012，28（31）：450-454.
［11］Xiao Fangying，Chen Hanwu.Cyclotomic cosets and quantum BCH codes ［J］.Natural Computation，2010，6（6）：2961-2964.
［12］Ma Zhi，Leng Riguang.Construcion of new families of nonbinary asymmetric quantum BCH codes and subsystem BCH codes［J］.Physics，Mechanics&Astronomy，2012，54（3）：465-469.
［13］Qian J，Zhang L.Nonbinary quantum codes derived from repeated-root cyclic codes［J］.Modern Physics Letters B，2013，27（8）.
［14］MacWilliams F J，Sloane N J A.The theory of error correcting codes［M］.［S.l.］：North-Holland，1977.
［15］Hamada M.Concatenated quantum codes constructible in polynomial time：efficient decoding and error correction［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（12）：5689-5704.。