初中数学-中考复习(21)：开放型问题

专题复习：开放型问题
一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

考点一：条件开放型
例1：写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）
练习：已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数
k
y
x
图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可
为．（只需写出符合条件的一个k的值）
考点二：结论开放型
例2：请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．
练习：四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）
考点三：条件和结论都开放的问题
例3：如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
练习：如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对
全等三角形，并说明理由．
【课堂讲解】
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．
3．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是
___________．（只填一个即可）
4．若反比例函数y＝k
x
的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k
的值）
5．若函数y=
1
m
x
的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个
即可）．
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．
7. 直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）
8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．
9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是（写出一个x的值即可）
10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．
11．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．
12．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．
13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）
14．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．
15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）
16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t （s）的值为．（填出一个正确的即可）
17．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数
k
y
x
图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可
为．（只需写出符合条件的一个k的值）
18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：；
结论二：；
结论三：．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
20. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
【课堂训练】
1.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABD=∠C
B ．∠ADB=∠AB
C C. C
D CB BD AB = D. AC
AB AB AD =
2. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为23且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（ ）
A ．16
B ．15
C ．14
D ．13
3. 如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．
（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明．
（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．
4. 复习课中，教师给出关于x 的函数y =2kx 2﹣（4kx +1）x ﹣k +1（k 是实数）．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
5. 猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
6. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
2对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
②若正方形ADEF的边长为2
7. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？
答：（填“成立”或“不成立”）
个性化教案（真题演练）
1. （2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）
1对1出门考（_______年______月______日周_____）
1. 写出一个你喜欢的实数k 的值 ，使得反比例函数x
k y 2-=的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．
2. 写出一个x 的值，使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的x 的值是 ．
3. 存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②
当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）．
4. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD
及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得
△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是 ．（不
添加辅助线）．
5. 先化简2
2)1111(2-÷+--x x x x ，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．
6. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：
情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a ，b 所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
评语： 3A 作业：
周一： 周二：
周三： 周四：
周五：
作业要求在 月 日之前完成。