机器人操作臂动力学。
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因为r(t)的顶端正在沿着一个 半径为b的圆移动，r(t)的瞬
时的速度具有模|b||(t)|。因 为b和(t)垂直，他们的叉积
具有模
(t)b (t) b
(6-5)
既然 r(t)=a+b，且a平行于(t), (t)a =0 ，
因此
r(t) (t)b (t)b (t) a (t) (a b) (t) r(t)
R (t )
(t)
r11 r21
r31
r12
(t) r22
r32
r13
(t) r23
r33
为了简化上述表达式，使用下述算子。 如果a和b是3维矢量，那么ab是矢量
a ybz by az
by bz
aybz byaz
axbz bxaz
axby bxay
ab
使用符号“* ”, 我们可以重新把R (t)简化为
R (t
)
(t
)
r11 r21
r31
r12
(t) r22
axbz bxaz
axby bxay
给定矢量a, 定义 a* 是矩阵
0 az
az a y 0 ax
a
y
ax
0
那么，
0 az a y bx
a*b az
a
y
0 ax
ax 0
描写为向量(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3）， (t)量被称做角速度。
线速度： x(t) 和 v(t) 的关系为 v(t)=dx(t)/dt.
如 何 表 达 R(t) 和 (t)
的关系?
图6.3 刚体的线速度v(t)和角速度(t)
让我们回顾一下R(t)的物理的含意。我们知道 R(t)的列告诉我们在时刻t被转换的x，y和z轴 的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换 的x，y和z轴的速度。
既然r(t) 是一个方向，它独立于任 何平移，特别是，dr(t)/dt 独立于 v(t)。
为了研究dr(t)/dt, 我们把r(t) 分解为
矢量a 和 b, 其中a平行于(t)，b垂 直于(t)。
假使刚体保持一个恒定的角速度，
结果r(t)的顶端划出一个中心在(t)
轴上的圆。
这个圆的半径是|b|。因为矢 量r(t)的尖瞬时地是沿着这个 圆移动，r(t)的瞬时的改变是 垂直于b和ω(t)两者的。
为了发现(t)和R(t)之间的关系，我们首先检 查刚体上任意向量的变化与角速度(t)的关系。
图6.4表示了角速度为(t)的一个刚体。
图6.4 旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕(t)轴旋转， 它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|(t)||b|。
考虑在时刻t定义于世界空间的向 量r(t)。假定该向量固定在刚体上， r(t) 与刚体一起在世界空间中移动。
向
1
R(t)0
(6–3)
0
参照式(6–2)中R(t)的元素，有
1 r11
R(t)0
r21
0 r31
是R(t)的第一列。
(6–4)
R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t) 第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第 三列，是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。
r32
r13
(t) r23
r33
根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子
r11 r12 r13
R(t) (t) r21
r22
r23
(t
)
R(t
)
r31 r32 r33
r11 r12 r13
R r21
r22
r23
r31 r32 r33
(6–2)
其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方 向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。
另外， 我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x
轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方
机器人学
第五章 操作臂动力学
课程的基本要求: 掌握空间开链机构动力学建模的牛顿-欧拉递推
动力学方程和拉格朗日方程
5.1 连杆的速度和加速度分析
一、刚体的旋转矩阵及其导数
刚体变换是旋转和平移的组合
为了描述刚体B的位置（Position）和姿态(Orientation)， 通常在B上固接另一坐标系{B}(简称{B})，相对于参考 坐标系{A}。刚体B的位置和姿态（简称位姿Location） 可由{B}相对于{A}的位置和姿态来描述，如图2-1所示。 B的位置可用{B}的坐标原点在{A}中表示的n维位置矢量 p来描述.
如果p0是刚体上的任意一点，在局部坐标系中表示。P0在 全局坐标系的位置p(t)是使p0首先绕原点旋转，然后平移它 得到的计算结果：
p(t)= R(t) p0 + x(t)
(6–1)
其中， x(t)矢量表示刚体移动，3×3矩阵R(t)表示刚体旋转。
刚体B的姿态可用坐标系{B}的n个主轴的方向矢量组成 的n×n阶旋转矩阵R表示，当n＝3时，旋转矩阵R为：
归纳以上所述，在时刻t，我们知道在世
界空间的刚体的x轴的方向是R(t)的第一
列，它是
r11
r21
r31
在时刻t，R(t)的第一列的导数恰恰是这
个矢量的变化率：使用叉积规则，这个
改变是
r11
(t) r21
r3Βιβλιοθήκη Baidu
对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着 我们可以记
r11
r21
r12 r13
r22
和
r23
r31
r32 r33
R [x y z]
刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位 置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心 的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转
时的速度具有模|b||(t)|。因 为b和(t)垂直，他们的叉积
具有模
(t)b (t) b
(6-5)
既然 r(t)=a+b，且a平行于(t), (t)a =0 ，
因此
r(t) (t)b (t)b (t) a (t) (a b) (t) r(t)
R (t )
(t)
r11 r21
r31
r12
(t) r22
r32
r13
(t) r23
r33
为了简化上述表达式，使用下述算子。 如果a和b是3维矢量，那么ab是矢量
a ybz by az
by bz
aybz byaz
axbz bxaz
axby bxay
ab
使用符号“* ”, 我们可以重新把R (t)简化为
R (t
)
(t
)
r11 r21
r31
r12
(t) r22
axbz bxaz
axby bxay
给定矢量a, 定义 a* 是矩阵
0 az
az a y 0 ax
a
y
ax
0
那么，
0 az a y bx
a*b az
a
y
0 ax
ax 0
描写为向量(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3）， (t)量被称做角速度。
线速度： x(t) 和 v(t) 的关系为 v(t)=dx(t)/dt.
如 何 表 达 R(t) 和 (t)
的关系?
图6.3 刚体的线速度v(t)和角速度(t)
让我们回顾一下R(t)的物理的含意。我们知道 R(t)的列告诉我们在时刻t被转换的x，y和z轴 的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换 的x，y和z轴的速度。
既然r(t) 是一个方向，它独立于任 何平移，特别是，dr(t)/dt 独立于 v(t)。
为了研究dr(t)/dt, 我们把r(t) 分解为
矢量a 和 b, 其中a平行于(t)，b垂 直于(t)。
假使刚体保持一个恒定的角速度，
结果r(t)的顶端划出一个中心在(t)
轴上的圆。
这个圆的半径是|b|。因为矢 量r(t)的尖瞬时地是沿着这个 圆移动，r(t)的瞬时的改变是 垂直于b和ω(t)两者的。
为了发现(t)和R(t)之间的关系，我们首先检 查刚体上任意向量的变化与角速度(t)的关系。
图6.4表示了角速度为(t)的一个刚体。
图6.4 旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕(t)轴旋转， 它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|(t)||b|。
考虑在时刻t定义于世界空间的向 量r(t)。假定该向量固定在刚体上， r(t) 与刚体一起在世界空间中移动。
向
1
R(t)0
(6–3)
0
参照式(6–2)中R(t)的元素，有
1 r11
R(t)0
r21
0 r31
是R(t)的第一列。
(6–4)
R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t) 第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第 三列，是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。
r32
r13
(t) r23
r33
根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子
r11 r12 r13
R(t) (t) r21
r22
r23
(t
)
R(t
)
r31 r32 r33
r11 r12 r13
R r21
r22
r23
r31 r32 r33
(6–2)
其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方 向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。
另外， 我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x
轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方
机器人学
第五章 操作臂动力学
课程的基本要求: 掌握空间开链机构动力学建模的牛顿-欧拉递推
动力学方程和拉格朗日方程
5.1 连杆的速度和加速度分析
一、刚体的旋转矩阵及其导数
刚体变换是旋转和平移的组合
为了描述刚体B的位置（Position）和姿态(Orientation)， 通常在B上固接另一坐标系{B}(简称{B})，相对于参考 坐标系{A}。刚体B的位置和姿态（简称位姿Location） 可由{B}相对于{A}的位置和姿态来描述，如图2-1所示。 B的位置可用{B}的坐标原点在{A}中表示的n维位置矢量 p来描述.
如果p0是刚体上的任意一点，在局部坐标系中表示。P0在 全局坐标系的位置p(t)是使p0首先绕原点旋转，然后平移它 得到的计算结果：
p(t)= R(t) p0 + x(t)
(6–1)
其中， x(t)矢量表示刚体移动，3×3矩阵R(t)表示刚体旋转。
刚体B的姿态可用坐标系{B}的n个主轴的方向矢量组成 的n×n阶旋转矩阵R表示，当n＝3时，旋转矩阵R为：
归纳以上所述，在时刻t，我们知道在世
界空间的刚体的x轴的方向是R(t)的第一
列，它是
r11
r21
r31
在时刻t，R(t)的第一列的导数恰恰是这
个矢量的变化率：使用叉积规则，这个
改变是
r11
(t) r21
r3Βιβλιοθήκη Baidu
对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着 我们可以记
r11
r21
r12 r13
r22
和
r23
r31
r32 r33
R [x y z]
刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位 置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心 的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转