2017宝山高三数学二模

上海市宝山区2017届高三二模数学试卷

2017.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合{|0}A x x =>，集合{|1}B x x =<，则A B =

2. 已知复数z 21i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =

3. 函数sin cos ()cos sin x x f x x x

=的最小正周期是 4. 已知双曲线22

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x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为3y x =，则a = 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为

6. 已知x 、y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩

，则2z x y =+的最大值是

7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）的交点个数是 8. 已知函数22,0()log ,01

x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -= 9. 设多项式231(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++*(0,)x n N ≠∈的展开式中x 项的系数为 n T ，则2

lim n n T n →∞= 10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ， 每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则 p =

11. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直 线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为

12. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且 110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 设a 、b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则△PAC 在该正方体各个 面上的射影可能是（ ）

A. ①②③④

B. ①③

C. ①④

D. ②④

15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线

1l 、2l 两侧，

且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，

||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）

A. 15

B. 12

C. 10

D. 9

16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在

距离为2m 的对称点”，设2()x f x x

λ+=(0)x >，若对于任意(2,6)t ∈，总存在正数 m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”

，则实数λ取值范围是（ ） A. (0,2] B. (1,2] C. [1,2] D. [1,4]

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点.

（1）求异面直线EF 和1AA 所成角的大小；

（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.

18. 已知抛物线22y px =(0)p >，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)T t (0)t >且与 抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.

（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；

（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.

19. 对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ① ()f x 在[,]m n 内是单调函数；② 当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n . 则称函数()f x 是区间[,]m n 上的“保值函数”，区间[,]m n 称为“保值区间”.

（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[0,1]上的“保值函数”；

（2）若211()2f x a a x

=+

-(,0)a R a ∈≠是区间[,]m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.

20. 已知数列{}n a 中，11a =，2a a =，+12()n n n a k a a +=+对任意*n N ∈成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .

（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1a =，12

k =-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a 、1m a +、 2m a +按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.

21. 设T R ，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有||t M ≤，则称T 为有界集合， 同时称M 为集合T 的上界.

（1）设121{|,}21

x x A y y x R -==∈+，21{|sin }2A x x =>，试判断1A 、2A 是否为有界集合， 并说明理由；

（2）已知2()f x x u =+，记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=(2,3,)n =⋅⋅⋅，若m R ∈，

1[,)4

u ∈+∞，且*{()|}n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围； （3）设a 、b 、c 均为正数，将2()a b -、2()b c -、2()c a -中的最小数记为d ，是否存在

正数(0,1)λ∈，使得λ为有界集合222

{|d C y y a b c ==++，a 、b 、c 均为正数}的上界， 若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.