高三第四次月考 理科数学

第四次月考试卷

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2

)1(ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）

A.1±

B.1-

C.0

D.1 2．已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =

”，那么p 成立是q 成立的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ． 既不充分又非必要条件 3．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象 如图所示，则ω等于（ ） A ．

13 B ．1 C ．3

2

D ．2

(第3题图 )

4．关于x 的不等式()()0x a x b x c

--≥-的解为12x -≤<或3x ≥，则点(,)P a b c +位于 （A ）第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限 5．在ABC ∆中，若

cos

cos

cos

2

2

2

a b c A

B C =

=

，则ABC ∆的形状是（ ）

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

6．某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这

5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于

514

757512

C +C C C 的是（ ）

A.()1P ξ=

B.()1P ξ≤

C.()1P ξ≥

D.()2P ξ≤

7．如右图,在△ABC 中,13

AN NC −−→

−−

→=,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为

( ) A.

19 B 3

1

C. 1

D. 3

（x 为有理数）

（x 为无理数） 8．定义行列式运算

1234

a a a a =3241a a a a -

．将函数sin 2()cos 2x f x x

=

的图象向左平移6π个单位，以

下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫

⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪

⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

9．函数1()0f x ⎧=⎨⎩ ， 则下列结论错误的是 ( ) A ． ()f x 是偶函数 B ．方程(())f f x x =的解为1x =

C ． ()f x 是周期函数

D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =

10．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则

15

1522

11,,,a S a S a S Λ中最大的项为 .

A 66a S .

B 77a S .

C 99a S .

D 8

8a S

11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满

足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，

OM ON ⋅u u u u r u u u r

的取值范围为 （ ）

A ．[)+∞,12

B ．[]3,0

C ．[]12,3

D ．[]12,0

12．在抛物线)0(52

≠-+=a ax x y 上取横坐标为2,421=-=x x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆36552

2=+y x 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）

A ．)9,2(--

B ．)5,0(-

C ．)9,2(-

D ．)6,1(-

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是

14．对于满足40≤≤a 的实数a ，使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范围是 15．过椭圆左焦点F ，倾斜角为

3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 16．已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,

PC PB PA ,,两两互相垂直，则

球心到截面ABC 的距离为________. 三．解答题：本大题共6小题，共70分.

17．（本题12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，

11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，2

2

b S q =

. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足1

n n

c S =

，求{}n c 的前n 项和n T . 18．（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ. 19．（本题12分）如图6，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点. （1）求证：11AD E B ⊥；

（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1?若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角11A E B A --的大小为30°，求AB 的长.

图6

20．（本题12分）（Ⅰ）已知函数ax x x x f -+=ln )(2

在)1,0(上是增函数,求a 的取值范围;

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设1)(2--=x x

ae e

x g ，∈x []3ln ,0,求)(x g 的最小值.

21．（本题12分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点

（1）写出抛物线2C 的标准方程； （2）若2

1

=

，求直线l 的方程；