齐次线性方程组

x 为 Ax 0 的解向量 ， k 为实数 ， 3.性质2 若 1 则 x k 也是 Ax 0 的解向量 . 1
( A ) k 0 0 . ( k )k 证 A 1 1 由性质 1 .2 可知 ,把 Ax 0全体解向量组成的集 记作 S
构成了一个向量空间 ,称为 Ax 0 的解空间
则 A B 0 B是 A的行最简形矩阵 0
初等行变换
0

b 1, n r b r ,n r 0 0
( 4 )
并令它们依次等于 c ,c , ,c 把 x ,x ， 1 2 n r， r 1, n作为自由未知数 x1 b11 b12 b1, n r 可得 Ax 0 的通解 x b b b r r1 r2 r ,n r x x r 1 c1 1 c 2 0 c n r 0 x 0 1 0 r 2 x n 0 0 1
一 .齐次线性方程组有非零 解的充要条件
二.齐次线性方程组解的结 构
三.齐次线性方程组的如何 求解
一 .齐次线性方程组有非零 解的充要条件
在上一章中 ，我们已经介绍了用矩 阵的初等变
线性方程组的方法 ，建立了有关的重要定 理 ，即
初等行变换
Th 1 : 若 A B ，则 Ax 0 与 Bx 0 同解 Th 2 :n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解
系数矩阵的秩 R ( A ) n
下面我们用向量组线性 相关性理论来讨论齐 线性方程 .
二.齐次线性方程组解的结 构
设有齐次线性方程组
a 11 a 12 a 21 a 22 记 A a a 1 m 2 m

x a x a 0 , a 11 1 12 2 1 nx n a x a x a 0 , 2 11 2 2 2 2 nx n ( 1 ) a x a a x 0 , m 1 1 m 2x 2 mn n a x 1 n 1 a x 2 n 2 则 (1)式可写成矩阵方程 , x Ax 0 ( 2 ) x a mn n 则 ( 1 ) 写成向量方程
另一方面 ，由性质 1 ， 2 可知 ， 基础解系 S0的任何线性组合
x k k k 都是方程 组 Ax 0 的解 ( 叠加原 1 1 2 2 t t
Ax 0 全体解 x k k k | k R , 1 i t 1 1 2 2 t t i
第四章线性方程组
引言
实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后 也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式， 曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。
a1 1x1 a1n xn b 1 复习： 对线性方程组：
或者： Ax b
a x a x b nn n n n1 1

k k k 5定义：称 x 是方程组 Ax 0 的通 1 1 2 2 t t


1 设方程组 x 0 , r ( A ) r ， A m n 不妨设 A的前 r 个列向量线性无关
三.齐次线性方程组的求解
0 1 0 0
b 11 b r1 0 0

x b x b x , 1 11 r 1 1 , n r n 即有同解方程组 x b x b x , r r 1 r 1 r , n r n
n
1

2
0 （ 3 ） x x x 2 2 n n 1 1
1 . 定义：若 x , x , , x 为 Ax 0 的 1 11 2 21 n n 1 11 21 则 x Ax 0的解向量， 1 称为方程组



2.性质1
则 x 也是 Ax 0 的解向量 . 1 2 证 只要验证 x 满足方程 Ax 0 ： 1 2 A A 0 0 0 . A ( ) 1 2 1 2
n1 若 x ,x 为 Ax 0 的两个解 向量， 1 2
我们有Cramer法则：当且仅当 det( A )0有唯一解，而且解为：
a a a 11 1 i 1 b 1 a 1 i 1 1 n D i x D det( A ), D det i , i D a a b a a n 1 n 1 i n n 1 i n n
但Gram法则在实际操作中不能用于计算方程组的解， 如n＝20的行列式，108次乘法/秒的计算机要算一万四千多年！ 解线性方程组的方法可以分为2类： ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 ②迭代法：速度快，但有误差（第二节附录给出Jacobi迭代法） 本章讲解直接法的理论基础！
4.1齐次线性方程组
4 . 定义： Ax 0 解空间的任一组基称 Ax 0 的一组基 （即：Hale Waihona Puke Baidu次线性方程组 的解集的极大无关组 为该 齐次线性方程组的基础 解系 . ）
S ： ， ， ， ， 如果解空间 S 的一个基础解系 0 1 2 t

那么方程组 Ax 0 的任一解都可由 S 线性表 ； 0