第3章_随机信号的频域分析

析平稳随机信号的一个最重要最基本的公式。
由于平稳随机信号 X (t ) 的自相关函数 RX (τ ) 是τ 的偶函数 RX (−τ ) = RX (τ )
所以 GX (ω ) = GX (−ω ) —— GX (ω ) 也是ω 的偶函数。
∫ ⎧⎪GX (ω)
=
2
∞ 0
RX
(τ
)
cos
ωτ
dτ
∫ 因此维纳—辛钦公式（定理）又可写成
E
⎡ ⎣
XT
(ω
,
ξ
)
2
⎤ ⎦
d
ω
=
1 2π
+∞ −∞
GX
(ω
)dω
同理随机信号 X (t ) 的功率谱密度 GX (ω ) 为：
GX
(ω
)
=
E
⎡⎣GX
(ω ,ξ k
)⎤⎦
=
E
⎡ ⎢⎣
lim
T →∞
1 2T
XT
(ω,ξk
)
2
⎤ ⎥⎦
=
lim
T →∞
1 2T
E
⎡ ⎣
XT
(ω,ξk
)
2
⎤ ⎦
=
lim
T →∞
2．随机信号的样本的平均功率及功率谱密度
（1）样本函数的平均功率 Pξk
由于 XT (t,ξ ) 为一能量信号，所以由帕斯瓦尔功率守恒定律有：
∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Pξk
= lim 1 T →∞ 2T
T
−T X k
t,ξk
2dt = 1 2π
+∞
1
lim
−∞ T →∞ 2T
X kT
ω,ξk
+∞
s
t
e− j2π ft dt
−∞
−∞
∫ ∫ （反变换）信号 s(t) = 1
+∞ S (ω ) e jωt dω
或 s(t) =
( ) +∞
S
f
e j2π ft df
2π −∞
−∞
对于上述实能量信号，由傅里叶变换对可得
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] E =
+∞ s(t) 2 dt =
−∞
+∞
s(t) ⋅ s(t)dt =
2 dω =
+∞
1
lim
−∞ T →∞ 2T
X kT
f ,ξk
2 df
式中： Pξk 是 X (t,ξk ) 中某个样本函数的平均功率。
（2）样本函数的功率谱密度 Gk (ω,ξk ) /GX ( f ,ξk )
Gk
(ω,ξk
)
=
lim
T →∞
1 2T
X
kT
(ω,ξk
)
2
或
Gk
(
f
,ξ k
)
=
lim
所以随机信号的样本函数为功率信号，即随机信号为功率信号。 2．能量信号的能量谱（密度）（Energy Spectral Density ESD）
设能量信号 s (t ) 是时间 t 的非周期实函数，其傅里叶变换存在的条件是：
① s (t ) 在 (−∞, ∞) 范围内满足狄利克利条件（只有有限间断点）；
∫ ∫ ② ∞ s (t ) dt < ∞ （绝对可积）的等价条件为 +∞ s(t) 2 dt < ∞ （信号 s (t ) 的总能量有限）。
−∞
−∞
若 s (t ) 满足上述条件，则有傅里叶变换对存在：
∫ ( ) ∫ ( ) （正变换）频谱 S(ω) =
+∞
s
t
e− jωt dt
或
S( f ) =
T →∞
1 2T
XT ( f ,ξk ) 2
[物理含义] Gk (ω,ξk ) /Gk ( f ,ξk ) 代表了随机信号 X (t ) 的某一样本函数 x (t,ξk ) 在单位
频带内消耗在 1 Ω 电阻上的平均功率。
3．随机信号的平均功率及功率谱（密度）
若对 X (t ) 中所有样本函数的 Pξk （对所有的 ξk ）取统计平均，则有随机信号 X (t ) 的总平
2π −∞
−∞
∫ ∑ Pn
=
1 T0
T0 2 −T0 2
s2 (t)dt
=
∞ n=−∞
Cn
2
→
周期信号帕斯瓦尔定理
其中 Cn 为周期信号第 n 次谐波（其频率为 nf0 ）的振幅，因此 Cn 2 是第 n 次谐波的功率
∞
∑ P ( f ) = Cn 2δ ( f − nf0 ) → 周期信号的功率谱（密度） n=−∞
−∞
+∞ −∞
s(t
)
⋅
⎡ ⎢⎣
1 2π
+∞ −∞
s
(ω
)
e
jωt
dω
⎤ ⎥⎦
dt
∫ ∫ ∫ = 1
2π
+∞ −∞
s
(ω
)
⋅
⎡ ⎢⎣
+∞ −∞
s
(t
)
e
jωt
dt
⎤⎥⎦dω
=
1 2π
+∞ s (ω ) s∗ (ω )dω
−∞
∫ ∫ ∫ = 1 +∞ s(ω) 2 dω 或E = +∞[s(t)]2 dt = +∞ s( f ) 2 df
率在频域上的分布 ⇒ 功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)。功率谱密度指“单位
带宽上的平均功率”。
3.1实随机信号（分析）的功率谱密度 【确知信号频域分析补充】★ 1．信号分析中信号的分类
∫ 信号 s (t ) 的能量 E = lim +T s(t) 2 dt ≥ 0 T →∞ −T
⎨ ⎪ ⎩
RX
(τ
)
=
1 π
∞ 0
GX
(ω
)
cos
ωτ
dω
【维纳-辛钦定理的证明】
3-4
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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图3.2 维纳-辛钦定理推导中的变量置换过程
将傅氏变换定义代入式 GX
(ω)
=
lim
T →∞
1 2T
E
⎡ ⎣
XT
(ω )
2 ⎤ ，有 ⎦
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) GX
且 是 随 机 的 。 因 此 X kT (t ) 和 X kT (ω ) / X kT ( f ) 也 都 是 试 验 结 果 ξk 的 随 机 函 数 。 即
XkT (t ) = X kT (t,ξk ) , XkT (ω ) = XT (ω,ξk )或X kT ( f ) = XT ( f ,ξk ) 。
均功率 P 为：
3-3
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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∫ ∫ P
=
E
[ Pk
]=
lim
T →∞
1 2T
T −T
E
⎡ ⎣
xk
(t , ξ k
)
2
⎤⎦d t
= lim 1 T → ∞ 2T
T −T
E
⎡ ⎣
X
(
t
)
2
⎤ ⎦
d
t
∫ ∫ = 1
2π
+∞
1
lim
−∞ T → ∞ 2T
由信号与系统课程知：一个能量无限而功率有限的确知信号的时间相关函数 Rs (τ ) 与 其功率谱密度 G(ω) 互为傅里叶变换对， Rs (τ ) ←⎯F.T⎯.→Gs (ω ) (参见郑君里等的《信号与
系统》)。对于平稳随机过程，是否也存在这种关系呢？ 1．维纳-辛钦定理(Winener-Khinchin Theorem)
∫ E = +∞ s2 (t)dt −∞
∫ ∫ 信号 s (t ) 的平均功率 P = lim 1 T s(t) 2 dt ≥ 0 P = lim 1 T s2 (t)dt
T →∞ 2T −T
T →∞ 2T −T
规定： 0 < E < ∞ P → 0 → 能量信号 ； E → ∞ 0 < P < ∞ → 功率信号。 由于随机信号的样本函数的持续时间无限，即 E → ∞ ,但它们的平均功率却是有限的，
定 义 E (ω ) = s(ω) 2 J / rad / s) 或 E ( f ) = s( f ) 2 ( J Hz ) 为 能 量 信 号 的 能 量 谱 密 度
(ESD)。 3．功率信号的功率谱（密度）(Power Spectral Density PSD)
P (ω ) = lim 1
T →∞ 2T
1 2T
E
⎡ ⎣
XT
(ω
)
2
⎤ ⎦
=
lim
T →∞
1 2T
E
⎡ ⎣
XT
(
f
)
2
⎤ ⎦
GX (ω ) 表示了随机信号 X (t ) 的各个不同频率上的单位频带内消耗在 1 Ω 电阻上的平 均功率，同时描述了随机信号 X (t ) 的各个平均功率在各个频率上的分布状况。
3.1.2 实平稳随机信号(过程)的功率谱密度与自相关函数之间的关系
ω
=
lim
E
⎧ ⎨
1
T →∞ ⎩ 2T
T
−T XT
t1
e− jωt1 dt1
T
−T XT
t2
e
−
jωt2
dt2
⎫ ⎬ ⎭
∫ ∫ { ( ) ( )} = lim 1
T →∞ 2T
TT
E
−T −T
X t1 X t2
e− jω(t1−t2 )dt1dt2
将上式的积分变量变换成 t = t2 和 τ = t1 − t2 ，则τ ∈[−2T , 2T ] ， t 在直线 −T −τ 和
2π −∞
−∞
−∞
3-1
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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∫ ∫ ∫ 可得 +∞ s2 (t)dt = 1 +∞ s(ω) 2 dω = +∞ s( f ) 2 df ——帕斯瓦尔能量守恒定理
−∞
2π −∞
−∞
因此，定义能量实函数 s (t ) 的能量谱密度为 s(ω) 2 ，也称能量谱。
3.1.1 实随机信号（过程）的功率谱密度 分析思路：随机过程的样本函数是确知的功率信号，故分析可以从样本函数的功率谱开始； 但样本函数的功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，对其取统计平均为整个 随机信号的功率谱。 1、随机信号的截断（短）函数
xk (t) xkT (t)
−T
o
T
t
3.1 随机信号的截断信号
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《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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从随机信号 X (t ) 抽取任一样本函数 xk (t ) ，对 x (t ) 任意截取一段，长度为 2T，并记为
xT (t ) ，并称 xT (t ) 为 x (t ) 的截取（截断（短））信号。如图 3.1 所示。
截取函数表达式为：
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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第三章 随机信号的频域分析(4 课时)
对确定信号可以采用傅立叶变换工具来实现确定信号的频域分析，得到频谱分布。对随
机信号是否也能应用傅立叶变换呢？随机信号也有频谱概念？在一般意义下，信号持续时间
无限，故能量无限，因此多考虑单位时间内的能量即功率(功率有限)，因此主要考虑平均功
⎧ ⎨ ⎩
1 2T
0
R −2T X
τ e− jωτ dτ T dt + −T −τ
2T
0 RX
τ e− jωτ dτ
T
−τ
dt
⎫ ⎬
−T ⎭
∫ ∫ =
lim
⎧ ⎨
T →∞ ⎩
0 −2T
⎛ ⎜⎝
2T +τ 2T
⎞ ⎟⎠
RX
(τ
) e−
jωτ
dτ
+
2T 0
⎛ ⎜⎝
2T −τ 2T
⎞ ⎟⎠
RX
(τ
) e−
平稳随机信号 X (t ) 的自相关函数 RX (τ ) 与其功率谱密度 GX (ω ) 之间是一对傅里叶变
∫ ∫ 换对，即
⎧⎪GX
⎨
⎪ ⎩
RX
(ω) = +∞ −∞
(τ
)
=
1 2π
RX
+∞ −∞
(τ )e− jωτ dτ GX (ω)e jωτ
dω
维纳—辛钦定理给出了平稳随机信号 X (t ) 的时域特性和频域特性之间的联系，也是分
jωτ
dτ
⎫ ⎬ ⎭
∫ ( ) = lim T →∞
2T ⎛ 2T − τ
−2T
⎜ ⎝
2T
⎞ ⎟RX ⎠
τ
e− jωτ dτ
∫ 当T → ∞ 时， τ (2T ) → 0 ，若相关函数绝对可积 ∞ R (τ )dτ < ∞ ，上式可简化为 −∞
②信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数：对其在整个频率范围内进行积分以后，就是 信号的总功率；它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况。
∫ ∫ ∫ P = lim 1 T s2 (t)dt = 1 +∞ P (ω )dω = +∞ P ( f )df → 帕斯瓦尔功率守恒定理
T →∞ 2T −T
(t)
=
1 2π
( ) +∞
X −∞ kT
ω
e jωt dω
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) XkT
f
=
+∞
X −∞ kT
t
e− j2π ft dt =
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−T xk
t
e− j2π ft dt
( ) ∫ ( ) +∞
X kT t = X −∞ kT
f
e j 2π ft df
由于 xk (t ) 是随机过程 X (t ) 的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果ξk ，
xkT
(t
)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
xk 0
(t
)
t ≤T t >T
对 xkT (t ) 其持续时间有限，满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在，故 X kT (t ) 为能量
信号，有下列成立。
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) XkT
ω
=
+∞
x −∞ kT
t
e− jωt dt =
T
−T xk
t
e− jωt dt
∫ xkT
ST (ω) 2
(W
rad / s) 或 P ( f ) = lim 1
T →∞ 2T
ST ( f ) 2
(W H z )
其中 ST (ω) 或 ST ( f ) 为功率信号 s (t ) 的截短（断）信号 ST (t) 的傅里叶变换。
【说明】
①功率谱密度用 P (ω ) 或者 P ( f ) 更为通用，但课本采用 G (ω ) 或者 G( f ) 来表示。
T −τ 之间变化，这一二重积分变换的积分范围变换如图3.2所示。积分分成两个区域，ACD
区域内，τ ∈[−2T , 0] ，t ∈[−T −τ ,T ] ，在ACB 区域内,τ ∈[0, 2T ], t ∈[−T ,T −τ ] 。因此
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) GX
ω
=
lim
T →∞