2019年江苏常州中考数学试题(解析版)

2019年江苏省常州市中考数学试题
时间：120分钟 满分：120分
{题型：1-选择题}一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
{题目}1．（2019年常州）－3的相反数是（ ）
A ．
13 B ．－1
3
C ．3
D ．－3 {答案}C
{解析}本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此
本题选C ． {分值}2
{章节：[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义}
{类别:常考题}
{难度：1-最简单}
{题目}2．（2019年常州）若代数式
1
3
x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ≠－1 D ．x ≠3
{答案}D
{解析}本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x －3≠0得x ≠3，因此本题选D ． {分值}2
{章节:[1-15-1]分式} {考点:分式的意义}
{类别:常考题}
{难度：1-最简单}
{题目}3．（2019年常州）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A ．3圆柱
B ．正方体
C ．圆锥
D ．球
{答案}A
{解析}本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A ． {分值}2
{章节：[1-29-2]三视图} {考点：几何体的三视图}
{类别:常考题}
{难度：1-最简单}
{题目}4．（2019年常州）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）
A ．线段PA
B ．线段PB
C ．线段PC
D ．线段PD
第3题图
{答案}B
{解析}本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是PB ，因此本题选B ． {分值}2
{章节:[1-5-1-2]垂线} {考点:垂线的性质} {考点:点到直线的距离}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}5．（2019年常州）若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为（ ）
A ．2﹕1
B ．1﹕2
C ．4﹕1
D ．1﹕4
{答案}B
{解析}本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC 与△A B C '''的周长的比为1﹕2，因此本题选B ． {分值}2
{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:相似三角形的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}6．（2019年常州）下列各数中与2＋3的积是有理数的是（ ）
A ．2＋3
B ．2
C ．3
D ．2－3 {答案}D
{解析}本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2＋3)(2－3)＝1，因此本题选D ． {分值}2
{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:分母有理化}
{考点:二次根式的乘法法则} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}7．（2019年常州）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以
为（ ）
A ．－2
B ．－
12 C ．0 D ．12
{答案}A
{解析}本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ．
第4题图
D
C B A
P
{分值}2
{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明} {考点:推理与证明} {考点:反证法}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}8．（2019年常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．
某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极 差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
{答案}B
{解析}本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． {分值}2
{章节:[1-19-1-2] 函数的图象} {考点:函数的图象} {考点:极差}
{考点:分段函数的应用} {考点:代数选择压轴}
{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义} {难度:5-高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
{题目}9．（2019年常州）计算：a 3÷a ＝__________． {答案}a 2
{解析}本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－
1＝a 2，因此本题答案为a 2． {分值}2
{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}
y 1
t
10
20244285140第8题图
A ．
B ．
C ．
D ．
98
024y 2t
98
24y 2
t 98
024y 2
t t y 22498
{考点:同底数幂的除法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}10．（2019年常州）4的算术平方根是__________．
{答案}2
{解析}本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2．
{分值}2
{章节:[1-6-1]平方根}
{考点:算术平方根}
{类别:常考题}{类别:易错题}
{难度:1-最简单}
{题目}11．（2019年常州）分解因式：ax2－4a＝__________．
{答案}a(x＋2)(x＋2)
{解析}本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax2－4a＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x＋2)，因此本题答案为a(x＋2)(x＋2)．
{分值}2
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解－提公因式法}
{考点:因式分解－平方差}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}12．（2019年常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．
{答案}55°
{解析}本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°．
{分值}2
{章节:[1-4-3-3]余角和补角}
{考点:互余}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}13．（2019年常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．
{答案}5
{解析}本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．
{分值}2
{章节:[1-2-2]整式的加减}
{考点:代数式求值}
{类别:思想方法}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}14．（2019年常州）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．
{答案}5
{解析}本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点
P(－3，4)5，因此本题答案为5．
{分值}2
{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:平面直角坐标系} {考点:点的坐标}
{考点:点的坐标的应用}
{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}
{题目}15．（2019年常州）若1
2x y =⎧⎨=⎩
是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a ＝__________．
{答案}1
{解析}本题考查了二元一次方程的解的定义，将1
2
x y =⎧⎨
=⎩代入方程ax ＋y ＝3，得a ＋2＝3，a ＝1，因此本题答
案为1． {分值}2
{章节:[1-8-1]二元一次方程组} {考点:二元一次方程的解} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}16．（2019年常州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__________°．
{答案}30
{解析}本题考查了圆周角定理，∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30． {分值}2
{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理}
{考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}17．（2019年常州）如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相
切．连接OC ，则tan ∠OCB ＝__________．
第16题图
O D C
B
A
{答案}
35
{解析}本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O 与BC 边相切于点D ，连接OB 、OD ．由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，再由切线长定理易求∠OBC ＝30°，而OD ＝3，从而由
tan ∠OBD ＝
OD
BD
，得BD ＝3tan 30 ＝3，于是CD ＝BC －BD ＝8－3＝5．在Rt △OCD 中，由正切函数定义，
得tan ∠OCB ＝OD
CD
＝35．因此本题答案为35．
{分值}2
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:切线长定理} {考点:正切}
{考点:解直角三角形} {类别:高度原创} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}
{题目}18．（2019年常州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC
上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．
{答案}6
{解析}本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC
第17题图
O C
B
A
O C B
A
D
第17题答图
第18题图
P
E
D
A
上，CE ＝2BE ”，求得PD ＝
3102，CE ＝210，这样由tan ∠DEC ＝1
2
DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△
DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =
，即3
10
21010
=，得PH ＝3
2，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．
{分值}2
{章节:[1-17-1]勾股定理} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {章节:[1-18-2-1]矩形}
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:勾股定理}
{考点:等边三角形的性质} {考点:等边三角形的判定} {考点:矩形的性质}
{考点:相似三角形的性质} {考点:由平行判定相似} {考点:正切}
{考点:几何填空压轴} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:5-高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
{题目}19．（2019年常州）（8分）计算：（1）0121()(3)2
π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ． {解析}本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． {答案}解：（1）原式＝1＋2－3＝0；
（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． {分值}8
{章节:[1-6-3]实数}
{章节:[1-2-2]整式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题}
{考点:单项式乘以多项式} {考点:平方差公式}
H
N
M
P E
D
C
B
A
第18题答图
{题目}20．（2019年常州）（6分）解不等式组10
38x x x +>⎧⎨
-≤-⎩
并把解集在数轴上表示出来．
{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助
数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． {答案}解：不等式①的解集为x ＞－1；
不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，
4x ≤8， x ≤2．
∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：
{分值}6
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}
{考点:解一元一次不等式组}
{考点:在数轴上表示不等式的解集}
{题目}21．（2019年常州）（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD
相交于点E ．
（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．
{解析}本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形
上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．
{答案}解：（1）AC '∥BD ；
（2）EB ＝ED ．理由如下：
由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．
∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ．
第20题答图
-4-3-2-14
32
10第21题图
第21题答图
∴EB＝ED．
{分值}8
{章节:[1-13-1-1]轴对称}
{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}
{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:折叠问题}
{考点:等角对等边}
{考点:平行四边形角的性质}
{题目}22．（2019年常州）（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
{解析}本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数．
{答案}解：（1）30，10；
（2）x ＝561011158205
30
⨯+⨯+⨯+⨯
＝
360
30
＝12（元）；
（3）∵12×600＝7200（元），
∴估计该校学生的捐款总数为7200元．{分值}8
{章节:[1-10-1]统计调查}
{章节:[1-20-1-1]平均数}
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{难度:2-简单}
{类别:思想方法}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{考点:总体、个体、样本、样本容量}
{考点:用样本估计总体}
{考点:条形统计图}
{考点:加权平均数（频数为权重）}
第22题图
11
8
6
5
20
15
10
5
0/元人数
{题目}23．（2019年常州）（8分）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸
片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个
盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
{解析}本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决． {答案}解：（1）
23
； （2）现画树状图如下：
由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼
成的图形是轴对称图形)＝
26＝13
． {分值}8
{章节:[1-25-1-2]概率}
{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2-简单} {类别:常考题}
{考点:概率的意义} {考点:一步事件的概率} {考点:两步事件不放回}
{题目}24．（2019年常州）（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做
120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
{解析}本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．
{答案}解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得
180120
30x x
=
-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12．
答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． {分值}8
第23题图
1
1
1
C B
A
第23题答图
(C,B)
(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始
A
B
C A
C C
B A
{章节:[1-15-3]分式方程}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{类别:易错题}
{考点:分式方程的应用（工程问题）}
{题目}25．（2019年常州）（8分）如图，在□ABCD中，OA＝22，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点
D是BC的中点，反比例函数y＝k
x
（x＞0）的图像经过点A、D．
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．
{解析}本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE．由OA＝22，∠AOC＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF＝AF＝2，从而A(2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k＝4．（2）由中点公式，易求点E的坐标，
从而D点的横坐标与E点相同，在y＝4
x
，将点E的横坐标代入可求y的值，从而求出点D的坐标．
{答案}解：（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE，则AF⊥x轴于点F．在Rt△AOF中，OA＝22，∠AOC＝45°，可得OF＝AF＝2，从而A(2，2)．
∵反比例函数y＝k
x
（x＞0）的图像经过点A、D，
∴k＝2×2＝4．
（2）∵O(0，0)，A(2，2)，
∴线段OA的中点E的坐标为(1，1)．
∵在y＝k
x
中，当x＝1，y＝4，
∴点D的坐标为(1，4)．
第25题图
y
x O
D
C
B
A
{分值}8
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {难度:3-中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题}
{考点:反比例函数的解析式} {考点:反比例函数的图象} {考点:等腰直角三角形} {考点:平行四边形边的性质}
{题目}26．（2019年常州）（10分）
【阅读】
数学中，常对同一个量．．．．
（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一
个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2
＝___________________________．
【运用】
（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角
形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．
①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；
第25题答图
F
E y
x
O
D C
B
A
图26—1
a
b
c c
b
a
图26—2
②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量．．．．
用算两次的方法说明你的猜想成立．
{解析}本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． {答案}解：（1）∵S 梯形＝
12(a ＋b )(a ＋b )＝1
2
(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋1
2
c 2，
∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋1
2
c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．
结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；
②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．
{分值}10
{章节:[1-11-3]多边形及其内角和} {章节:[1-17-1]勾股定理} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:数学文化} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {类别:新定义}
{考点:多边形的内角和}
图26—3 图26—4
第26题答图
{考点:勾股定理的证明} {考点:新定义}
{题目}27．（2019年常州）（10分）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于
点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；
（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存
在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝
2S △QRB ，求点P 的坐标．
{解析}本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC 、BD 的解析式，然后令P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－
12
m ＋3
2
)，再利用PM ＝MN ＝NH ，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点Q 纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标． {答案}解：（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像过点A (－1，0)，
∴0＝－(－1)2－b ＋3． ∴b ＝2．
（2）如答图1，连接BD 、BC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 、BD 分别于点M 、N ．
∵抛物线
y ＝－x 2＋2x ＋3
交x 轴于点A (－1，0)、B (3，0)，交y 轴于点C (0，3)，且点D 为
OC 的中点，
第27题图 第27题备用图
x
O D
C B
A y x
O D
C B
A y
J K R Q
P
x
O D
C B
A
y
第27题答图2
H
N M P x
O
D
C B
A y 第27题答图1
∴D (0，
32
)． 易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋32
． 假设存在符合条件点P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋3
2
)．
∵PM ＝MN ＝NH ，
∴－
12m ＋3
2
＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)． 整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝1
2
，m 2＝3（不合题意，舍去）．
∴P (12，15
4
)即为所求的符合条件的点．
（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ． ∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，
∴△RQJ ∽△RPK ．
∴
1
3
QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．
设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－
12x ＋3
2
，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．
由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得222355
1955x n y n ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(219
55
n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍
去）．
当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点． {分值}10
{章节:[1-19-2-2]一次函数}
{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} { {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:常考题} {类别:易错题}
{考点:解一元二次方程－因式分解法} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:其他二次函数综合题} {考点:相似三角形的应用} {考点:代数综合}
{考点:几何综合}
{题目}28．（2019年常州）（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：________；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于
⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
{解析}本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．
{答案}解：（1）①2（直径是圆的宽距）；
②5＋1．（如答图1，点A 与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）
（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．
S阴影＝2(
2
1202
360
π⋅
－
1
231
2
⋅⋅)＝
8
23
3
π
-．
②23－1≤x≤35－1或1－35≤x≤1－23．
B
A
x
y
O1
-1
1
-1
图28—2
图28—1
O D
C
B
A
第28题答图1
B
A
x
y
O
1
-1
1
-1
{分值}10
{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {章节:[1-24-1-1]圆} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:数学文化} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {类别:新定义}
{考点:平面直角坐标系} {考点:两点间的距离公式} {考点:点与圆的位置关系} {考点:新定义} {考点:代数综合} {考点:几何综合}
第28题答图3 第28题答图4
A
B O
x
y
M
C
N N C
M
y
x
O
B
A。