数学中的概率分析之伯努利大数定律
伯努利定理 概率论
伯努利定理概率论伯努利定理是概率论中的一项重要定理，它描述了在随机试验中，某个事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
本文将从概率论的角度对伯努利定理进行详细解析。
一、伯努利试验的概念伯努利试验是指满足以下条件的随机试验：1. 试验只有两个可能结果，分别记为事件A和事件A的对立事件非A；2. 每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果；3. 每次试验中事件A发生的概率为p，非A发生的概率为1-p。
二、伯努利定理的表述根据伯努利试验的定义，我们可以得到伯努利定理的表述：在n次独立重复进行的伯努利试验中，事件A发生k次的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
三、伯努利定理的应用伯努利定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 二项分布当伯努利试验重复进行n次时，事件A发生k次的概率符合二项分布。
二项分布可以用来描述多次重复试验中事件发生次数的概率分布。
2. 投硬币问题将一枚硬币抛掷n次，每次出现正面的概率为p。
根据伯努利定理，我们可以计算出在n次抛掷中，出现k次正面的概率。
3. 赌博问题在赌博中，常常需要计算在多轮游戏中获胜的概率。
如果每轮游戏中获胜的概率为p，那么根据伯努利定理，我们可以计算出在n轮游戏中获胜k次的概率。
四、伯努利定理的意义伯努利定理是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机试验中事件发生的规律。
通过应用伯努利定理，我们可以计算出各种概率问题的解答，帮助我们更好地理解和分析概率事件。
除了伯努利定理，还有一些与之相关的概率定理，如大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋近于事件发生的概率。
中心极限定理则指出，当试验次数足够多时，多次试验结果的平均值将近似服从正态分布。
伯努利定理是概率论中的重要定理，它描述了在伯努利试验中事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
数学中的概率分析之伯努利大数定律
三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
概率论中的大数定律分析
概率论中的大数定律分析在概率论中，大数定律是一组重要的数学定理，描述了随机变量序列的极限行为。
它们告诉我们，随着样本容量的增大，随机事件的平均结果趋向于确定的常数。
本文将对大数定律进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、初识大数定律大数定律最早可以追溯到十七世纪的赌博问题。
法国数学家帕斯卡和费马独立地思考了在赌博中连续成功的概率，并提出了类似的解决方法。
可以说，大数定律的研究源远流长。
二、大数定律的基本原理大数定律的基本原理可以归结为以下两种形式：辛钦定律（辛钦大数定律）和伯努利定律（伯努利大数定律）。
1. 辛钦定律辛钦定律是较早被证明的一种大数定律，其内容是：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列的期望值存在有限，即 E(Xᵢ) = μ，其中i = 1,2,...,n，那么对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - μ| < ε) = 1这意味着样本均值的极限等于总体均值，当n趋近于无穷大时。
辛钦定律的一个重要应用是该定律能够反映频率与概率的关系。
2. 伯努利定律伯努利定律是概率论中另一种重要的大数定律，描述了在独立重复试验中，事件发生的频率接近其概率。
该定律可以表示为：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列中事件A发生的概率为p，则对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - p| < ε) = 1这意味着在重复独立的试验中，事件A发生的频率将趋近于其概率p，当n趋近于无穷大时。
伯努利定律是大数定律中最为经典的定律之一。
三、大数定律在实际应用中的重要性大数定律在许多领域中都有着广泛的应用，例如金融、统计学、物理学和工程学等。
在金融领域中，大数定律被应用于风险管理和投资决策。
通过对金融市场中的样本序列进行分析，可以推断出未来市场走势，帮助投资者做出较为准确的决策。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
伯努利Bernoulli大数定律
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望.
当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 期望
可被
算术 均值
近似代替
二、中心极限定理
定 林德伯格-列维中心极限定理 理 (Lindeberg-levi) 一 [ 独立同分布的中心极限定理 ]
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson分布近似计算
取 = 1000
P X 1 0.01
6000 6
P940 X 1060
1059 1000k e1000
k 941
k!
0.937934
例： 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
E(Yn
)
1
2
pq n
故
lim
n
P
n
n
p
0
伯努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
n n“稳定于”事件A在一次试验中发生
的概率是指：
频率 n
n
与
p
有较大偏差
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律包括切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。
切比雪夫大数定律是最一般的大数定律，它要求随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
这个定律在现实生活中很多场景都能体现，例如在大量的抛硬币实验中，正面向上的频率会接近于理论概率1/2。
辛钦大数定律则是随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
这个定律为依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
这三个定律都是描述在大量重复实验中，某一事件发生的频率趋于稳定，并且可以用来估计其概率。
大数定理和中心极限定理
大数定理概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
表现形式大数定律有若干个表现形式。
这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：∙切比雪夫大数定理设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望和方差。
若存在常数C使得：则对任意小的正数ε，满足公式一：将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
∙伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
∙辛钦大数定律辛钦大数定律：常用的大数定律之一设{，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：、中心极限定理中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
伯努利大数定律表达式
伯努利大数定律表达式
伯努利大数定律是概率论中的一个重要定律，它是由美国数学家贝尔法兹伯努利提出的，是指当一个随机实验重复N次，其结果出现某一特定结果的概率是收敛于某一常数的过程。
这条定律可以用来研究概率的变化趋势，也可以用来推导概率的预测结果。
伯努利大数定律的具体表达式为：在N次独立重复的实验中，实验结果为某一特定结果的概率收敛于某一常数P，其公式为：P=lim(n→∞)Pn，其中Pn代表n次实验中出现特定结果的概率。
伯努利大数定律也可以用来计算一系列试验中期望出现的次数，假设N次试验中期望出现特定结果的次数为Np，那么Np的概率就可以由伯努利大数定律来计算，公式为：Np=N×P。
伯努利大数定律在现代概率论中具有重要的意义，它既可以用来推导概率的变化趋势，也可以用来计算一系列试验中期望出现的次数，它是概率论中重要的理论基础。
伯努力大数定理
伯努力大数定理
伯努利大数定律是概率论中的一个重要定理，描述了在独立随机事件的长期重复中，随着实验次数的增加，事件发生的频率会越来越接近于它们各自的概率。
具体地说，设$X_1,X_2,\ldots,X_n$是$n$个相互独立的随机变量，每个随机变量的取值都是$0$或$1$，且$P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$。
那么对于任意正数$\epsilon$，有：也就是说，当$n$很大时，样本均值$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}$接近于概率$p$，并且误差不超过$\epsilon$的概率趋近于$0$。
伯努利大数定律在统计学、经济学、金融学等领域都有广泛应用，是许多概率论和统计学中的基础性定理之一。
概率论十大经典定理？
概率论十大经典定理？1、伯努利大数定律：伯努利大数定律，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).⒈当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性.⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理,当n趋向于无穷大的时候,频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A).通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，样本数量越多，随机事件的频率越近似于它的概率，偶然中包含着某种必然。
2、中心极限定理：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
数学定义：设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为（σ^2）/n 的正态分布。
关于正态分布的核心结论是：μ、σ为均值和标准差，那么μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分别是68.3%、95.5%、99.73%！中心极限定理最早由法国数学家棣莫弗在1718年左右发现。
他为解决朋友提出的一个赌博问题而去认真研究二项分布（每次试验只有“是/非”两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立）。
他发现：当实验次数增大时，二项分布（成功概率p=0.5）趋近于一个看起来呈钟形的曲线。
后来，著名法国数学家拉普拉斯对此作了更详细的研究，并证明了p不等于0.5时二项分布的极限也是高斯分布。
之后，人们将此称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
比如，全国人口寿命、成年男女的身高分布、人在一天中情绪高低点对应的时间分布、金融市场中涨跌的时间周期及趋势的寿命等等，无不遵循此定理。
【毕业论文】伯努利大数定律及其应用
【毕业论文】伯努利大数定律及其应用【标题】伯努利大数定律及其应用【作者】符诗艳【关键词】伯努利大数定律??伯努利实验??频率??概率【指导老师】林昌盛【专业】数学教育【正文】1(引言?概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是伯努利大数定律要研究的问题.根据以上所述，本论文主要解决的问题是:(1)伯努利大数定律的理论依据及其应用;(2)伯努利大数定律的现实意义及其应用;(3)在生活中为什么要学习一点伯努利大数定律的.2(伯努利大数定律创立的背景在历史上，第一个企图对“当实验次数n越来越大时，频率m/n会越来越接近比率?.”这个论断给予严格的意义和数学证明的是早期概率论历史上最重要的学者雅各布?伯努利.他之所以研究这个问题，并非因为他对这个论断之真伪存在疑问.如他自己在著作中所说，甚至那些最愚蠢的人，出于其自然的天性而无需他人指点，也会相信这一点的.因为这个论断得到如此广泛的公认，它理应由其理论上的根据所在，他的目标就是致力于找出这个根据.伯努利以前，人们对概率的概念多半从主观方面解释，即解释为一种“期望”.并且这种期望是以古典概率型为依据的，即先验的等可能性假设.伯努利指出，这种方法有极大的局限性，也许只能在赌博中可用.在更大的场合，由于无法数清所有可能的情况就不行了.他提出要处理更大范围的问题，必须选择另一条道路.那就是“先验地去探知所无法先验地确定的东西，也就是从大量同类事例的观察结果中去探知它.”这就从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”解释.伯努利所论述的大数定律是“是否随着观测次数的增大，记录下来的赞成与不赞成例数的比值接近真实比值的概率也随之不断增加，使得这个概率最终将超过任意确定度.”这就是世人称的“伯努利大数定律”即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势.伯努利说“频率的不稳定性随观察次数的增加而减少”的现象，“即使一个没有受过教育，以前也没有受过训练的人，凭天生的直觉，也会理解的.但是，这个原理的科学证明却一点也不简单.”于是，伯努利用数学语言提出了该问题并给出证明.伯努利考察的是“缶子模型”:设缶中有白球r个，黑球s个可得“抽出之球为白球”的概率为p，则有?假设有放回地从缶中抽球,次，记?为抽到白球的次数，以?估计p.这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.伯努利企图证明的是:用?估计p可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性.其确切含义是:任意给定两个数?和?，总可以取足够大的抽样次数,，使事件?的概率不超过?.这意思就很显然:?表明估计误差未达到指定的接近程度?，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大,).其次，伯努利欲证明的是:对任给的?，只要抽取次数足够大，就可使?(1)这与前面所说是一回事.因为由上式得?(2)取?充分大，可使(2)式右边小于?.设一缶内有白球r个，黑球s个，可得“随机抽取一球为白球”的概率为?则对给定常数c，可以找到足够大的n，是自此缶内进行N=?次有放回的抽球时，满足?或等价于??(3)其中?表示N?次抽球中白球出现的次数.证明:令??…可以证得当N充分大时，有?…)同理，令???…有?????????????…)，得??…?…),即(3)式成立.伯努利大数定律现代课叙述为:某事件在N次试验中的频率?依概率收敛于其概率P,即对?,0，有????或3(伯努利大数定律的理论意义及其应用伯努利大数定律说明了当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.伯努利大数定律阐述了频率稳定性的含义，为用频率估计概率提供了理论依据.但是用频率估计出来的概率通常是不精确的,会有误差.这就是所说的?“试验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”?.这里我们给出以频率估计概率的误差估计公式，即德莫佛一拉普拉斯极限定理?(4)这里指出n 要充分大，其中P表示事件A发生的概率，?表示A在n次试验中出现的频率，?是标准正态分布的分布函数.问题1?已知某电器厂有一大批某电器,其中合格品占98?%?,某商场要从中任选购 1000?台?,问在选购的这1000台电器中?,合格品的比例比98?%的差异小于0.01的概率是多少??解:此例中 n?= 1000?,p?=0.98?,ε=0>.(1)式?,所求为??,即??=?=?=2×0.9981-1=0.98问题2?重复掷一枚有偏的硬币,设在每次试验中出现正面的概率 p?未知.试问要掷多少次才能使出现正面的频率与 p?相差不超过?的概率达95?%??解:根据题意，欲求n使得?由?=?,即查正态分布表得?即?因为P(1-P)??，所以.???这表明要掷硬币9604?次以上就能保证出现正面的频率与概率之差不超过??.4.伯努利大数定律的现实意义及其应用伯努利大数定律阐明大量随机现象平均结果的稳定性的理论，是概率论中的核心之一，其在概率统计学中有非常重大的意义.然伯努利大数定律在现实中的意义也非常重大.伯努利大数定律的重大意义，在于它揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性，或简单地讲，在纷乱中找到了一种秩序.如果你每天在盒中抽一个球记下其结果(再放回去)，当抽到白球时记以1而抽到黑球时记以0(则你得到的是一串杂乱的数字，例如:?? 11000l001XXXXXXXXXX0101l0…外表上看不出有何特征或规律性.如果有另一个人把你刚才所做的重做一遍，他也得出这样一串由0和1构成的数字，同样的杂乱无章但与你那一串并不相同.伯努利大数定律表明这表面的纷乱之下其实存在着种规律性，即在这数串中，1所占的比率愈来愈稳定到一个值上面，此值即盒中白球的比率.这个稳定性要到数串的长度足够大时才显示出来:在开始的一段中比率的变化可以是很大的，这正是伯努利大数定律这个名称的由来.?跳出这个盒子模型，对伯努利大数定律的意义作一种更宽广的解释，可以不夸张的说，它反映了的世界的一个基本规律:在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章，毫无规律，难于预测的.但由于伯努利大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形志.例如一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度.电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乩而不可预测，但整体看呈现一个稳定的电流强度.在社会、经济领域中，群体中个体的状况千差万别，且变化不定，但一些反映群体状况的平均指标，在一定时期内能保持稳定，或呈现规律性的变化.究其根源，都是伯努利由于大数定律的作用.?从概率的统计定义中可以看出:?一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的(例如压力、电流等的稳定性，是一种从经验上观察到的事实.另一方面又曾指出:伯努利用数学的方法严格论证了大数定律，这二者的关系该如何去理解,这个问题牵涉到数学理论与现实世界的关系，值得花一点篇幅来谈谈.先看看伯努利的数学证明:盒中一共有N=w+b个球，白球w个，黑球b个.伯努利要求每次抽取一球时，N个球中每一个有同等可能被抽到，至于在现实中能否和如何做到这一点，数学证明完全不管它，只把这规定为一个必须做到的前提.把这N个球按1到N编号，则n次抽取的结果是如下形式的一个序列:?，?，?，…???，?，?可以是1到N中任何一个数，其他?，?，?，?…也一样，因此，如一上形式的序列共有:??…?个.n次抽取的结果可以是这?个序列中的任何一个，伯努利要求这?个结果有等可能性.这一点早在卡尔诺16世纪的著作中已提到了.而且，在每次抽取时能保证等可能性的基础上，这一点看来也是不言而喻的.但仍得把它看成是一个引伸的假定，因为“等可能性”既然不是一个数学概念，用数学的形式推导去证明这一点是不可能的.最后，伯努利将上述?个结果的等可能性，数学化解释为:其中任何一个序列在n次抽取中出现的概率都是1/?.这一个解释把“等可能性”这种模糊的概念转化为一个明确的数学命题.在这个基础上，伯努利不难完成他的证明.?然而从现实世界的角度看，伯努利大数定律是无法严格证明的.因为试验和观察，不论你进行得多长，只能是有限次.你把一个均匀方正的骰子掷了万亿次，记录出么点出现的频率，极其接近1,6.但你怎么去证明:当你再继续掷万亿次时，仍能保持及缩小这个差距呢,你就是做了，那么还可以再提出投掷百万亿次，总是解决不了.因此，说到底，从现实世界的角度看，伯努利大数定律是人类观察到的一个经验规律.伯努利大数定律(及其他形形色色的大数定律)的意义，在于对这样一个经验规律给了一个理论上的解释.因为在现实世界中，尽管很难以至不可能达到伯努利数学证明中那种理想化的条件，但可以与之非常接近，因而伯努利证明的数学结论基本.数定律这个经验规律，一般人都.利大数定律中写“彩票”伯努利大数定理在实际生活中应用十分广泛，现在以生活中最平常的但都很感兴趣的事情――彩票为例来详细阐述一下伯努利大数定理在彩票学中的应用.概率论是研究现实世界随机现象的科学,是近代数学的重要组成部分.它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，同时也是数理统计的基础.彩票投注的中奖概率分布完全符合它的原理.彩票的投注方法是一个玩数字游戏.彩票号码的摇出是随机事件,也可以说是一随机现象,属概率论的一个基本概念.这里首先应该先弄清楚什么是随机现象?这里所说的随机现象的特点是:事先不能预言其结果,具有偶然性;另一方面,在相同条件进行大量的重复试验，会呈现出某种规律性(特别是随机开奖次数的不断增多)(问题3?在相同条件下,多次抛掷质量均匀的同一枚硬币，则出现正面向上的次数约占总抛次数的一半,而且随着抛掷次数的增加,正面向上次数是总抛次数的?这就是概率论的统计结果.(?请看下面5次抛币的试验结果)有人曾经做过抛掷硬币的试验,试验结果记录如下:投掷次数N,正面向上次数M??N?=2048????? M?=1061??????? N,M?=0.5181N?=4040?????M?=2048??????? N,M?=0.5069N=12000????? M?=6019??????? N,M?=0.5061N=24000????? M?=17>2012?????? N,M?=0.5005N=30000?????M?=14984?????? N,M?=0.4996N=72088????? M?=36124?????? N,M?=0.5011由上述情况可以看出投掷次数很大时,其频率稳定于0.5左右(彩票每期摇出的中奖号码(?基本号码和特别号码)是一个随机事件,既然是随机事件,必有其分布规律(??1?.2001010期至2001023期“上海风采”电脑福利彩票开奖计l4期共摇出14*8=112个球?2?.每个球平均出现3.6次?3?.奇数出现59次;偶数出现53次?4?.小于或大于15的数47次;大于或等于16的数出现65次?由此,我们引入彩票的一对常用语“冷门号码”及“热门号码”?(??有了“冷门号码”及“热门号码”，人们只要扑捉到这种机会,将会提高中奖规律(??概率分布的四条法则:??1?.奇数.偶数出现的次数应占总数的??(由于不确定因素除外)?2?.大数.小数出现的次数应占总数的?(由于不确定因素除外)??3?.1?―。
伯努利大数定律在金融领域求解定积分的题,
伯努利大数定律在金融领域求解定积分的题一、引言伯努利大数定律是概率论中的一个重要定律，它描述了在独立重复试验中，事件发生的频率会趋近于事件的概率。
在金融领域，伯努利大数定律的应用十分广泛，特别是在风险管理、投资组合优化等方面。
而其中，求解定积分的题目更是金融数学中的一个重要问题，本文将结合伯努利大数定律和金融数学，探讨如何在金融领域应用伯努利大数定律来求解定积分的题目。
二、伯努利大数定律的概述伯努利大数定律是由17世纪瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，它是概率论中的一个基本定理。
该定律指出，当独立同分布的随机变量X1、X2、…、Xn以概率P发生时，随着试验次数n的增多，事件发生的频率将趋近于概率P。
具体而言，设随机变量X1、X2、…、Xn是n次独立同分布的随机试验，每次试验中事件A发生的概率为P，则当n趋于无穷大时，事件A发生的频率将收敛于概率P。
这一定律在金融领域有着重要的应用价值。
三、金融领域中的定积分问题在金融数学中，定积分是一个常见的数学问题。
在金融风险管理中，我们需要计算某一资产价格的期望收益率，这就涉及到对不同收益率的概率分布进行定积分。
又如在衡量投资组合的风险时，我们需要计算某一资产的价值在不同市场情景下的期望损失，同样需要进行定积分的计算。
如何高效准确地求解金融领域中的定积分问题成为了金融数学研究中的一个重要课题。
四、伯努利大数定律在金融领域的应用4.1 随机变量模拟伯努利大数定律可以被应用在金融领域中的随机变量模拟问题上。
我们可以通过独立重复试验的方式，模拟出符合某一概率分布的随机变量，然后利用伯努利大数定律来逼近随机变量的期望值。
在计算某一金融衍生品的价格时，我们可以采用蒙特卡洛模拟的方法，利用伯努利大数定律来逼近衍生品的期望价格。
4.2 风险管理在风险管理领域，我们需要对金融资产的价值变动进行概率分布的估计，从而计算出其价值在一定置信水平下的损失。
使用伯努利大数定律，我们可以通过进行大量独立重复试验，来逼近资产价格的概率分布，从而计算出其价值在不同市场情景下的期望损失。
论概率论中的反例
论概率论中的反例概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学中扮演着重要的角色。
然而，概率论中也存在着一些反例，这些反例在一定程度上挑战了概率论的基本假设和理论。
本文将从不同的角度探讨概率论中的反例。
一、伯努利大数定律的反例伯努利大数定律是概率论中的基本定理之一，它指出在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率趋近于事件的概率。
然而，这个定律并不总是成立。
例如，当一个硬币被抛掷时，它有可能永远不会出现正面朝上或反面朝上，这就是伯努利大数定律的反例。
二、马尔可夫链的反例马尔可夫链是一种随机过程，它具有“无记忆性”，即在给定当前状态下，未来状态的概率只与当前状态有关，而与过去状态无关。
然而，马尔可夫链并不总是满足这个条件。
例如，在一个赌场中，如果一个人在某个时刻的输赢情况会影响他在下一次赌博中的决策，那么这个赌博过程就不是一个马尔可夫链。
三、贝叶斯定理的反例贝叶斯定理是概率论中的重要定理之一，它描述了在已知某些条件下，另一事件发生的概率。
然而，贝叶斯定理并不总是适用。
例如，在医学诊断中，如果一个病人同时患有多种疾病，那么贝叶斯定理就不能准确地计算出每种疾病的概率。
四、中心极限定理的反例中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它指出在独立同分布的随机变量之和的分布中，当样本容量足够大时，这个分布会趋近于正态分布。
然而，中心极限定理并不总是成立。
例如，在某些情况下，即使样本容量足够大，这个分布也不会趋近于正态分布。
总之，概率论中的反例提醒我们，概率论的基本假设和理论并不总是适用于所有情况。
我们需要在具体问题中仔细分析，选择合适的方法和模型，以获得准确的结果。
试用中心极限定理证明伯努利大数定律
试用中心极限定理证明伯努利大数定律伯努利大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在独立重复试验中，事件发生的频率逐渐接近事件的概率。
在这里，我将使用中心极限定理来证明伯努利大数定律。
让我们回顾一下伯努利试验。
伯努利试验是指一类具有两个互斥结果的随机试验，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。
我们假设事件A发生的概率为p，则事件A不发生的概率为q=1-p。
假设我们进行了n次独立重复的伯努利试验，事件A发生的次数为Xn。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，事件A发生的频率Xn/n将趋近于事件A发生的概率p，即：lim(n→∞) [Xn/n] = p接下来，我们使用中心极限定理来证明上述结论。
根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，随机变量Xn的分布将趋近于正态分布。
正态分布的特点是均值为μ，方差为σ^2。
根据伯努利试验的性质，Xn的均值为np，方差为npq。
我们知道正态分布的标准差为σ，即方差的平方根。
所以，Xn的标准差为σn =√(npq)。
根据标准化的方法，我们可以定义一个新的随机变量Zn = (Xn - np) / √(npq)。
当n趋向于无穷大时，Zn的分布将趋近于标准正态分布。
现在，我们来计算Zn的均值和方差：E[Zn] = E[(Xn - np) / √(npq)]= (E[Xn] - np) / √(npq)= (np - np) / √(npq)= 0Var[Zn] = Var[(Xn - np) / √(npq)]= Var[Xn] / (npq)= npq / (npq)= 1由于Zn的均值为0，标准差为1，根据标准正态分布的性质，我们可以得到以下结论：lim(n→∞) [P(Zn <= c)] = P(Z <= c)P(Zn <= c)表示Zn小于等于某一个常数c的概率，P(Z <= c)表示标准正态分布的随机变量Z小于等于常数c的概率。
我们可以将Zn表示为：Zn = (Xn - np) / √(npq)= (Xn/n - p) / √(pq/n)= (Xn/n - p) / √(p(1-p)/n)当n趋向于无穷大时，根据伯努利大数定律，Xn/n趋近于p，pq/n趋近于0。
用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律
用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律
伯努利大数定律是统计数学中极为重要的定律，它表明了在某些条件下，一个事件发生的概率能够通过多次重复试验收敛到某个值。
这个定律是数学家费米于1713年发表的，后来由英国数学家伯努利于1785年重新提出并发展，因此被称为“伯努利大数定律”。
【用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律】
伯努利大数定律的定义可以用下面的公式表示：
P(A)≥P(B)
其中，P(A)代表事件A发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
伯努利大数定律要求当P(A)和P(B)均趋于1时，P(A)≥P(B)。
现在我们来用切比雪夫不等式证明伯努利大数定律。
由伯努利大数定律可知，当n回投掷硬币，投出双面n次后，投出正面次数S的概率大于等于S/n的概率。
其中，S表示正面投出的次数。
由切比雪夫不等式可知：
P(S≥k)=1-P(S<k)≥1-P(|S-k|≥c)=1-P(|S-k|≥n/2) 其中，k=n/2，c=n/2
根据上式，我们可以得出P(S≥n/2)≥1-P(S<n/2)，即P(S≥n/2)≥1-P(S≤n/2)，因此P(S≥n/2)≥P(S≤n/2)，也就是P(S≥n/2)≥1/2，即P(S≥n/2)≥P(S/n)，这正符合伯努利大数定律的要求，说明切比雪夫不等式可以用来证明伯努利大数定律。
【结论】
从上面的分析可以看出，切比雪夫不等式可以用来证明伯努利大
数定律，即P(A)≥P(B)，这样我们就可以更好的理解伯努利大数定律了。
伯努利定理基本内容
伯努利定理基本内容伯努利定理基本内容————————————伯努利定理是统计概率学的一个重要理论，它提出了一种实验的设计方法，提供了在实验中计算概率的一般方法。
它的主要内容是：在实验中，如果有一个变量的可能结果有n种，那么在这n种可能结果中，只要有k种可能结果能够发生，那么发生这k种可能结果的概率就是$\frac{k}{n}$。
伯努利定理的基本思想是：在实验中，如果有n种可能结果，其中有k种可能结果能够发生，那么发生这k种可能结果的概率就是$\frac{k}{n}$。
如果n为无限，则可以用极限来表示：$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{k}{n} = 0$，这表明发生k种可能结果的概率越来越小。
伯努利定理的基本内容如下：1. 在一个随机试验中，如果有n个可能的结果，其中有k个可能的正确结果，那么正确结果发生的概率就是$\frac{k}{n}$。
2. 如果试验重复多次，则正确结果出现的次数将会趋于n。
3. 如果试验重复多次，则正确结果出现的概率将会趋于$\frac{k}{n}$。
4. 如果试验重复多次，则正确结果出现的频率将会趋于$\frac{k}{n}$。
伯努利定理是一个非常强大的理论，它使我们能够很好地分析随机试验中的各种因素，从而对随机试验的设计和运行都有很大的帮助。
由于伯努利定理强大的理论基础和广泛的应用领域，它在很多领域都被广泛应用。
应用领域———————伯努利定理在很多领域都有广泛应用。
在金融学中，伯努利定理可以用来分析不同证券价格波动的原因；在财务学中，伯努利定理可以用来分析金融工具价格变化的原因；在保险学中，伯努利定理可以用来估计不同保险产品的风险；在数学中，伯努利定理可以用来评估一个随机变量的期望值。
此外，伯努利定理在计算机科学中也有广泛应用。
在密码学中，伯努利定理可以用来分析密钥生成和密钥分发的安全性问题；在计算机图形学中，伯努利定理可以用来计算不同图形之间的相关性；在数据库中，伯努利定理也可以用来分析数据库表之间的关联性。
伯努利大数定律
伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分。
回到前面的缶中抽球模型：缶中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=。
假设有放回地从缶中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p 。
这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证。
例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象。
伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η。
这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N )。
为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效。
但他做这一模型限定与所用缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小。
其次，伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事。
大数定律
性的暗示。
大数定律【基本概念】概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一。
又称弱大数理论。
【主要含义】在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。
偶然中包含着必然。
小概率事件的必然发生，并非仅仅是一个统计学命题。
在统计学上，大数定律叙述了这样一种现象：某一个极小概率事件，当它发生的次数趋向于无穷大的时候，纵观整个发展历程，该事件“发生”的概率可趋向于1，即必然发生。
小概率事件必然发生。
这里谈到极小概率事件，一般用独立同分布的某个随机变量描述，它的发生次数用同分布的随机变量的个数来描述，遍历性可以保证：一个随机变量在不同时间上的取值行为，与独立同分布的随机变量在同一时点上的取值行为，这两者之间没有什么不同。
人们常用购买彩票的行为来举例说明：你买的彩票没有中奖，我买的也没有，但是总有个人中奖。
这是因为买彩票的人足够多。
以上的解释是给mak以外的读者看的（因为为了便于理解，我把大数定律稍稍做了一下歪曲，所以请mak不要追究，毕竟有遍历性作保），接下来的则是写给所有人。
在我们的生活中，mak提到的“微小的”事件无数次地发生着。
数量大到足以使大数定律发生作用。
其中有那么几件产生了不相称的大影响。
mak认为这些事情可以追根溯源，从而规范这些意外事件的效果。
但是在事件发生之前、在影响产生之前，无人可以知道“这就是那件事”。
如此，唯一可能的防范方案就是对每一件事都小心翼翼。
然而这样做的时候，我们所在谈论的主人公所处的环境已经完全变样了。
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三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。
因为，既然我们想要证明的是当N 充分大时，XN 和p 可以任意接近，则一个看来直截了当的提法是limN X p N →∞=, (10)而这不可能实现。
因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时XN 总为1，不能收敛于p<1。
或者退一步：要求（10）式成立的概率为1，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度也比伯努利的提法大得多。
设想如当时伯努利就采用这个提法，他也许不一定能在有生之年完成这一工作。
波莱尔得结论比伯努利强，故现今把它们得结论分别称为强大数律和弱大数律。
如今具有概率论初步知识的人都知道，伯努利大数律是契比谢夫不等式的简单推论。
但在伯努利时代尚无方差概念，更不用说这一不等式了。
伯努利用的是直接估计概率的方法，大意如下：令()0A P Np X Np N ε=<<+，((1))A P Np kN X Np k N k εε=+<≤++，k=1,2,……只须证明：当N 充分大时有（注3）, (11)()012A c A A >++⋅⋅⋅这就解决了X>Np 的一边。
对X<Np 的一边如法炮制，即可得处（8）式。
附带指出：可以把伯努利的结论（9）引申一点点：如果我们知道缶中球的总数a+b ，或者更广一些，知道a ＋b 不超过某已知数M ，则可以把（3）式改进为：可以找到p 的一个估计（不是ˆ()p X XN ），使当N 充分大时有 。
（12）1ˆ(())(1)P pX p c −≠<+但如不给定a+b 的界限，则找不到这样的估计量（注4）。
ˆ()p X 伯努利当初提出的目标，比单纯证明（9）式要高：（9）式只肯定了当取N 充分大时，用XN估计p 可达到任意指定的精度ε，而可靠度不小于11(1)c −−+。
伯努利希望弄清楚到底需要N 多大。
解决了这个问题，在实用上就可以根据所需的精度和可靠度，去规划所须观测次数N 。
他证明了以下的结果：定义＝不小于1m[]log (1)log(1)log c b a −+−a 的最小整数， （13）＝不小于2m[]log (1)log(1)log c a b −+−b 的最小整数， （14）111()()(11m a b b a b m N a +++−=+)， （15） 222()()(11m a b a a b m N b )+++−=+。
（16）则取能满足（9）式。
伯努利给了若干数字例子，其一为：a ＝30，b ＝20（p ＝max(,)12N N N =35），150ε=，c ＝1000。
用上述结果算出所需的次数N 为25550。
可以与由契比谢夫不等式计算的结果作一比较。
按此不等式，有（注5）23113260015505055X P N N N −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−>≤=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠。
为使此值不超过11(1)1001c −+=，N 至少应为600600，这比伯努利给出的值大20多倍。
这反映了一个事实：伯努利在证明（9）式中所作的概率估值，比契比谢夫不等式所作出的要精细得多。
虽然如此，25550这个数仍嫌过大。
美国统计史学者斯蒂格勒认为，伯努利之所以久未发布其研究成果，与他对一点的不满意有关。
因为在伯努利时代，一个中等城市的规模尚不过几千人，25550简直可算时“天文数字”。
不过，后世的学者所看重的不在这些地方。
如今大家都公认由伯努利工作发端的大数定律已成为整个数理统计学的基础。
人们也对伯努利工作的哲学意义给予很高的评价。
如斯蒂格勒指出：伯努利证明了数学家不仅可以后验地认识世界，还可以用数学去估量他们的知识的限度。
伯努利在结束《推测术》时就其结果的意义作了如下的表述：如果我们能把一切事件永恒地观察下去，则我们终将发现：世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们也注定会在种种极其纷纭杂乱的事象中认识到某种必然。
关于决定最小N 的问题，一些与伯努利同时或稍后的学者也研究过。
例如伯努利的侄儿尼科拉斯在1713年给以为友人的信件中报告了他得出的一个有关结果，比伯努利的上述结果有所改善。
如对伯努利的例子，用尼科拉斯的公式估出所需N 未17350。
稍后到1733年，狄莫弗发展了用正态分布逼近二项分布的方法（见第二章），这是一个实质性、意义深远的改进。
按此法估出的N 约为6600，这已是没有改进余地的了。
6600这个数字仍然很大，它显示，虽然自然界的奥秘可通过实验观察发现，但自然界并不轻易露出自己的真面目。
这个例子也提醒我们：在报章杂志等中不时可以看到的、根据一小批样本而计算出的某种特征的个体的比率，作为样本来自的大群体中该特征所占比率的估计，其准确度和可靠性，通常远小于没有受过统计学训练的公众所认为的程度。
注1：（3）、（4）两式等价的证明。
把 写为 ，（4）式化为 ()12r i −+(1)112222r r r −+−−−i1 。
1(1)1121212(,)2212101r r r r i r i e r r C r i −−+−−+−+=⋅∑−=此式与（3）式比较看出：只须证明。
（A1）1111221212200r r r r r i r iC C i ii i −−+−−+−+=∑∑==此式当 时成立。
用归纳法，假定（A1）在 12r =2r k≤时成立，在(A1)左边令。
因为12r k =+ ,111111r k r k r k C C C i i i ++−+=+−−−有111111000k k k r k r k r k C C C i i i i i i ++−+=+∑∑∑−===1111100k k r k r k C C i ii i −+−+−=+∑∑==1111120k r k r k C Ck ii −+−+−=+∑=。
对后一和用归纳假设，由（A1）得+1111111122000k k k r k r k r i r k k i k iC C C C i k i ii i i −++−−+−+++=+=∑∑∑===，证明了（A1）在12r k =+也成立。
注2：（7）式地证明以记在A 已胜i 局、B 已胜j 局的情况下，A 最终获胜的概率。
则我们要求的就是。
按规定，有(,)h i j (0,0)h (,)1h i j =，当； 4,2i i j ≥−≥(,)0h i j =，当； 4,2j j i ≥−≥(2,2)(3,3)h h ==⋅⋅⋅假定再赌一局。
若A 胜（概率p ），情况变为(1,)i j +。
若B 胜（概率q ），情况变为(,1)i j +。
故按全概率公式，有。
(,)(1,)(,1)h i j ph i j qh i j =+++令i ＝j ＝3，得，分别在上式中令（i,j ）=(4,3)及(3,4)，得(3,3)(4,3)(3,4)h ph qh =+(4,3)h 及(3,4)h 的表达式，代入上式得22(3,3)(5,3)2(4,4)(3,5)h p h pqh q h =++。
22(3,3p pqh =+)于是得22222(3,3)1p r h p q r ==++。
再在式中令(i,j)=(2,3)，得22(2,3)(3,3)(2,4)1pr h p h qh r =+=+。
注意到 1p p r q p ==−，有1r p r =+。
于是332(2,3)1r h r r r =+++。
循此以往，依次得，，，，…，直至，就是（1）式。
(3,2)h (2,2)h (3,1)h (1,3)h (0,0)h 这个问题可以推广为：一方胜局达到m 且比对方得胜局多n ，则此方获胜。
（1）式对应于m ＝4，n ＝2的情况。
一般情况原则上也可用上述步骤求解，但对大的m 和n 公式将繁杂得难以想象。
例如乒乓球相当于m ＝21和n ＝2。
注3：（11）式得证明。
我们先介绍一个证明，其思想与伯努利得原始证明一致，但形式略广一些，然后指出伯努利原始证明差异之处。
我们只点明主要的步骤，一些容易的细节请读者自己补出。
1. 1. 先证明存在常熟u （与k 无关），使,1A uA k <+k 0k=0,1,2,… (A2) 若此式已证，则有，故 0k A u Ak< 1(1)12A A u u −++⋅⋅⋅<−A。
（A3） 为证(A2)，记1k b Np kN ε=++。
按Ak 的定义，有1111()(1)(()(1)(1)k k k k kk k k A P X b P X b P X b N A P X b P X b P X b N 1)εε++++=+=++⋅⋅⋅+=+−==+=++⋅⋅⋅+=+−11()(max ,,()(1)k k k k P X b P X b N P X b P X b N εε++⎡⎤==+≤⎢⎥==+⎣⎦L 1)−−。