动态模型

毒物均匀分布在烟草中；点燃后，毒物随烟雾扩散，一部分进 入空气，一部分延香烟传入人体。
沿香烟穿行的毒物要通过未点燃的烟草和过滤嘴进入人体，与 之相比，进入空气后再次被人吸收的毒物量要少得多。
模型假设
1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2，毒物量M均匀分布， 密度w0=M/l1
2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a, a´+a=1
aMe
l2
v

(r
),
r

abl1 , (r) 1 er
v
r
2)
l2
ev
~过滤嘴因素，, l2 ~ 负指数作用
l2
aMe v
是毒物集中在x=l1 处的吸入量
结果分析
根据资料，
Q
l2
aMe v
1
abl1

2v
与无过滤嘴香烟做对比
带过滤嘴 不带过滤嘴
w(x,0) w0
w(ut, t )

w0 a
1
a 'but
ae v
,
a 1 a
4) 计算 Q
w(ut, t)

w0 a

1


ae
a 'but v


b ( l1 ut ) l2
q(l,t) auw(ut,t)e
e v
v
q(l, t )
为什么不在第一阶段加上运动？
节食已经能够实现每周减 1.5 kg 的最高速度了。
N2 10, 0

w( N1 2) (1 r )w( N1 )
w( N1 10)
w*= 80kg

10[w( N1 )

1

]
1

0.9675, 0.003, 24千卡/ kg 周.
q(x) q(x x)
v
t=0, x=0，点燃香烟
0
x x x
l1
lx
T = l1/u 时燃尽，下面设法根据假设建立各个变量之 间的关系，计算出最终吸入人体的毒物总量来。
引入两个函数：
q(x,t) ~ 毒物流量 t时刻单位时间内通过截面x处的毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 t时刻截面x处单位长度烟草中的毒物含量
五、烟雾的扩散与消失
模型分析
模型假设
即单位距离上光强的相对减少量与烟雾浓度成正比， dI / dl
dI / dl是单位距离减少量
I(l)
设 只 有 I 1 时 观 测 结 果 为 “ 亮 ”
I0
看不到烟雾
构造模型
1、烟雾浓度的变化规律
选爆点为原点，t 0时刻瞬时爆炸.
n
记c( x, y, z;t)为t时刻点( x, y, z)处的
H (t) uw(ut, t)
q( x, t )

aH
(t
)e

b
(
x ut v
)
,
b ( l1 ut ) ( xl1 )
aH (t)e e v
v
ut , l1

x x

l1 l
b (l1 ut ) l2
q(l,t) auw(ut,t)e
e v
3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)
吸收率分别是b和
4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，燃烧速度是常数u， v >>u
定性分析 Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量
,l2 , M ,a ,v Q b ,l1 Q ? u Q ?
构造模型
为保证健康，每周吸收热量有一个底限 Cmin，男子为 10500千卡/周，女子为8500千卡/周。
每周体重减少量不应大于某个值 b（比如 1.5kg ）.
模型构造
体重增量正比于吸收的热量，系数为 . 不运动时，体重减少与体重成正比，系数为 r. 运动时，体重减少与体重成正比，系数 。
第二阶段：保持Cmin，增加运动或不运动，使体重达到w*. 计算w(k), k = N1+1, N1+2, … , N1+N2, 使得w(N1+N2) = w*.
模型求解
第一阶段：不运动，每周减去 b = 1.5kg； 计算C(k), k = 1, 2, … , N1, 使得C(N1) = Cmin. 根据C(k)为客户制定每周食谱。
期目标。 实施这个计划，需要了解w(0)、目标体重w*, 和目前吸收的热 量C，以及此人的 r.
减肥计划举例
男性, w(0) = 110kg，每周吸收热量C = 26000千卡。希望最终 达到 w*= 80kg。 第一阶段：不运动，每周减去 b = 1.5kg； 计算C(k), k = 1, 2, … , N1, 使得C(N1) = Cmin. 根据C(k)为客户制 定每周食谱。
3) 第二阶段，假设要用 N2 周。有两种办法：
模型求解
体重增量正比于吸收的热量，系数为 . 不运动时，体重减少与体重成正比，系数为 r. 运动时，体重减少与体重成正比，系数 。
I、 不运动， Cmin保持稳定。
w(
N1

1)

(1

r
)w(
N1
)

Cmin

w(N1)
w(n 1) w(n) C(n 1) rw(n) w(n)
1）确定r。当不运动，体重稳定时，由上面的公式，我们有
w(0) w(0) C(0) rw(0)

r

C (0)
w(0)

26000 8000 110

0.0295

0.03
2）第一阶段，节食但不运动。假设要用N1周达到目的。
Q 1

aw v l2
e 0
v
ab
1

a 'bl1
ev


Q2

aw0v
bl2
ev
1
a 'bl1
ev
a'b


Q
( b )l2
1 e v
Q2
结果分析
即：提高过滤嘴的吸附能力、降低烟草的 吸附能力或加长过滤嘴的尺寸，对于减少 毒物对人体侵害的作用是大致相同的。
六、减肥计划
减肥有很多办法：加强运动、节食、服用 药物、手术、采用专用仪器等。
减肥的一个重要原则是不能影响健康。 如果只采用运动和节食两种手段，怎样在
保证人体健康的情况下尽快实现减肥？ 建立数学模型，在保证健康、满足客户合
理要求的情况下，帮助客户制订科学的减 肥计划。
问题分析
营养供给量：保证正常人体正常状态的膳食质量标准； 营养需求量：维持人体正常生理机能的营养数量； 人体体重是评定膳食能量摄入是否适当的重要标志； 人体热量需求多少，主要取决于三方面：维持人体基本
S
V
V
得到：
构造模型
C(x, y, z,t)
x2 y2z2
Q 4 kt e 3
(4kt) 2
t 时c 0
构造模型
1、烟雾浓度的变化规律** 2、穿过烟雾的光强变化规律 考虑沿一定方向穿过烟雾的光线。
景物 l0 I0
l
I (l )

C ( s )ds
l0 I e0
lI
数学模型 • 动态模型2
北京理工大学 王宏洲
（微分方程模型）
四、香烟过滤嘴的功效
问题 • 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系
• 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪 些因素影响大，哪些因素影响小。
模型 分析
• 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸 烟过程的数学模型。 • 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟， 吸烟方式和外部环境认为是不变的。
wk.baidu.come 4kt

4kt
模型结果

C( x, y, z, t )dz
Q
x2 y2
e 4kt

4kt
结果检验
本模型的另外一个用途是：可以根据 t1 、t2 来确定大气中的 扩散系数 k . 评注：烟雾在大气中扩散的扩散有现成的物理规律，但具体到 扩散与消失的关系、如何定义消失，并没有结论。 我们通过引入观察方和灵敏度指标，成功地解决了这个问题。
观察仪器
构造模型
1、烟雾浓度的变化规律** 2、穿过烟雾的光强变化规律** 3、仪器灵敏度与不透光边界
构造模型
l
I (l )

C ( s )ds
l0 I e0
Q
x2 y2 z2
C(x,
y,
z,t)

(4kt)
3 2
e
4kt

C( x, y, z, t )dz
Q
x2 y2


b q(x), 0 x l
v
1

v q( x), l1 x l
q(0) aH0 H 0 uw0

bx
q( x)

aH0e v ,
aH 0 e

bl1 v
e


(
x l1 v
)
,
0
l1
x
l1 x
l
2) 求q(l,t) t时刻，香烟燃至 x=ut

烟雾浓度。
考 虑 空 间, 体 积V ,外 表 面S; S的 外 法 向 为n.
t时 刻 流 出的 量
构造模型
另外, t到t t期间, 内烟雾改变量为


V
c t
(t
)dV
注 意Q1 Q2
q nd divqdV k div(gradc)dV
模型假设
体重增量正比于吸收的热量，系数为.一般地， = 7930 千卡/kg周，即每周大约8000千卡热量会转化成 1 kg 体重。
不运动时，体重减少与体重成正比，系数为 r ，r 一般在 0.025-0.04 之间。胖人的 r 稍小，瘦人的r稍大。
运动时，体重减少与体重成正比，系数 ， 的大小与运 动形式、时间有关。
0 xl
w(x,0) w0
Q

T
0
q(l, t)dt,
T l1 / u
1) 求q(x,0)=q(x)
Q

T
0
q(l,
t
)dt,
T l1 / u
q(
x)

q(
x

x)

bq(x) , q(x) ,
0 l
1

x l1, x l,

x v
dq dx
代谢所需能量；从事劳动或其他活动所消耗的能量；食 物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需能量本身也 耗费能量）。
问题分析
以“周”为单位来考察问题。 体重增减：由于吸收的和消耗的能量不平衡。 记E0为消耗的能量，则
E0 E01 E02 E03 E04
基本代谢 食物热效率 正常活动 运动消耗 记Ei为吸收的能量，i 表示能量来自不同的食物。各种 食物所含能量的多少可以通过查资料得到。 显然，只要Ei E0，体重就会变化。要想减肥，必须Ei < E0.
v
3) 求w(ut,t)
b( l1 ut ) l2
q(l , t ) auw(ut , t )e v e v
单位时间流
过的总量
一段时间内，x处的密度变化
w(x, t t) w(x, t)

b
q(
x,
t)
t
v
w

b
b( xut )
auw(ut,t)e v
t v
w( N1 2) w( N1 1) 2w( N1 )
w*= 80kg
w w(N1

N2)

N2
w( N1 )


1 N2 1
*
N 2 12周
所以如果不运动的话，通过节食需要22周达到目标。
模型求解
II、 如果客户希望在一定时间内达到目标，比如20周，则第 一阶段可以不变，在第二阶段加上运动。
w(n 1) w(n) b w(n) w(0) bn
C(n 1) [w(n) b] [r(w(0) bn) b]
14400 360n
模型求解
C(n 1) 14400 360n
必须保证C(n+1) Cmin，所以N1 10周。 到第10周，w(10) = 110 – 1.5*10 = 95 kg。 每周计划吸收的热 量由 C(n+1) 得到，我们可以根据C(n+1) 为客户定制菜谱。 注意：这时人体吸收的热量已经达到维持健康所需的最低限度， 不能继续减少热量的吸收了，只能保持在这个水平上。
auw0 a
bl1
ev

e
l2
v

but
ev

abut
ae v

Q
l1 / u q(l , t )dt
0

aw0
v
e

l2
v
ab

1

e

a 'bl1 v


Q


aMe
l2
v

(r
),
r

abl1
, (r)

1 er
v
r
结果分析
Q


记w(n)为第n周体重，C(n)为第n周吸收的热量
w(n 1) w(n) C(n 1) rw(n) w(n)
在公式的基础上，为客户制定减肥计划。 分为两个阶段： 第一阶段：将吸收的热量逐渐缩减到Cmin，在此过程中应注意
避免每周体重减少量超过 b。 第二阶段：保持Cmin，增加运动或不运动，使体重减少达到预