北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三数学理科试题及答案

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北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷 (理工类)
2019.1
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{|13}A x x =∈≤≤N ,{2,3,4,5}B =,则A
B =
A.{2}
B.{2,3}
C.{2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则||z =
A.1
C.2
D. 3.执行如图所示的程序框图,若输入的12S =,则输出的S = A.8- B. 18- C.5 D.6
4.在平面直角坐标系xOy 中,过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴 截得的弦长为
A.4
B. C.2
D. 5.将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后,图象经过
点(3π,则ϕ的最小值为 A.12π B.6π C.3
π D.
65π 6. 设x 为实数,则0x <“”
是 “1
2x x
+≤-”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.对任意实数x ,都有log (e 3)1x
a +≥(0a >且1a ≠),则实数a 的取值范围是
A. 1
(0,)3
B.(]1,3
C. (1,3)
D.[3,)+∞
8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点,构成一个正八面体,再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体,那么该小正方体的棱长为 A.
22 B.33 C.13 D.14
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项的和.若136a a +=,47a =,则5S =_______. 10.已知四边形的顶点A ,B ,C ,D 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则AC DB ⋅=____________.
11.如图,在边长为1的正方形网格中,粗实线表示一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为 .
12.过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作准线l 的垂线,垂足分别为,C D .若4AF BF =,则CD =__________________.
13. 2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上,欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题:在88=64⨯格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士,是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格?
图(一)给出了骑士的一种走法,它从图上标1的方格内出发,依次经过标2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,到达标64的方格内,不重复地走遍棋盘上的每一格,又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内,按照上述走法, (填“能”或“不能”)走回到标50的方格内.
若骑士限制在图(二)中的3×4=12格内按规则移动,存在唯一一种给方格标数字的方式,使得骑士从左上角标1的方格内出发,依次不重复经过2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,到达右下角标
B
D
C
A
12的方格内,分析图(二)中A处所标的数应为____.
图(一)
14.如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
在ABC △中,已知312
,cos 413
A C π==,13.BC = (Ⅰ)求A
B 的长;
(Ⅱ)求BC 边上的中线AD 的长.
16.(本小题满分13分)
某日A,B,C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表:
(Ⅰ)甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格,乙从C 市4个销售点中随机
挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ,求X 的分布列及数学期望;
(Ⅱ)如果一个城市的销售点小麦价格方差越大,则称其价格差异性越大.请你对A,B,C 三
个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序(只写出结果).
17.(本小题满分14分)
如图,三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形,11BC C C ⊥,平面
11AC CA ⊥平面11BCC B ,且,E F 分别是11,BC A
B 的中点. (Ⅰ)求证://EF 平面11A
C CA ;
(Ⅱ)当侧面11A C CA 是正方形,且11BC C C =时,
(ⅰ)求二面角1F BC E --的大小;
(ⅱ)在线段EF 上是否存在点P ,使得AP EF ⊥?
若存在,指出点P 的位置;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数2()e (1)(0)2
x
m
f x x x m =-
+≥. (Ⅰ)当0m =时,求函数()f x 的极小值; (Ⅱ)当0m >时,讨论()f x 的单调性;
(Ⅲ)若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点,求m 的取值范围.
F
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
19.(本小题满分14分)
过椭圆W :2
212
x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点,其中A (0,1),另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点(不与,A B 重合),且D 点不与点()01-,重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ,BC 于E ,G . (Ⅰ)求B 点坐标和直线1l 的方程; (Ⅱ)求证:11EF FG =.
20.(本小题满分13分)
已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列,对任意n *
∈N ,n a 满足如下两个条件:
①n a 是n 的倍数; ②15n n a a +-≤.
(Ⅰ)若130a =,232a =,写出满足条件的所有3a 的值; (Ⅱ)求证:当11n ≥时,5n a n ≤; (Ⅲ)求1a 所有可能取值中的最大值.
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案(理工类) 2019.1
一、选择题(40分)
三、解答题(80分)
15. (本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由12cos 13C =
,02C π<<,所以5
sin 13
C =. 由正弦定理得,sin sin AB BC C A =
,即5
sin =13sin C
AB BC A =⋅= .……… 6分
(Ⅱ)在ABD △
中,3cos cos()4B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得,222
+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,
所以2
AD 21691329+2424
=-⨯=. 所以AD =. ……………… 13分
16. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)B 市共有5个销售点,其小麦价格从低到高排列为:2450,2460,2500,2500,
2500.所以中位数为2500,所以甲的购买价格为2500. C 市共有4个销售点,其小麦价格从低到高排列为:2400,2470,2540,2580,
故X 的可能取值为0,1,2.
2022241(0)6C C P X C ===,
11222442(1)63C C P X C ====,02
222
41
(2)6
C C P X C ===. 所以分布列为
所以数学期望21
()0(0)1(1)2(2)12136
E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯
=. …… 10分
(Ⅱ)三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为:C ,A ,B ……… 13分
证明:(Ⅰ)取11A C 中点G ,连FG ,连GC .
在△111A B C 中,因为,F G 分别是1111,A B AC 中点,
所以11FG B C //,且111
2
FG B C =
. 在平行四边形11BCC B 中,因为E 是BC 的中点, 所以11EC B C //,且111
2
EC B C =.
所以EC FG //,且EC FG =.
所以四边形FECG 是平行四边形. 所以FE GC //. 又因为FE ⊄平面11A C CA ,GC ⊂平面11A C CA ,
所以//EF 平面11A C CA . …………………4分 (Ⅱ)因为侧面11A C CA 是正方形,所以111AC C C ⊥.
又因为平面11AC CA ⊥平面11BCC B ,且平面11AC CA 平面111BCC B C C =,
所以11A C ⊥平面11BCC B .所以111AC C B ⊥.
又因为11BC C C ⊥,以1C 为原点建立空间直角坐标系1C xyz -,如图所示. 设1C C a =,则11(0,,),(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)A a a B a C a A a B a a -,
(,,0),(,,)22222
a a a a a
E F -. (ⅰ)设平面1FBC 的一个法向量为(,,z)x y =n .
由11
0,0C B C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.222
ax a a a
x y z =⎧⎪
⎨-+=⎪⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩令1y =,所以(0,1,1)=n . 又因为11A C ⊥平面1BC E ,所以11(0,0,)C A a =是平面
1BC E 的一个法向量. 所以111111cos ,C A C A C A ⋅=
=
=⋅n n n
由图可知,二面角1F BC E --为钝角,
所以二面角1F BC E --的大小为
34
π
. ……………10分 (ⅱ)假设在线段EF 上存在点P ,使得AP EF ⊥.
设,[0,1]EP
EF
λλ=∈,则EP EF λ=. 因为(,,)(0,,)222a a a AP AE EP AE EF a a λλ=+=+=--+-(,,)222a a a
a a λλ=---+,
又AP EF ⊥,所以21
0()()()()022224
a a a a AP EF a a a a λλλλ⋅=⨯+---+-+=+=.
所以0[0,1]λ=∈.
故点P 在点E 处时,有AP EF ⊥ .…………14分
G
A
B
C
A 1
B
1
C 1
F
B
解:(Ⅰ) 当0m =时:()(1)e x
f x x '=+,令()0f x '=解得1x =-,
又因为当(),1x ∈-∞-,()0f x '<,函数()f x 为减函数;
当()1,x ∈-+∞,()0f x '>,函数()f x 为增函数.
所以,()f x 的极小值为1
(1)e
f -=-
. .…………3分 (Ⅱ)()(1)(e )x
f x x m '=+-.
当0m >时,由()0f x '=,得1x =-或ln x m =.
(ⅰ)若1e
m =
,则1()(1)(e )0e x
f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增;
(ⅱ)若1
e
m >,则ln 1m >-.故当()0f x '>时,1ln x x m <->或;
当()0f x '<时,1ln x m -<<.
所以()f x 在(),1-∞-,()ln ,m +∞单调递增,在()1,ln m -单调递减.
(ⅲ)若1
0e
m <<
,则ln 1m <-.故当()0f x '>时,ln 1x m x <>-或; 当()0f x '<时,ln 1m x <<-.
所以()f x 在(),ln m -∞,()1,-+∞单调递增,在()ln ,1m -单调递减. .…………8分
(Ⅲ)(1)当0m =时,()e x
f x x =,令()0f x =,得0x =.因为当0x <时,()0f x <, 当0x >时,()0f x >,所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.
(2)当0m >时:
(ⅰ)当1
e
m =时,由(Ⅱ)可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增,且1(1)0e f -=-<,
2
(1)e 0e f =->,此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.
(ⅱ)当1
e
m >时,由(Ⅱ)的单调性结合(1)0f -<,又(ln )(1)0f m f <-<,
只需讨论(1)e 2f m =-的符号:
当1e
e 2
m <<时,(1)0f >,()f x 在区间()1-∞,上有且只有一个零点; 当e
2m ≥时,(1)0f ≤,函数()f x 在区间()1-∞,上无零点.
(ⅲ)当1
0e m <<时,由(Ⅱ)的单调性结合(1)0f -<,(1)e 20f m =->,
2(ln )ln 022
m m
f m m =--<,此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.
综上所述,e
02
m ≤<. .…………13分
解:(Ⅰ)由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22
112
y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
可求41
(,)33
B --. ……………4分
(Ⅱ)当2l 与x 轴垂直时,,C D 两点与E ,G 两点重合,由椭圆的对称性,11
EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时,
设()11,C x y ,()22,D x y ,2l 的方程为(1)y k x =+(1k ≠).
由22
(1)
12
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ,整理得()2222214220k x k x k +++-=.
则2122
4+21k x x k -=+,212222
21
k x x k -=+. 由已知,20x ≠,
则直线AD 的方程为22
1
1y y x x --=
,令1x =-,得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=
.把()221y k x =+代入得()22
1(1)E x k y x +-=.
由已知,143x ≠-,则直线BC 的方程为11
1143()4333
y y x x +
+=++,令1x =-,得点G
的纵坐标1111
43()3
G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=
+. ()()2
1211(1)1(1)
34E G x k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=
⋅+
[]
121221(1)23()4(34)
k x x x x x x -+++=
⋅+
把21224+21k x x k -=+,2122
22
21
k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中, 121223()4x x x x +++=22
2222423()402121
k k k k --⨯+⨯+=++.
即0E G y y +=,即11
EF FG =. .…………14分
11 20. (本小题满分13分)
(Ⅰ)3a 的值可取27,30,33,36. .…………3分 (Ⅱ)由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅,对于任意的n ,有15(1)n a n a ≤-+.
当14n a ≥-时,15(1)n a n a ≤-+,即5(1)4n a n n ≤-++,即61n a n ≤-. 则6n a n <成立.
因为n a 是n 的倍数,所以当14n a ≥-时,有5n a n ≤成立.
若存在n 使5n a n >,依以上所证,这样的n 的个数是有限的,设其中最大的为N . 则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立,因为N a 是N 的倍数,故6N a N ≥. 由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.
因此当11n ≥时,5n a n ≤. …………8分 (Ⅲ)由上问知1155a ≤,因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数,
所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式:
1060a ≤,963a ≤,864a ≤,763a ≤,666a ≤,570a ≤,472a ≤,375a ≤, 280a ≤,185a ≤.
则1=85a ,2=80a , 3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =, 963a =,1060a =,当11n ≥时,5n a n =这个数列符合条件.
故所求1a 的最大值为85. ………13分。

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