材料力学-第二章

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材料力学

第四讲截面的几何性质

【内容提要】

本节主要了解静矩和形心、极惯性矩和惯性积的概念，熟悉简单图形静矩、形心、惯性矩和惯性积的计算，掌握其计算公式。掌握惯性矩和惯性积平行移轴公式的应用，熟练掌握有一对称轴的组合截面惯性矩的计算方法。准确理解形心主轴和形心主惯性矩的概念，熟悉常见组合截面形心主惯性矩的计算步骤。

【重点、难点】

重点掌握平行移轴公式的应用，形心主轴概念的理解和有一对称轴的组合截面惯性矩的计算步骤和方法

一、静矩与形心

(一)定义

设任意截面如图4-1所示，其面积为A，为截面所在平面内的任意直角坐标系。c 为截面形心，其坐标为，。则

截面对z轴的静矩

截面对轴的静矩

截面形心的位置

(二)特征

1．静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩值不同。静矩可能为正，可能为负，也可能为零。

2．静矩的量纲为长度的三次方．即。单位为或。

3．通过截面形心的坐标称为形心轴。截面对任一形心轴的静矩为零；反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面之形心。

4．若截面有对称轴，则截面对于对称轴的静矩必为零，截面的形心一定在该对称轴上。

5．组合截面(由若干简单截面或标准型材截面所组成)对某一轴的静矩，等于其组成部分对同一轴的静矩之代数和(图4-2)，即

合截面的形心坐标为：

图4-1

二、惯性矩惯性积

(一)定义

设任意截面如图4-3所示，其面积为A，为截面所在平面内任意直角坐标系。则

截面对轴的惯性矩

截面对y 轴的惯性矩

截面对0点的极惯性矩

截面对轴的惯性积

(二)特征

1．惯性矩是对某一坐标轴而言的．惯性积是对某一对坐标轴而言的，同一截面对不同的坐标轴，其数值不同。极惯性矩是对点(称为极点)而言的，同一截面对不同的点，其值也不相同。惯性矩。极惯性矩恒为正值，而惯性积可能为正，可能为负，也可能为零。2．惯性矩、惯性积、极惯性矩的量纲均为长度的四次方，即。，单位为m4或mm4 3．对某一点的极惯性矩恒等于以该点为原点的任一对直角坐标轴的惯性矩之和。即

4．惯性积是对某一对直角坐标的．若该对坐标中有一轴为截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，则这对坐标中不一定有截面的对称轴。

5．组合截面对某一轴的惯性矩等于其组成部分对同一轴的惯性矩之和。即

组合截面对某一对坐标轴的惯性积，等于其组成部分对同一对坐标轴的惯性积之和，即组合截面对某一点的极惯性矩，等于其组成部分对同一点极惯性矩之和，即

三、惯性半径

(一)定义设任意截面，其面积为A，则

截面对z轴的惯件半径

截面对y轴的惯性半径

(二)特征

1．惯性半径是对某一定坐标轴而言的。

2．惯性半径恒为正值。

3．惯性半径的量纲为长度一次方，即L，单位为m 或mm

四、惯性矩和惯性积的平行移轴公式

任意截面，面积为A，形心为C，如图4-3所示。设z轴与形心轴平行，相距为；y轴与形心轴平行，相距为，截面对z、y轴的惯性矩、惯性积分别为、；截面对形心轴、。的惯性矩，惯性积分别为，有如下结论

惯性矩的平行移轴公式

惯性积的平行移轴公式

分述如下：

截面对于任一轴的惯性矩．等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对于任一直角坐标轴的惯性积．等于该截面对于平行形心坐标惯性积加上截面面积与其形心的坐标之乘积。

常用截面几何性质如表下表所示

五、形心主惯性轴与形心主惯性矩

(一)定义通过截面形心C点的一对特殊坐标轴()，其惯积( )为零，则该对坐标轴( )称为形心主惯性轴(简称形心主轴)。截面对该一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩(简称形心主惯矩)。

(二)特征

1．通过截面形心C，至少具有一对形心主轴

2．若截面只有一根对称轴，则该轴即为形心主轴之一，另一形心主轴为通过形心，并与上述对称轴垂直的轴。

3．若截面有两根对称轴，则该两根轴即为形心主轴。

4．若截面有三根(或以上)对称轴时，则通过形心的任一根轴(所有轴)均为形心主轴，且形心主惯矩均相等。

5．若截面没有对称轴，则可由定性判定法，即根据绕形心转动轴，转至截面积

最靠近分布某一轴时，截面对该轴的惯性矩最小()，此轴即为形心主轴之一，另一根通过形心与之垂直的轴为另一根惯性矩最大()的形心主轴。

6．形心主惯性矩是截面对通过同一形心C点，所有轴的惯性矩中的最大值()和最小值()。

截面对于通过同一形心C点的任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和恒为常数，即

7．若截面对通过形心C点的两主惯性矩相等，则通过形心c点的所有轴均为形心主轴，且所有形心主惯性矩均相等。