《信号与系统》第七章采样

在频域:
X p(
j)
1 T
k
Xc
j(
ks ),
s
2
T
X d (e j ) xc (nT )e jn（以 表示离散域频率）
n
X p ( j ) xc (nT )e jnT
T
n
X p ( j) Xd (e jT )
Xd
(e
j )
X
p(
j
) T
X
d
(e
j
)
1 T
k
Xc[
j
1 T
工程应用时，如果采样频率 s 2M 将不足
以从样本恢复原信号。
例如
x(t) cos(0t )
在
s
2
T
20
时
x(t) cos cos0t sin 0t sin
x(nT ) cos cos0nT
这和对 x1(t) cos cos0t 采样的结果一样。
从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样
例：数字微分器：
带限微分器
Hc ( j)
j ,
0,
c
c
Hc ( j)
Hc ( j)
c
/2
c 0 c
c
0 c
/ 2
由
Hc (
j
) T
Hd
(e j )可得， c
s
2
时有：
Hd (e j )
j T
Hd (e j )
c
0
H d (e j )
2
0
2
7.5 离散时间信号采样：
7.3 欠采样的效果—频谱混叠
一.欠采样与频谱混叠: 如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会
在 x(t) 的频谱周期延拓时，出现频谱混叠的现象。
此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是 无论怎样，恢复所得的信号 xr (t)与原信号 x(t)在采 样点上将具有相同的值。
xr (nT ) x(nT )
• 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具
有 T倍的通带增益。
三. 零阶保持采样:
(t)
h0 (t)
延时T
零阶保持系统
h0 (t)
1
t
0T
1. 零阶保持系统：是一个 h(t)为矩形脉冲的系统。
2. 零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到
的信号是一个阶梯形信号。
x(t) xp (t)
1 h0 (t)
| H0( j) |
三. 一阶保持内插(线性内插)：
线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。
h1 (t )
1
t
t
T 0 T
2T T 0 T 2T
Sin T
H1( j) T
2
T 2
2
H1( j) T
1
Sin T
2
2
T 2
2 T 0 T 2
T
T
一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4）
一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4）
t
0
p(t )
t 2T T 0 T 2T
x p (t)
x(2T ) x(T )
x(0)x(T ) x(2T )
t 2T T 0 T 2T
在频域由于 p(t) P( j) 2 ( 2 k)
T n
T
所以
X p ( j)
1
2
X ( j) P( j)
1
2
X ( j) 2
T
( ks )
例: x(t) cos0t
x(t)的频谱 X ( j)
当 0 s 20
时,产生频谱混叠
恢复的信号为
xr (t) cos( s 0 )t
X ( j)
0 0 0
X p ( j )
s
s
0s
0
0
s
0 0
Xr ( j)
s
s
0 0 0
s 0 s 0
显然当 t nT 时有
xr (nT ) cos( s 0 )nT
(
2
k
)]
可见，冲激串到序列的变换过程，在时域是一
个对时间归一化的过程；在频域是一个频率去归一
化的过程。
X c ( j)
1
M 0 M
s
2
1 X p ( j)
T
M 0 M
s
X d (e j )
1
T
MT 0 MT
2
二. D/C 转换：
yd (n)
序列到 y p (t) TT
yc (t)
冲激串
c c
二.采样的数学模型：
x(t)
xp (t)
时域： xp (t) x(t) • p(t)
p(t)
频域:
X p ( j)
1
2
X ( j) P( j)
三.冲激串采样(理想采样):
p(t) (t nT ) n
T 为采样间隔
xp (t) x(t) p(t)
x(nT ) (t nT )
x(t )
的情况是工程应用中不希望的。
二. 欠采样在工程实际中的应用： 1. 采样示波器:
2. 频闪测速:
频闪器
s
旋转圆盘
0
s 40
s 20
s
4 3
0
s 0
1
2
3
4
7.4 连续时间信号的离散时间处理
对连续时间信号进行离散时间处理的系统可 视为三个环节的级联。
xc (t)
xd (n)
yd (n)
C / D 离散时间系统 D / C
t
x0 (t)
0T
p(t) (t nT )
n
x0 (t)
零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个
零阶保持系统。
为了能从 x0恢(t)复 ，x(就t)要求零阶保持后再级联
一个系统 。H使r(得j)
T , c
H0 ( j )Hr ( j ) H ( j )
0, c
其中 M c s M
恒等系统，表明D/C转换是C/D转换的逆系统。 对一般情况：
Yd (e j ) X d (e j ) Hd (e j )
Yd (e jT ) X d (e jT )H d (e jT )
X p( j) Hd (e jT ) Yp( j)
Yc( j) Yp( j) Hµ( j)
0
T1X4p
( j
44
) 2
H 4
d
(e 4
jT
43
)
s
2
s
2
即Xc ( j )Hc ( j )
Hd (e jT )
Hc ( j) 0
s
2
s
2
或
Hc
(
j
) T
Hd
(e
j
)
Xc ( j)
1
M 0 M
1 X p ( j )
T
s M 0 M
s
sT
X d (e j )
1 T
MT 0 MT
sT
1. x(必t) 须是带限的，最高频率分量为 。M
2. 采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样
频率 s 2M 。其中s 2 /T 为采样频率。
在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器 从 X p ( j中)不失真地分离出 。X ( j)
X p ( j)
1
TT
s
M
0
M
c
s
四. Nyquist 采样定理:
ct
t
x(t) x(nT ) cT Sinc (t nT )
n
c (t nT )
当 c
s
2
T
时
x(t) x(nT ) Sin c (t nT )
n
c (t nT )
这种内插称为时域中的带限内插。
二. 零阶保持内插: 零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单
位冲激响应h0 (t) 。
研究连续时间信号与离散时间信号之间关系包括 :
1. 在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的 离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。 2. 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地 恢复成原来的连续时间信号。 3. 如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。 4. 对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。
cossnT cos0nT SinsnT Sin0nT
cos0nT x(nT )
s 2 / T
如果 x(t) cos(0t ) ，则在上述情况下:
Xr( j) [ (s 0)] e j [ (s 0)] e j
xr (t) cos[(s 0 )t ]
表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位相反。
而
H0(
j )
2 Sin（T
/
2)
e
jT
2
所以
Hr ( j)
2
H ( j) Sin T
2
e
j T 2
以 H ( j) 表示理想低通滤波器的特性,则:
H0 ( j)
T
2
T
0
若
c
1 2
s
T
则
Hr ( j)
H ( j)
T
0
T
T
S Hr ( j)
1
0
T
T
2
T
0
T
2
7.2 利用内插从样本重建信号
冲激串 到序列
xd (n)
yd (n)
Hd (e j )
序列到 冲激串
yp (t)
C/D
D/C
xc (t)
Hc ( j)
yc (t)
yc (t)
假定 H d (e j ) 1 ，有 yd (n) xd (n)，在满足采 样定理时有 yp (t) xp (t) ， yc (t) xc (t)，整个系统是
例1. 一幅新闻照片
局部放大后的图片
例2. CCD芯片的光显微图 CCD芯片用VLSI技术制造。被分为许多微小区，
每个小区的尺寸为13*11 m（ 对应一个象素），在
10*9.3 mm面积上有 500*582 个象素。
当光成象在CCD芯片上 时，就在这些空间离散的 象素点上被采样，而生成 了离散时间图象信号。
Yc ( j )
H d (e j )
1
2
c
0H
c( jc
)
2
1
0 c
c
T
T
可见，等效连续时间系统的频率响应，就是离散时间系统频率
响应在一个周期内的特性，只不过在频率上有一个尺度变换。
对连续时间信号进行离散时间处理的系统只在 xc (t带) 限，且采样
频率满足采样定理的要求时才能等效为一个LTI系统。
X d (e j ) H d (e j )
1
H d (e j ) T A
X d (e j )
2 MT c cMT
Yd (e j )
2
X p ( j ) Hd (e jT )
1
Yp ( j )
TA
s M c c M
s
TT
Xc ( j) Hc ( j)
1
Xc ( j)
A
Hc ( j)
M c
c
M
TT
内插：由样本值重建某一函数的过程。 一. 理想内插:
若 h(t) 为理想低通的单位冲激响应，则
x(t) xp (t) h(t) x(nT ) (t nT ) h(t) n x(nT )h(t nT ) n
表明：理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响
应作为内插函数。
h(t) Tc Sinc(c t) Tc Sinct T Sinct
7.0 引言:( Introduction )
在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表 示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕 的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号 与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条 件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并 不丢失原来信号所包含的信息。
yc (t)
xc (t)
H ( j)
yc (t)
一. C/D 转换:
p(t)
xc (t)
xp (t)
冲激串 到序列
xd (n) xc (nT )
在时域：p(t) (t nT）
n
xp (t) xc (t) p(t) xc (nT ) (t nT）
n
xd (n) xc (nT )
k
1 T
k
X
(
j(
ks ))
s
2
T
可见，在时域对连续时间信号进行理想采样，
就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 s为
周期进行延拓。
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信 号，就意味着要能够从 X p ( j) 中不失真地分离 出 X ( j) 。这就要求 X p ( j) 在周期性延拓时不能 发生频谱的混叠。为此必须要求:
yp (t) yd (n) (t nT ) Yp ( j) yd (n)e jnT
n
n
Yd (e j )
yd (n)e jn
n
Yd
j
) T
Yp ( j) Yd (e jT )
可见，D/C转换是C/D转换的逆过程。
三. 连续时间信号的离散时间处理:
xc (t)
p(t) xp (t)
7.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理
一. 采样: Sampling 在某些离散时间点上提取连续时间信号值的过程 称为采样。
对一维连续时间信号采样的例子：
可以观察到: 很多不同的信号有相同的样本点. 在采样的过程中丢掉了采样样本点之间的值.
采样研究的关键问题:在什么条件下可以从连续时间信号的 样本点无失真地重建原始信号?
信号与系统A (Signals and Systems)
第七章：采样
本章内容
1. 如何用连续时间信号的离散时间样本来表示 连续时间信号——采样定理。
2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠。 4. 连续时间信号的离散时间处理。 5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。 6. 频域采样。
对带限于最高频率 M的连续时间信号 x,(如t)果
以 的s 频2率M进行理想采样，则 可以唯x一(t的)
由其样本 来确定x。(nT )
• 在工程实际应用中，
理想滤波器是不可能实 现的。而非理想滤波器 一定有过渡带，因此，
实际采样时, 必s 须大
于 2M 。
• 低通滤波器的截止频率必须满足:
M c (s M )
Sampling of Discrete-Time Signal
一. 脉冲串采样:
x(n)
xp (n)
p(n) (n kN ) k
2N N 0 N
1
xp (n) x(n) p(n)
x(kN ) (n kN )
k
P(e j ) 2 ( 2 k)