《高等数学》第七版课后练习题

第一章、函数、极限与连续

1、已知函数2,02

()2,24

x f x x ≤≤⎧=⎨

-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。

2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3

()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。

(1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x +

4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？

1

(1)()

y f x =

(2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x =

5、求下列函数的定义域。

22(1)16x y x =

+- 2

(2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。

211(1)()ln ;()2ln f x x g x x == 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+

33(2)(3)(3)()3;()2

x x f x x g x x -+=+=

- 44(4)()()1f x g x x ==-

7、设函数()2,()55x

f x

g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x

+-的表达式。

8、设2

()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2

211

(),()f x x f x x

x

+=+

求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。

11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。

(1)()sin f x x x = (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x =

(4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =-

12、判断下列函数的奇偶性。

3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =⋅ (3)()(0)tgx

f x x x

=

≠

(4)()ln(f x x x =-

13、求下列函数的周期。

(1)sin 3y x = 1(2)()24

y tg x π

=+

14、下列函数能够复合成一个函数。

2(1)(),()sin y f u u u g x x ====

(2)()(0,1),()ln u y f u a a a u g x x ==>≠==

12

(3)()()log (1)y f u u g x x x ====>

2(4)()ln ,()y f u u u g x x ====-

15、函数1

3

ln sin y y x

==，由哪些较简单的函数复合而成。

16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1

x x x φ+=+，求1

(())f x φ-。

17、下列函数的极限。

2(1))(3)lim n n n →∞

+ (2)n →∞

12...(3)lim()22n n n n →∞+++-+ 22212(4)lim(...)n n n n n

→∞+++ 18、求下列函数的极限。

4438100(1)lim 531n n n n n →∞+-++ 23310(2)lim 52n n n n n

→∞-+

(3)n (4)n

19、求下列函数的极限。

2

0(1)lim(1)n x x →++ 1ln (2)lim n x x → 224(3)lim 2n x x →-- 211lim 1

n x x →--

20、求下列极限。

0(1)lim

sin n x x → 0sin (2)lim (sin n x x →αα,β≠0)β 0(3)lim n tgx x → 0sin (4)lim 2

n x

x

tg →

21、求下列函数的极限。

1(1)lim(1)2x n x →∞+ 2(2)lim(1)x n x

→∞- 1

30(3)lim(12)x

n x →+ 32(4)lim()1x

n x x →∞++

22、求下列函数的极限

31

13(1)lim(

)11n x x →--- 2214

(2)lim()24

n x x →---

23、求下列函数的极限。

21,0

(1)()1,0

x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10

lim (),lim ()x x f x f x →→

2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪

==⎨⎪->⎩

设，求20

lim (),lim ()x x f x f x →→

232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪

=+≤<⎨⎪+-≥⎩

设，求012

lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→

24、当0x →时，证明：113

3

(1)sin x x x +→

x → 25、下列函数在指定点是否连续？为什么？

20(1)()1,0f x x x =+=在点。

2

1sin ,0

(2)()0x x f x x

⎧≠⎪=⎨⎪⎩，x=0

，在00x =点。 ,01(3)()42,1313,3x x f x x x x x ≤≤⎧⎪

=-<<⎨⎪-≤<+∞⎩

，在01,3x =两点。

26、求下列函数的不连续点。

2(1)(1)x y x =

+ sin (2)x y x = 21

(3)1

x y x -=- 11

1(4)1x

x

e y e +=- 27、证明方程3

10,01x x +-=在开区间（，

）内有实根 第2章和第3章 一元函数微分学

1、用导数定义求函数2

1y x =-在点x 0 处的导数。

2、求曲线3

y x x =+上过点（1，2）的切线方程和法线方程。 3、求曲线ln y x =的一点（x,y ），使过该点的直线与直线y=3x 平行。 4、设函数()y f x =在点0x 处可导，导数的0'()f x ，试求下列极限。

000()()(1)lim

x f x f x x x →-- 000()()

(2)lim 2x f x x f x x x

→+--

000(2)()(3)lim x f x x f x x →+- 000()()(4)lim x f x a x f x b x x →+--

5、讨论下列函数在指定点处的可到性。