第二章 力学分析基本方法与应力强度理论

当 d
d d , 略去高阶微量 很小时， sin 2 2
r rz r 0 整理得： r z r
沿Z方向力平衡整理得
z zr zr 0 z r r
由此得到轴对称问题基本力平衡方程 zr r r
u f 形状改变比能
u fo 简单拉伸达到破坏时形 状改变比能
uf u fo

6E 1 2 o , o 拉伸破坏极限应力 3E
f
(
2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 1

u

1 o 1 2 3E n 3E
max
1 s 2


2
max
1 3 单向拉伸
第三强度理论强度条件：
1 3
该理论存在一个问题，如果 1 , 2 , 3 三个主应力比较接近， max 永远很小，构件永远不会破坏，为了弥补缺陷，又增加了一个 补充式;
由这些方程就可求解出任一微元体上的应力、应变、位移， 通常将物体划分成有限个单元体，根据弹性力学原理建立各个 单元体微分方程称为有限元法。
2.2 微元体应力状态
弹性力学基本方法——微元体法，通常取六面体，六面体上
存在平行于x、y、z的正应力
x y z
规定：应力方向与作用面外法线一致为正，反之为负 正应力垂直作用面，各面上与表面相切的应力为剪应力。
将斜面上全应力Pn在斜面上分解垂直与斜面为 n ，平行与 斜面为 n
pn n n
2 2
2
n pnx l pny m pnz n 1l 2 2 m 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 l 2 m 3 n ( 1l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2
不考虑自重，微元体abcdABCD沿r方向力平衡
d r r dr (r dr)d dz r rd dz z dzdrsin rz rz dz rddz rz rddr 0 r 2 z
一个垂直与斜面
n
pn
=
n n
2
2
当斜面绕o转动时， n ， n 不断变化，当 n =0，平面上 只 有 n ，平面为主平面， n 为主应力。
⒉主应力
当斜面外法线N与x、y、z轴夹角余弦为： cos(N,x)=l cos(N,y)=m cos(N,z)=n
Pnx x l yx m zx n 全应力Pn分解为 Pny xy l y m zy n Pnz xz l yz m z n
第二章 力学分析基本方法与应力强度理论
2.1力学分析基本方法
分析构件强度最基本方法：采用材料力学基本理论，四大 变形，拉（压）、剪切、扭转、弯曲。
压力容器的强度与刚度计算，是建立在材料力学基础上，但 两者研究对象不同，使容器问题无法用材料力学直接求解。 压力容器大部分由板壳构成，必须由弹性力学和板壳理论 求解。
0 r z r z zr zr 0 z r r
（1）
B、变形几何方程
在轴对称问题中只有四个应变分量：
r 径向应变
周向应变
z 轴向应变 zr 角应变
受力后微元体底面abcd中a点在方向位移分别用表示线段 ad变形后为a,d,
Pnx Pny
Pnx n l
Pnz
Pny n m Pnz n n
为应力分量在x、y、z轴上投影代数和 代入上式得
( x n )l yx m zx n 0 xy l ( y n )m zx n 0 xz l yz m ( z n )n 0
l n m 1
2 2 2
方程有解，列出
l , m, n
未知数方程系数行列式为0
x n xy zx xy y n zy 0 zx yz z n
n 3 1 n 2 2 n 3 0 1 x y z 2 x y y z z x xy 2 yz 2 zx 2 x yx zx 3 xy y zy xz yz z
材料力学主要研究杆状件在拉（压）、剪、扫、弯作用下的 应力和变形，采用的基本方法是截面法。用假想截面将物件 截开，利用静力平衡求截面上应力。
弹性力学可以研究任意形状物体，假设物体是由无数个微元 体组成，根据微元体静力平衡关系： ●列出每一微元体的静力平衡微分方程 ●由变形条件—列出应变几何方程或变形协调方程 ●由广义虎克定律建立应力—应变关系（物理方程） ●在物体表面建立内力（应力）与外部载荷平衡方程
s 屈服极限
ns 屈服安全系数
取两种计算许用应力最小值
构件中应力 以那种应力作为评定应力？
在长期实践中，综合了各种构件破坏现象，经过分析，对 构件破坏提出一些假设，认为不管构件受何种应力作用，其 破坏均由某种特定因素引起，均可利用简单拉伸实验的破坏 规律去解决其它应力状态的破坏问题。 过程设计提出了主要四种强度理论： ⒈最大主应力理论——第一强度理论 控制构件内最大主应力在许用应力范围内
1 2 3 4
第三强度理论与塑性材料实验结果比较一致。
⒋最大变形能理论——第四强度理论
由贝尔特拉密1885年提出能量理论——认为材料破坏由单 位体积应变能数值达到一定限度，即达到单向拉伸试件处于 危险状态的比能值， 2 / 2E 强度条件：
u
o
o
2
2E
该理论存在一个 缺陷，当构件受到三向等值压缩时，不 管力多大，构件也不会破坏，只是更加致密， 1904年波兰力学家提出修正理论——形状改变比能理论。 1913年米赛斯提出了第四强度理论屈服条件： u f u f
解三次方程，存在三个结果 1 2 3 即为主应力
2.4材料强度理论
塑性材料 5 0 0 材料 脆性材料 5 0 0
容器绝大部分均由塑性材料构成基本条件：

许用应力
b 拉伸强度 nb 抗拉强度安全系数


b
nb
ns
s
n 1 l m
2 2
2
剪应力极大值条件：
( n ) 0 l
2
( n ) 0 m
2
求解得： 1
2 3
当时，
1 3 1 2
max 1 3 2
2 3 2 2
3
1 2
2
对于单向拉伸，当 s
时材料屈服。此时最大剪应力
2
第四强度理论强度条件为;
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
这四个理论，第一，第二强度理论从原理上看适用于脆性材 料，但由于该理论出现早，现在一些塑性材料构件设计仍用第 一强度理论。第三，第四强度理论主要适用与塑性材料，有时 称第三强度理论为屈雷斯卡强度条件。第四强度理论称为米赛 斯强度条件。
max
⒉最大主应变理论——第二强度理论
控制构件中最大主应变在许用应变范围内
max
o o n nE E
材料拉伸极限强度
o
⒊ 最大剪应力理论——第三强度理论 由库仑首先提出：认为材料发生破坏是最大剪应力达到一 定程度造成，最初针对剪断情况；后由屈雷斯卡将之应用到 塑性状态。 屈氏在对塑性金属挤压时发现，塑性变形金属表面有很多 细纹理，纹理与最大剪应力方向一致，由此认为；金属变形 是剪应力引起的金属晶体滑移造成，提出最大剪应力 max 达 到某一极限时，材料进入塑性状态。
2.3主平面与主应力
在进行强度校核时采用的均为主应力或主应变，如何由 六个应力分量求出主应力？
⒈ 主平面
物体内任一点o处存在6个应力分量，求过O点斜面上应力， 做一个与斜面平行平面ABC，与O点构成微四面体（图）当dx dy dz 无穷小时，ABC平面应力即为过O点斜面应力。 斜面ABC上全应力为Pn, Pn分解为一个平行与斜面为 n ，另
w (w dz) w , , a A aA w z z aA dz z
轴向线段对轴向转角
u dz u z dz z
zz
径向线段对轴向转角
w dr w r zr dr r
总转角
w u zr z r r z
A、取微元体，列出力的平衡方程。
●轴对称问题，利用圆柱坐标，取扇形微元体 以圆柱坐标分析轴 对称问题。 ●微元体平衡，取相距dr圆柱面，用互成两个垂直面和相距水平 面以受载物体中切出扇形微元体。 由于应力、应变、位移的轴对称性，垂直于回转中心轴切出截 面为圆形，变形时，在周向与径向、周向和轴向不存在相对移动。
r r 0 z z 0
rr rr 0
z—x投影坐标系 y—x
z 轴向应力，沿轴向变化 周向应力，沿圆周不变
r 径向应力，沿半径方向 变化， rz 剪应力， zr 剪应力
zr rz dr 沿径向增量， dz 沿轴向增量 r z
μ +(
)
θ θ
μ
a d ad (a d dd ) (aa a d ) r ad dr du (u dr) u u dr dr r
, , , , , ,
a b ab (r u)d rd u ab rd r
, ,