第3章 刚体力学基础

2 2 2
ri ro ri ri ri ro
2 2
J z'
x
z'
ri
Jz mi
z
r
o
L
ri
O
C
M
ri L 2 xi L
2 2 m r m ( r L i i i i 2xi L) 2 i
J z ML2 2MLxc
z
r
F// F Fn
F
结论： • 力矩取决于力的大小、方
h
A
F
• 在刚体的定轴转动中，力矩只
有两个指向（r →F右手螺旋）
讨论 (1) 力对点的力矩
Mo
O .
z
F
MO r F
力对轴的力矩
r
M Z r F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
d kt 2 解 dt 1 3 t 2 kt 分离变量并积分： d kt dt 0 0 3 2π 12000 400πrad s -1 当t =150s，转子的角速度为 60 1 3 3 3 400π 3 3 -4 10 t 10 rad s 有 k 3 3 3 150 t
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
M z ( F ) Fr sin F h Fτ r
M z ( F ) F r sin F h Fτ r M Z r F
向和作用点
MZ r F
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内)
O
O
x
x dx
x'
细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为
m dm dx dx l
l/2 2
1 2 J x dx ml l / 2 12 (2) 以细杆的一端 O为坐标原点，取如图所示的坐标
3 l 1 2 则此时的转动惯量为： J x 2 dx ml 0 3 3
d d 2 2 f " (t ) dt dt
动 平面 转 O
P(t )

角速度
角加速度

x
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同
z ω,
v
v r' an r ' 2 dv a r' dt
O
刚体
r' P θ
J J a Jb Jc
c b
a
J mi ri
i
2
(1) 平行轴定理
R O
m
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
L :两轴间垂直距离
z' z
J z' J z ML2
L
M
C
平行轴定理证明：
ri ri ro 2ri ro
i
xc
m x
M
i i
J z' J z ML
2
例 均匀圆盘的转动惯量 1 J Z mR 2 2 ? 求 JZ 3 2 J Z mR mR 2 解 JZ 2 例 均匀薄圆盘的转动惯量 1 J z mR 2 2 Jy ? 求 Jx ? 解
R
m
z
z'
O
z
C x
m 圆盘 R y
Jz Jx Jy Jx Jy Jz Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
z
(薄板)垂直轴定理
x
y
刚体
（质量为m）
转轴位置 通过中心与棒垂直 通过端点与棒垂直 通过中心与环面垂直 直径 通过中心与盘面垂直 直径
转动惯量
1 J C 12 ml 2
2 JD 1 ml 3
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
细棒
（棒长为l）
细圆环
（半径为R）
J C mR 2
2 Jx Jy 1 mR 2
2 JC 1 mR 2
薄圆盘
（半径为R）
2 Jx Jy 1 mR 4
2 2 JC 1 m ( R R 1 2) 2
r
×基点O
参 考 方 向

矢量表示


刚体转动的角速度矢量 k d 角加速度矢量 k dt 速度与角速度的矢量关系式 dr v ω r dt 加速度与角加速度的矢量关系式 dv d(ω r ) dω dr a r ω dt dt dt dt β r ω v aτ r an v
Mo
z
r
F// F Fn
F
h
A
F
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi : 法向：... 切向： Fit F内it mi ait mi ri 两边同乘以 ri ：Fit ri F内it ri mi ri
2
z
Fຫໍສະໝຸດ Baidut
i
Fi F内i mi ai
O

O
x
影响转动惯量J大小的三个因素
x dx
x'
(1) 刚体的转轴位置： 同一刚体依不同的转轴而有不同的J ；
(2) 刚体的总质量：刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比； J 1 mR 2
(3) 质量相对转轴的分布：转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。
J mR 2

2
转动惯量叠加定理
设 kt 2 （k为比例常量）
1 10 3 t 3dt 1687.5 102 rad 0 3 1687.5 10 2 N 268 10 2 r 2π 2π

150
§3.3 刚体绕定轴转动定律
3.3.1 力矩
• •
力
改变质点的运动状态
改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
i
i
J mi ri
2
M J（刚体定轴转动定律）
讨论

M J
刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩； 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即 M J

刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；
J mi ri
i
2
R
r
O
dr
任取一半径为r，宽度dr的圆环。 圆环的质量为: dm 2πrdr 圆环的转动惯量为
m 2 πR
dJ r 2dm r 2 2πrdr 2πr 3dr 则整个圆盘的转动惯量为 R m 1 4 1 2 3 2 π R mR J dJ 2π 0 r dr πR 2 4 2 讨论 质量分布对转动惯量的影响？
l
例 试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂 直于环面的转轴的转动惯量。 J r 2 dm

解 在圆环上任取质量元dm，则 圆环上各线质量元dm到转轴的距 离均为R，所以有
dm
R
O
J R 2 dm mR 2
m
讨论
质量不均匀细圆环？
例 试求半径为R ，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于 盘面的轴的转动惯量。 解 看成是许多半径不同的同心圆环的集合：
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z s O x i=1 i=2 (x,y,z) z
O i=3
y x
O
y
i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点:
刚体中各质点的运动情况相同.
2π 2π π T 10 60 300
吊箱平动
x A xB R cos(t 0 ) y A yB L R sin(t 0 ) L
2 xA ( y A L) 2 R 2
x A xB R cos(t 0 ) y A yB L R sin(t 0 ) L
z
ω,
v
O
刚体
r' P θ
r
×基点O
定轴
参 考 方 向
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d dt
第二类问题 ------ 积分问题
d d 2 2 dt dt
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 ； 同质点力学中的 F ma 力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生 角加速度的原因。

3.3.3 转动惯量
M J
计算转动惯量的基本公式
J mi ri
i
2
2
对质量离散分布的质点系 J mi ri
ri
F内i F
Fi
内it
Pi m
对刚体中所有质点求和
Fit ri F内it ri mi ri
2
所以
Fit ri mi ri
2 i i
i
i
i
F
i
i
内it i
r 0
刚体的转动惯量
2
合外力矩 M Fit ri ( m r ) i i
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动
z
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标
f (t ) (运动学方程)
d f ' (t ) dt
空心圆柱
（内外半径为R1和R2）
对称轴
中心轴 中心轴
球壳
（半径为R）
i
r
对质量连续分布的刚体
J r 2 dm
J



m r dl 质量线分布，为线密度( ) L L m 2 质量面分布， 为面密度 ( ) r dS S S m 2 r dV 质量体分布，为体密度( ) V V
2
例 试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。 (1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点； J r 2 dm (2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端。 解 (1) 取如图所示的坐标 在细杆上x 处取线元dx 线元的质量为
rA rB BA
rA rB v A vB a A aB
A
A
A B
B
O
B
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。 求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。 解
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回 转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
dx A v Ax R sin(t 0 ) dt dy A v Ay R cos(t 0 ) dt 25 2 2 v A v Ax v Ay R 0.26 m / s 300 dv Ax 2 a Ax R cos(t 0 ) dt dv Ay 讨论：............. 2 a Ay R sin(t 0 ) dt 2 25 2 2 3 2 a A a Ax a Ay R 2 2 . 7 10 m / s 3002
0 dt
0
t
0 dt
0
t

对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t
1 2 0 0 t t 2
2 0 2 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平 方成正比。 求 在这段时间内，转子转过的圈数。